Xét sự tương giao giữa đồ thị $\left( C \right):y=\frac{ax+b}{cx+d}$và đường thẳng $d:y=kx+\ell $
Phương trình hoành độ giao điểm của d và $\left( C \right)$ là:$\frac{ax+b}{cx+d}=kx+\ell \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne -\frac{d}{c} \\ {} g(x)=A{{x}^{2}}+Bx+C=0 \\ \end{array} \right.\left( * \right)$
+) d cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow g\left( x \right)=0$ hai nghiệm phân biệt khác $\frac{-d}{c}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta ={{B}^{2}}-4AC>0 \\ {} g\left( \frac{-d}{c} \right)=A.{{\left( \frac{-d}{c} \right)}^{2}}+B.\frac{-d}{c}+C\ne 0 \\ \end{array} \right.$
+) d cắt $\left( C \right)$ tại điểm duy nhất $\Leftrightarrow g\left( x \right)$ có nghiệm kép khác $\frac{-d}{c}$ hoặc $g\left( x \right)$có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm $x=\frac{-d}{c}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} \left\{ \begin{array} {} {{\Delta }_{g(x)}}=0 \\ {} g\left( \frac{-d}{c} \right)\ne 0 \\ \end{array} \right. \\ {} \left\{ \begin{array} {} {{\Delta }_{g(x)}}>0 \\ {} g\left( \frac{-d}{c} \right)=0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$
+) d không cắt $\left( C \right)$$\Leftrightarrow g\left( x \right)$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng $\frac{-d}{c}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{\Delta }_{g(x)}}<0 \\ {} \left\{ \begin{array} {} {{\Delta }_{g(x)}}=0 \\ {} g\left( \frac{-d}{c} \right)=0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$
Phần này, ta chỉ xét bài toán mà có liên quan đến d cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt.
Bước 1. Tìm điều kiện để d cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt
$\Leftrightarrow g\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $\frac{-d}{c}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta ={{B}^{2}}-4AC>0 \\ {} g\left( \frac{-d}{c} \right)=A.{{\left( \frac{-d}{c} \right)}^{2}}+B.\frac{-d}{c}+C\ne 0 \\ \end{array} \right.\left( 1 \right)$
Bước 2. Khi đó gọi $A({{x}_{1}};k{{x}_{1}}+\ell ),B({{x}_{2}};k{{x}_{2}}+\ell )$ là tọa độ hai giao điểm
Với ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $g(x)=0$ nên theo định lý Viet ta có $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{B}{A} \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{C}{A} \\ \end{array} \right.$
Bước 3. Theo yêu cầu bài toán, ta tìm giá trị của tham số chú ý đối chiếu với điều kiện (1) để chọn đáp án đúng.
Chú ý:
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$
${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}$
$AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right)}^{2}}}$
${{S}_{IAB}}=\frac{1}{2}d\left( I;AB \right).AB$
Tam giác IAB vuông tại $I\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}=0$
Trọng tâm tam giác IAB là $G\left( \frac{{{x}_{I}}+{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{3};\frac{{{y}_{I}}+{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{3} \right)$
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng $\left( d \right):x-2y+m=0$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x-3}{x+1}$ tại hai điểm phân biệt. A. $\frac{3-4\sqrt{2}}{2}<m<\frac{3+4\sqrt{2}}{2}$ B. $3-4\sqrt{2}<m<3+4\sqrt{2}$ C. $\left[ \begin{array} {} m<\frac{3-4\sqrt{2}}{2} \\ {} m>\frac{3+4\sqrt{2}}{2} \\ \end{array} \right.$ D. $\left[ \begin{array} {} m<3-4\sqrt{2} \\ {} m>3+4\sqrt{2} \\\end{array} \right.$ |
Lời giải
Ta có: $d:y=\frac{x}{2}+\frac{m}{2}$ . Phương trình hoành độ giao điểm là: $\frac{x-3}{x+1}=\frac{x+m}{2}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne -1 \\ {} g\left( x \right)={{x}^{2}}+(m-1)x+m+6=0 \\ \end{array} \right.$
Để d cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x-3}{x+1}$ tại 2 điểm phân biệt thì $g(x)=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác $-1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta ={{(m-1)}^{2}}-4(m+6)>0 \\ {} g(-1)=8\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m-23>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m>3+4\sqrt{2} \\ {} m<3-4\sqrt{2} \\ \end{array} \right.$ . Chọn D.
