Tăng trưởng bèo, vi khuẩn – Bài toán thực tế lớp 12 – công thức và bài tập có đáp án chi tiết

Bài tập vận dụng!

Tăng trưởng bèo, vi khuẩn – Bài toán thực tế lớp 12 – công thức và bài tập có đáp án

̶ Công thức tăng trưởng của bèo:

Giả sử lượng bèo ban đầu là ${{T}_{0}}$ và mỗi giờ lượng bèo tăng gấp 2 lần thì sau $n$ giờ lượng bèo sẽ là $T={{T}_{0}}{{.2}^{n}}$ (nếu mỗi giờ tăng $k$ lần thì công thức là $T={{T}_{0}}.{{k}^{n}}$ )

̶ Công thức Tăng trưởng của vi khuẩn:

Công thức: $s\left( t \right)=A.{{e}^{rt}}$ trong đó $A$ là số lượng vi khuẩn ban đầu, $s\left( t \right)$ là số lượng vi khuẩn sau thời gian $t$ , $r$ là tỷ lệ tăng trưởng $\left( r>0 \right)$ , $t$ là thời gian tăng trưởng.

Bài tập trắc nghiệm toán thực tế lớp 12 có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Một người thả 1 lá bèo vào một cái ao, sau 12 giờ thì bào sinh sôi phủ kín mặt ao. Hỏi sau mấy giờ thì bèo phủ kín $\frac{1}{5}$ mặt ao, biết rằng sau mỗi giờ thì lượng bèo tăng gấp 10 lần lượng bèo trước đó và tốc độ tăng không đổi.

A. $12-\log 5$ giờ B. $\frac{12}{5}$ giờ C. $12-\log 2$ giờ D. $12+\ln 5$ giờ

Lời giải chi tiết

Ta có: $T={{T}_{0}}{{.10}^{t}}$ , khi đó $T\left( 12 \right)={{T}_{0}}{{.10}^{12}}$

Gọi ${{t}_{0}}$ là thời gian bèo phủ $\frac{1}{5}$ mặt hồ thì ${{T}_{0}}{{.10}^{{{t}_{0}}}}=\frac{1}{5}T\left( 12 \right)=\frac{1}{5}.{{T}_{0}}{{.10}^{12}}$

$\Leftrightarrow {{10}^{{{t}_{0}}}}=\frac{1}{5}{{.10}^{12}}\Leftrightarrow \log {{10}^{{{t}_{0}}}}=\log \left( \frac{1}{5}{{.10}^{12}} \right)\Leftrightarrow {{t}_{0}}=12-\log 5$ . Chọn A.

Bài tập 2: Người ta thả một lá bèo vào một hồ nước. Sau thời gian $t$ giờ, bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt hồ. Biết rằng sau mỗi giờ, lượng lá bèo tăng gấp 10 lần lượng lá bèo trước đó và tốc độ tăng không đổi. Hỏi sau mấy giờ thì số lá bèo phủ kín $\frac{1}{3}$ mặt hồ?

A. $\frac{t}{3}$ B. $\frac{{{10}^{t}}}{3}$ C. $t-\log 3$ D. $\frac{t}{\log 3}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $T={{T}_{0}}{{.10}^{t}}$

Gọi ${{t}_{0}}$ giờ là khoảng thời gian cần để bèo phủ kín $\frac{1}{3}$ mặt hồ, suy ra ${{T}_{0}}{{.10}^{{{t}_{0}}}}=\frac{1}{3}T=\frac{1}{3}.{{T}_{0}}{{.10}^{t}}$

Suy ra ${{10}^{{{t}_{0}}}}=\frac{{{10}^{t}}}{3}\Rightarrow {{t}_{0}}=t-\log 3$ . Chọn C.

Bài tập 3: Trong nông nghiệp bèo hoa dâu được dùng làm phân bón, nó rất tốt cho cây trồng. Mới đây một nhóm các nhà khoa học Việt Nam đã phát hiện ra bèo hoa dâu có thể được dùng để chiết xuất ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hỗ trợ điều trị bệnh ung thư. Bèo hoa dâu được thả nuôi trên mặt nước. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần lượng đã có và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Sau bao nhiêu ngày bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ?