Ví dụ 2: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng $y=x+1$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{2x+m}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. A. $-2<m<-1$ B. $m<-1$ C. $m<1$ D. $-2<m<1$ |
Lời giải
Điều kiện: $x\ne 1$ . Phương trình hoành độ giao điểm $x+1=\frac{2x+m}{x-1}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-m-1=0\left( * \right)$
Để cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt khác $1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {\Delta }'>0 \\ {} S>0 \\ {} P>0 \\ {} m\ne -2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 1+m+1>0 \\ {} 2>0 \\ {} -m-1>0 \\ {} m\ne -2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m>-2 \\ {} m<-1\Leftrightarrow -2<m<-1 \\ {} m\ne -2 \\ \end{array} \right.$ . Chọn A.
Ví dụ 3: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}\left( C \right)$ và đường thẳng $d:y=x+m$ . Gọi S là tập hợp các giá trị của m để d cắt $\left( C \right)$tại 2 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9$ . Tổng các phần tử của tập hợp S là: A. – 2 B. 3 C. 2 D. – 1 |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và d là $\frac{x+1}{x-1}=x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne 1 \\ {} g\left( x \right)={{x}^{2}}+(m-2)x-m-1=0 \\ \end{array} \right.\left( 1 \right)$
Để đồ thị $\left( C \right)$ cắt d tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta ={{(m-2)}^{2}}+4(m+1)>0 \\ {} g(1)=-2\ne 0 \\ \end{array} \right.\left( * \right)$ . Khi đó gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của PT $g(x)=0$
Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2-m \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-m-1 \\ \end{array} \right.$
Ta có: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{(2-m)}^{2}}+2(m+1)={{m}^{2}}-2m+6=9\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=3 \\ {} m=-1 \\ \end{array} \right.$ (thỏa mãn (*))
Vậy $S=\left\{ 3;-1 \right\}\Rightarrow T=2$ .Chọn C.
Ví dụ 4: Cho hàm số: $y=\frac{2x-1}{x+1}(C)$ và đường thẳng $d:y=2x+m$ . Gọi S là tập hợp các giá trị của m để d cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\frac{1}{2}$ . Tổng các phần tử của tập hợp S là: A. 8 B. 9 C. 10 D. -1 |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$và d: $\frac{2x-1}{x+1}=2x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne -1 \\ {} g(x)=2{{x}^{2}}+mx+m+1=0 \\ \end{array} \right.$
Để đồ thị $\left( C \right)$ cắt d tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác -1.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta ={{m}^{2}}-8(m+1)>0 \\ {} g(-1)=3\ne 0 \\ \end{array} \right.(*)$ . Khi đó gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của PT $g(x)=0$
Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-m}{2} \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m+1}{2} \\ \end{array} \right.$
Khi đó $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{1}{4}$
$\Leftrightarrow \frac{{{m}^{2}}}{4}-2(m+1)=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=9 \\ {} m=-1 \\ \end{array} \right.$ (t/m)
Vậy $S=\left\{ 9;-1 \right\}\Rightarrow T=8$ . Chọn A.
Ví dụ 5: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}(C)$ và đường thẳng $d:y=x+m$ . Số các giá trị của tham số m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho $AB=4\sqrt{2}$là A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$và d: $\frac{x+1}{x-2}=x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne 2 \\ {} g(x)={{x}^{2}}+(m-3)x-2m-1=0 \\ \end{array} \right.$(1)
Để đồ thị (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 2.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta ={{(m-3)}^{2}}+4(2m+1)>0 \\ {} g(2)=-3\ne 0 \\ \end{array} \right.\left( * \right)$
Khi đó gọi $A({{x}_{1}};{{x}_{1}}+m);B({{x}_{2}};{{x}_{2}}+m)$ là 2 tọa độ các giao điểm
Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3-m \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2m-1 \\ \end{array} \right.$
Ta có: $AB=\sqrt{{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}+{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}}=\sqrt{2\left[ {{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}} \right]}=\sqrt{2\left[ {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]}$
$=\sqrt{2\left[ {{(3-m)}^{2}}-4(-2m-1) \right]}=\sqrt{2({{m}^{2}}+2m+13)}=4\sqrt{2}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=1 \\ {} m=-3 \\ \end{array} \right.(t/m)$
Vậy $m=-3;m=1$ là các giá trị cần tìm. Chọn A.