A. $7\times {{\log }_{3}}25$ B. ${{3}^{\frac{25}{7}}}$ C. $7\times \frac{24}{3}$ D. $7\times {{\log }_{3}}24$

Lời giải chi tiết

Gọi $A$ là lượng bèo ban đầu, để phủ kín mặt hồ thì lượng bèo là $\frac{100}{4}A$

Sau 1 tuần số lượng bèo là $3A$ suy ra sau $n$ tuần lượng bèo là: ${{3}^{n}}.A$

Để lượng bèo phủ kín mặt hồ thì ${{3}^{n}}.A=\frac{100}{4}.A\Rightarrow n={{\log }_{3}}\frac{100}{4}={{\log }_{3}}25\Rightarrow$ thời gian để bèo phủ kín mặt hồ là: $t=7{{\log }_{3}}25$ . Chọn A.

Bài tập 4: Số lượng của một loài vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được tính theo công thức $s\left( t \right)=A.{{e}^{rt}}$ trong đó $A$ là số lượng vi khuẩn ban đầu, $s\left( t \right)$ là số lượng vi khuẩn có sau $t$ (phút), $r$ là tỷ lệ tăng trưởng $\left( r>0 \right)$ , $t$ (tính theo phút) là thờ gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có 500 con và sau 5 giờ có 1500 con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt 121500 con?

A. 35 giờ B. 45 giờ C. 25 giờ D. 15 giờ

Lời giải chi tiết

Theo bài ra ta có: $1500=500.{{e}^{5r}}\Rightarrow {{e}^{5r}}=3$

Khi đó số lượng vi khuẩn đạt 121500 con thì:

$121500=500.{{e}^{rt}}\Leftrightarrow {{e}^{rt}}=243\Leftrightarrow {{\left( {{e}^{5r}} \right)}^{\frac{t}{5}}}=234\Leftrightarrow {{3}^{\frac{t}{5}}}=243\Leftrightarrow t=5{{\log }_{3}}243=25$ giờ. Chọn C.

Bài tập 5: Số lượng của một loài vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được tính theo công thức $s\left( t \right)=A.{{e}^{rt}}$ trong đó $A$ là số lượng vi khuẩn ban đầu, $s\left( t \right)$ là số lượng vi khuẩn có sau $t$ (phút), $r$ là tỷ lệ tăng trưởng $\left( r>0 \right)$ , $t$ (tính theo phút) là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần so với số lượng ban đầu?

A. $t=\frac{3}{\log 5}$ giờ B. $t=\frac{3\ln 5}{\log 10}$ giờ C. $t=\frac{5}{\log 3}$ giờ D. $t=\frac{5\ln 3}{\ln 10}$ giờ

Lời giải chi tiết

Theo bài ra ta có: $300=100.{{e}^{5r}}\Rightarrow {{e}^{5r}}=3$

Khi đó số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần khi:

$10={{e}^{rt}}\Leftrightarrow {{e}^{rt}}=10\Leftrightarrow {{\left( {{e}^{5r}} \right)}^{\frac{t}{5}}}=10\Leftrightarrow {{3}^{\frac{t}{5}}}=10\Leftrightarrow t=5{{\log }_{3}}10=\frac{5}{\log 3}$ giờ. Chọn C.

Bài tập 6: Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn được tính theo công thức $f\left( x \right)=A.{{e}^{rx}}$ , trong đó $A$ là số lượng vi khuẩn ban đầu, $r$ là tỷ lệ tăng trưởng $\left( r>0 \right)$ , $x$ (tính theo giờ) là thời gian tăng trưởng. Biết số vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10 giờ là 5000 con. Hỏi sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần

A. $5.\ln 20$ (giờ) B. $5.\ln 10$ (giờ) C. $10.lo{{g}_{5}}10$ (giờ) D. $10.lo{{g}_{5}}20$ (giờ)

Lời giải chi tiết

Theo đề bài ta có $5000=1000.{{e}^{10r}}\Rightarrow r=\frac{\ln 5}{10}$

Gọi ${{x}_{0}}$ giờ là thời gian để số vi khuẩn tăng gấp 10, suy ra $10A=A.{{e}^{\frac{\ln 5}{10}{{x}_{0}}}}\Rightarrow {{x}_{0}}=10.lo{{g}_{5}}10$ (giờ). Chọn C.

Bài tập 7: [Đề thử nghiệm Bộ GD&ĐT 2017] Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức $s\left( t \right)=s\left( 0 \right){{.2}^{t}}$ , trong đó $s\left( 0 \right)$ là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, $s\left( t \right)$ là số lượng vi khuẩn A có sau $t$ phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con?

A. 48 phút B. 19 phút C. 7 phút D. 12 phút

Lời giải chi tiết

Ta có: $s\left( 3 \right)=s\left( 0 \right){{.2}^{3}}\Rightarrow s\left( 0 \right)=\frac{s\left( 3 \right)}{8}=78,125$ nghìn con

Do đó $s\left( t \right)=10$ triệu con =10000 nghìn con khi $10000=s\left( 0 \right){{.2}^{t}}\Rightarrow {{2}^{t}}=\frac{10000}{78,125}=128$

$\Rightarrow t={{\log }_{2}}128=7$ phút. Chọn C.

Bài tập 8: Trong môi trường nuôi cấy ổn định người ta nhận thấy cứ sau 5 ngày số lượng loài vi khuẩn A tăng lên gấp đôi, còn sau 10 ngày số lượng loài vi khuẩn B tăng lên gấp ba. Giả sử ban đầu có 100 con vi khuẩn A và 200 con vi khuẩn B, hỏi sau bao nhiêu ngày nuôi cấy trong môi trường đó thì số lượng hai loài bằng nhau, biết rằng tốc độ tăng trưởng của mỗi loài ở mọi thời điểm là như nhau?

A. $5\times {{\log }_{\frac{8}{3}}}2$ ngày B. $5\times {{\log }_{\frac{4}{3}}}2$ ngày

C. $10\times {{\log }_{\frac{3}{2}}}2$ ngày D. $10\times {{\log }_{\frac{4}{3}}}2$ ngày

Lời giải chi tiết

Giả sử sau $x$ ngày số lượng hai loài vi khuẩn bằng nhau. Khi đó, ta có

${{100.2}^{\frac{x}{5}}}={{200.3}^{\frac{x}{10}}}\Leftrightarrow {{2}^{\frac{x}{5}}}={{2.3}^{\frac{x}{10}}}\Leftrightarrow {{2}^{\frac{x}{5}-1}}={{3}^{\frac{x}{10}}}$

$\Leftrightarrow \frac{x}{5}-1=\frac{x}{10}.{{\log }_{2}}3\Leftrightarrow x\left( 2-{{\log }_{2}}3 \right)=10\Leftrightarrow x=\frac{10}{2-{{\log }_{2}}3}$

Lại có $2-{{\log }_{2}}3={{\log }_{2}}\frac{4}{3}=\frac{1}{{{\log }_{\frac{4}{3}}}2}\Rightarrow x=\frac{10}{2-{{\log }_{2}}3}=10\times {{\log }_{\frac{4}{3}}}2$ ngày. Chọn D.

Bài tập 9: Số lượng của loại virut $H$ trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức $s\left( t \right)=s\left( 0 \right){{.3}^{t}}$ trong đó $s\left( 0 \right)$ là số lượng virut $H$ lúc ban đầu, $s\left( t \right)$ là số lượng virut $H$ có sau thời gian $t$ phút. Biết sau 5 phút thì số lượng virut $H$ là 815.000 con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng virut $H$ là 22.005.000 con?

A. 8 phút B. 30 phút C. 27 phút D. 15 phút

Lời giải chi tiết

Sau 5 phút thì số lượng virut $H$ là 815.000 con, suy ra $815.000=s\left( 0 \right){{.3}^{5}}\Rightarrow s\left( 0 \right)=\frac{815.000}{{{3}^{5}}}$ con.

Gọi ${{t}_{0}}$ phút là thời gian để có 22.005.000 con virut, suy ra $22.005.000=\frac{815.000}{{{3}^{5}}}{{.3}^{{{t}_{0}}}}\Rightarrow {{t}_{0}}=8$ phút. Chọn A.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12

CHUYÊN ĐỀ 1: HÀM SỐ

CHUYÊN ĐỀ 2: LOGARIT

CHUYÊN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN

CHUYÊN ĐỀ 4: SỐ PHỨC

CHUYÊN ĐỀ 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

CHUYÊN ĐỀ 6: HÌNH HỌC TỌA ĐỘ