Ví dụ 6: Cho hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}(C)$ và đường thẳng $d:y=2x+m$ . Số các giá trị của m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=-10$ trong đó O là gốc tọa độ. A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$và d: $\frac{2x+1}{x+1}=2x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne -1 \\ {} g(x)=2{{x}^{2}}+mx+m-1=0 \\ \end{array} \right.$(1)
Để đồ thị (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác -1.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta ={{m}^{2}}-8(m-1)>0 \\ {} g(-1)=1\ne 0 \\ \end{array} \right.\left( * \right)$
Khi đó gọi $A({{x}_{1}};2{{x}_{1}}+m);B({{x}_{2}};2{{x}_{2}}+m)$ là 2 tọa độ các giao điểm
Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-m}{2} \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m-1}{2} \\ \end{array} \right.$
Khi đó $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}={{x}_{1}}.{{x}_{2}}+(2{{x}_{1}}+m)(2{{x}_{2}}+m)=5{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{m}^{2}}=\frac{5m-5}{2}-{{m}^{2}}+{{m}^{2}}=-10$
$\Leftrightarrow m=-3\left( t/m \right)$ . Vậy $m=-3$ là các giá trị cần tìm. Chọn B.
Ví dụ 7: Cho hàm số $y=\frac{x-1}{x-2}(C)$ và đường thẳng $d:y=-x+m$ . Gọi m là giá trị để d cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng $x+y=0$ . Tính độ dài AB khi đó. A. $AB=2\sqrt{2}$ B. $AB=10$ C. $AB=5$ D. $AB=\sqrt{10}$ |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$và d: $\frac{x-1}{x-2}=-x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne 2 \\ {} g(x)={{x}^{2}}-(m+1)x+2m-1=0 \\ \end{array} \right.$(1)
Để đồ thị (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 2.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}-4\left( 2m-1 \right)>0 \\ {} g(1)=-1\ne 0 \\ \end{array} \right.\left( * \right)$
Khi đó gọi $A({{x}_{1}};-{{x}_{1}}+m);B({{x}_{2}};-{{x}_{2}}+m)$ là 2 tọa độ các giao điểm
Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m+1 \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m-1 \\ \end{array} \right.$
Gọi G là trọng tâm tam giác OAB ta có $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{G}}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+0}{3}=\frac{m+1}{3} \\ {} {{y}_{G}}=\frac{-{{x}_{1}}+m-{{x}_{2}}+m+0}{3}=\frac{m-1}{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow G\left( \frac{m+1}{3};\frac{m-1}{3} \right)$
Do điểm $G\in x+y=0$ nên ta có: $\frac{m+1}{3}+\frac{m-1}{3}=0\Leftrightarrow m=0\left( t/m \right)$
Khi đó $A{{B}^{2}}=2{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=2{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2{{\left( m+1 \right)}^{2}}-8\left( 2m-1 \right)=10\Rightarrow AB=\sqrt{10}$ . Chọn D.
Ví dụ 8: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{2mx+m-2}{x+1}$ cắt đường thẳng $d:y=x+3$ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 3, với $I(-1;1)$ . Tính tổng tất cả các phần tử của S. A. 7 B. – 10 C. 3 D. 5 |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm là $\frac{2mx+m-2}{x+1}=x+3\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} f\left( x \right)={{x}^{2}}-2(m-2)x+5-m=0 \\ {} x\ne -1 \\ \end{array} \right.$
Hai đồ thị có giao điểm khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array} {} {\Delta }'>0 \\ {} f\left( -1 \right)\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{\left( m-2 \right)}^{2}}-\left( 5-m \right)>0 \\ {} 1+2\left( m-2 \right)+5-m\ne 0 \\ \end{array} \right.\left( * \right)$
Khi đó $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{A}}+{{x}_{B}}=2(m-2) \\ {} {{x}_{A}}.{{x}_{B}}=5-m \\ \end{array} \right.\Rightarrow AB=\sqrt{2{{\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{\left( {{x}_{A}}+{{x}_{B}} \right)}^{2}}-8{{x}_{A}}.{{x}_{B}}}$
$=\sqrt{8{{(m-2)}^{2}}-8(5-m)}$
Mặt khác $d\left( I;d \right)=\frac{\left| -1-1+3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AB.d\left( I;d \right)=\frac{1}{2}\sqrt{8{{(m-2)}^{2}}-8(5-m)}.\frac{1}{\sqrt{2}}$
$=\sqrt{{{(m-2)}^{2}}-(5-m)}=\sqrt{{{m}^{2}}-3m-1}=3\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m-10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=5 \\ {} m=-2 \\ \end{array} \right.$
Kết hợp điều kiện (*) suy ra m = 5. Chọn D.
Ví dụ 9: Cho hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ và đường thằng $d:y=2x-m$ . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để d cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho ${{S}_{OAB}}=\frac{5}{4}$ trong đó O là gốc tọa độ. Tính tổng tất cả các phần tử của S. A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$và d: $\frac{2x+1}{x-1}=2x-m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne 1 \\ {} g(x)=2{{x}^{2}}-(m+4)x+m-1=0 \\ \end{array} \right.$(1)
Để đồ thị (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta ={{(m+4)}^{2}}-8\left( m-1 \right)>0 \\ {} g(1)=-3\ne 0 \\ \end{array} \right.\left( * \right)$
Khi đó gọi $A({{x}_{1}};2{{x}_{1}}-m);B({{x}_{2}};2{{x}_{2}}-m)$ là 2 tọa độ các giao điểm
Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{m+4}{2} \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m-1}{2} \\ \end{array} \right.$
Ta có: $AB=\sqrt{{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}+{{(2{{x}_{1}}-2{{x}_{2}})}^{2}}}=\sqrt{5{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}}=\sqrt{5\left[ {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]}=\sqrt{\frac{5}{4}\left( {{m}^{2}}+24 \right)}$
$d\left( O;AB \right)=\frac{\left| m \right|}{\sqrt{5}}$. Khi đó: ${{S}_{OAB}}=\frac{1}{2}AB.d\left( O;AB \right)=\frac{1}{4}\left| m \right|\sqrt{{{m}^{2}}+24}=\frac{5}{4}$
$\Leftrightarrow {{m}^{4}}+24{{m}^{2}}=25\Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}-1 \right)\left( {{m}^{2}}+25 \right)=0\Leftrightarrow m=\pm 1\left( t/m \right)\Rightarrow S=\left\{ \pm 1 \right\}$ . Chọn B.
Ví dụ 10: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ và đường thằng $y=-2x+m$ . Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B và trung điểm AB có hoành độ bằng $\frac{5}{2}$ A. 8 B. 11 C. 9 D. 10 |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$và (d): $\frac{x+1}{x-1}=m-2x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne 1 \\ {} 2{{x}^{2}}-(m+1)x+m+1=0 \\ \end{array} \right.$(*)
Để đồ thị (C) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (*)$ có hai nghiệm khác 1.
$\Leftrightarrow {{(m+1)}^{2}}-8\left( m+1 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m>7 \\ {} m<-1 \\ \end{array} \right.$
Khi đó gọi ${{x}_{A}},{{x}_{B}}$ là hoành độ của hai giao điểm A, B suy ra ${{x}_{A}}+{{x}_{B}}=5=\frac{m+1}{2}\Rightarrow m=9\left( t/m \right)$
Chọn C.
Ví dụ 11: Tìm m để đường thẳng $d:y=-x+m$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=\frac{x}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt A và B sao cho hai điểm A, B cách đều đường thẳng $\Delta :2x-4y+5=0$ A. $m=3$ B. $m=-5$ C. $m=1$ D. $m=5$ |
Lời giải
Để A, B cách đều đường thẳng $\Delta :2x-4y+5=0$ thì $AB\parallel \Delta $ hoặc trung điểm I của AB thuộc $\Delta $
Do $AB\equiv d$ không song song với $\Delta $ nên bài toán thỏa mãn khi trung điểm của I của AB thuộc $\Delta $.
Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị là $\frac{x}{x-1}=-x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{x}^{2}}-mx+m=0\left( * \right) \\ {} x\ne 1 \\ \end{array} \right.$
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm khi và chỉ khi PT (*) có hai nghiệm phân biệt $x\ne 1$
Suy ra $\left\{ \begin{array} {} \Delta (*)>0 \\ {} 1-m+m\ne 0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{m}^{2}}-4m>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m>4 \\ {} m<0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right) \\ {} B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow I\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2} \right)$ là trung điểm AB.
Hai điểm A, B cách đều đường thẳng $\Delta :2x-4y+5=0\Rightarrow I\in \Delta \Rightarrow \left( {{x}_{A}}+{{x}_{B}} \right)-2\left( {{y}_{A}}+{{y}_{B}} \right)+5=0$
$\Leftrightarrow \left( {{x}_{A}}+{{x}_{B}} \right)-2\left( -{{x}_{A}}-{{x}_{B}}+2m \right)+5=0\Leftrightarrow 3\left( {{x}_{A}}+{{x}_{B}} \right)-4m+5=0\Leftrightarrow 5-m=0\Leftrightarrow m=5$
Kết hợp với điều kiện $\left[ \begin{array} {} m>4 \\ {} m<0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow m=5$ . Chọn D.
Ví dụ 12: Số các giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -20;20 \right]$ để đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=\frac{x+3}{x+1}$ cắt đường thẳng $d:y=x-m$ tại hai điểm phân biệt A và B thỏa mãn $\overset\frown{AOB}$ tù, với O là gốc tọa độ. A. 22 B. 17 C. 16 D. 23 |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm
$x-m=\frac{x+3}{x+1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne -1 \\ {} \left( x-m \right)\left( x+1 \right)=x+3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne -1 \\ {} g(x)={{x}^{2}}-mx-m-3=0 \\ \end{array} \right.$
Ta có d cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow g(x)$ có 2 nghiệm phân biệt khác – 1.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta ={{m}^{2}}-4\left( -m-3 \right)>0 \\ {} g\left( -1 \right)={{\left( -1 \right)}^{2}}-m\left( -1 \right)-m-3\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{\left( m+2 \right)}^{2}}+8>0 \\ {} m\in \mathbb{R} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\in \mathbb{R}\left( * \right)$
Do $A,B\in d\Rightarrow A\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}-m \right),B\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}-m \right)$ với ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$là 2 nghiệm của $g(x)=0$
Theo hệ thức Viet, ta có $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-m-3 \\ \end{array} \right.$
Khi đó: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{OA}=\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}-m \right) \\ {} \overrightarrow{OB}=\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}-m \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}={{x}_{1}}.{{x}_{2}}+\left( {{x}_{1}}-m \right)\left( {{x}_{1}}-m \right)$
$=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-m({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+{{m}^{2}}=-2(m+3)-{{m}^{2}}+{{m}^{2}}=-2(m+3)$
Do $\widehat{AOB}$ tù nên $\text{cos}\widehat{AOB}=\frac{\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}}{OA.OB}<0\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}<0\Leftrightarrow -2(m+3)<0\Leftrightarrow m>-3$
Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m\in \mathbb{Z} \\ {} m\in \left[ -20;20 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow $ có 23 giá trị của m. Chọn D.
Ví dụ 13: Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}(C)$ và đường thẳng $d:y=2x+m$ . Gọi m là giá trị để d cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác ABC cân tại $C\left( \frac{3}{4};3 \right)$ . Tính $d\left( O;d \right)$ khi đó: A. $d=\frac{9}{\sqrt{5}}$ B. $d=\frac{3}{\sqrt{5}}$ C. $d=\frac{2}{\sqrt{5}}$ D. $d=\frac{1}{\sqrt{5}}$ |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $\left( C \right)$: $\frac{2x-1}{x+1}=2x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne -1 \\ {} g(x)=2{{x}^{2}}+mx+m+1=0 \\ \end{array} \right.$
Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{\Delta }_{g(x)}}={{m}^{2}}-8\left( m+1 \right)>0 \\ {} g(-1)=3\ne 0 \\ \end{array} \right.$
Khi đó gọi $A({{x}_{1}};2{{x}_{1}}+m);B({{x}_{2}};2{{x}_{2}}+m)$ theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{m}{2} \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m+1}{2} \\ \end{array} \right.$
Trung điểm I của AB là $I\left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2};\frac{2{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+2m}{2} \right)$ hay $I\left( \frac{-m}{4};\frac{m}{2} \right)$
TOÁN LỚP 12