Xét sự tương giao đồ thị (C):y=ax4+bx2+c(a≠0) và trục hoành có phương trình y=0
Phương trình hoành độ giao điểm (C) và trục hoành là ax4+bx2+c=0(1)
Số giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành chính là số nghiệm của phương trình (1).
Đặt t=x2≥0 thì (1) thành at2+bt+c=0(2)
+) (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt ⇔(2) có 2 nghiệm dương phân biệt
⇔{Δ=b2−4ac>0t1+t2=−ba>0t1.t2=ca>0
+) (C) cắt trục hoành tại đúng 3 điểm phân biệt ⇔(2) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0.
(C) cắt trục hoành tại đúng 2 điểm phân biệt ⇔(2)có nghiệm kép dương hoặc (2) có hai nghiệm trái dấu.
+) (C) cắt trục hoành tại điểm duy nhất ⇔(2)có nghiệm kép bằng 0 hoặc (2) có một nghiệm bằng 0 hoặc một nghiệm âm.
+) (C) không cắt trục hoành ⇔(2) vô nghiệm, có nghiệm kép âm hoặc có 2 nghiệm phân biệt đều âm
Một số bài toán có thể thay trục hoành thành d:y=m hoặc (P):y=mx2+n , phương pháp giải hoàn toàn tương tự như trên.
Tìm điều kiện để (C):y=ax4+bx2+c(a≠0) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bước 1: Tìm điều kiện để (1) có 4 nghiệm phân biệt
⇔(2) có 2 nghiệm dương phân biệt t1 và t2 ⇔{Δ=b2−4ac>0t1+t2=−ba>0t1.t2=ca>0 (*)
Bước 2: Giả sử t1>t2>0 khi đó các nghiệm của (1) sắp xếp theo thứ tự tăng dần là −√t1;−√t2;√t2;√t1, xử lý điều kiện và tìm giá trị của tham số.
Đặc biệt: Khi hoành độ 4 điểm A, B, C, D lập thành cấp số cộng hoặc AB=BC=CD khi: √t1−√t2=2√t2⇔√t1=3√t2⇔t1=9t2
Bài tập 1: Số giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y=x4−8x2+5−2m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt là:
A. 9 B. 6 C. 7 D. 8 |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm là x4−8x2+5−2m=0
Đặt t=x2,t≥0⇒PT⇔t2−8t+5−2m=0(∗)
Phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn t1>t2>0
Khi đó {Δ′(∗)>0t1+t2>0t1.t2>0⇔{16−(5−2m)>08>05−2m>0⇔−112<m<52
Kết hợp m∈Z⇒ Có 8 giá trị của m. Chọn D.
Bài tập 2: Cho hàm số y=x4+2(m−2)x2+4 có đồ thị (Cm) , với m là tham số thực. Tìm tập hợp T gồm tất cả các giá trị của tham số m để (Cm) cắt Ox tại bốn điểm phân biệt
A. T=(0;2) B. T=(4;+∞) C. T=(−∞;0)∪(4;+∞) D. T=(−∞;0) |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm là x4+2(m−2)x2+4=0t=x2→t2+2(m−2)t+4=0(∗)
Đồ thị hàm số và trục hoành có 4 giao điểm khi và chỉ khi PT hoành độ giáo điểm có 4 nghiệm phân biệt
⇔(∗) có hai nghiệm phân biệt t>0⇒{Δ′(∗)>0t1+t2>0t1.t2>0⇔{(m−2)2−4>0−2(m−2)>04>0
⇒m<0⇒T=(−∞;0) . Chọn D.
Bài tập 3: Cho hàm số y=x4−2mx2+m+1(C). Gọi S là tập hợp các giá trị của m để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ x1,x2,x3,x4 thỏa mãn x41+x42+x43+x44=20. Tổng các phần tử của tập hợp (S) là:
A. 1 B. – 1 C. 2 D. – 3 |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x4−2mx2+m+1=0(1)
Đặt t=x2:(1)⇒t2−2mt+m+1=0(2)
Để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔(2) có 2 nghiệm phân biệt t1>t2>0
⇔{Δ′=m2−m−1>0S=2m>0P=m+1>0(∗) . Theo Viet: {t1+t2=2mt1.t2=m+1
Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm −√t1;−√t2;√t2;√t1
Ta có: giả thiết bài toán ⇔t21+t22+t22+t21=20⇔t21+t22=10⇔(t1+t2)2−2t1t2=10
⇔4m2−2m−2=10⇔2m2−m−6=0⇔[m=2m=−3
Kết hợp (*) ⇒m=2 là giá trị cần tìm. Chọn C.
Bài tập 4: Cho hàm số y=x4−(2m+1)x2+2(C). Gọi S là tập hợp các giá trị của m để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ x1,x2,x3,x4 thỏa mãn 1x41+1x42+1x43+1x44=52
Số phần tử của tập hợp S là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x4−(2m+1)x2+2=0(1)
Đặt t=x2:(1)⇒t2−(2m+1)t+2=0(2)
Để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔(2) có 2 nghiệm phân biệt t1>t2>0
⇔{Δ=(2m+1)2−8>0S=2m+1>0P=2>0(∗) . Theo Viet: {t1+t2=2m+1t1.t2=2
+) Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm −√t1;−√t2;√t2;√t1 ta có: 1t21+1t22+1t23+1t24=52
⇔2t21+2t22=52⇔2(t21+t22)t21.t22=52⇔t21+t22=5⇔(t1+t2)2−2t1t2=5⇔(2m+1)2=9⇔[m=1m=−2
Kết hợp (*) ⇒m=1 là giá trị cần tìm. Chọn B.
Bài tập 5: Cho hàm số: y=x4−2mx2+m+4(C). Gọi S là tập hợp các giá trị của m để (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ x1,x2,x3,x4 thỏa mãn: |x1|+|x2|+|x3|+|x4|=8 . Tổng các phần tử của tập hợp S là:
A. 5 B. 12 C. 17 D. – 17 |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x4−2mx2+m+4=0(1)
Đặt t=x2:(1)⇒t2−2mt+m+4=0(2)
Để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔(2) có 2 nghiệm phân biệt t1>t2>0
⇔{Δ′=m2−m−4>0S=2m>0P=m+4>0(∗) . Theo Viet: {t1+t2=2mt1.t2=m+4
+) Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm −√t1;−√t2;√t2;√t1
Ta có: giả thiết ⇔|−√t1|+|−√t2|+|√t2|+|√t1|=8⇔2(√t1+√t2)=8⇔√t1+√t2=4
⇔t1+t2+2√t1t2=16⇔2√m+4=16−2m⇔√m+4=8−m⇔{m≤8m2−17m+60=0⇔m=5
Vậy m = 5 là giá trị cần tìm. Chọn A.
Bài tập 6: Cho hàm số y=f(x)=ax4+bx2+c có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp các giá trị thực của m để đường thẳng d:y=−m+2 cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại bốn điểm phân biệt cách đều nhau là
A. {3425;74} B. {3425} C. {74} D. {1;2} |
Lời giải chi tiết
Dựa vào đồ thị hàm số, suy ra y=f(x)=x4−2x2+1
PT hoành độ giao điểm hai đồ thị là x4−2x2+1=−m+2t=x2→t2−2t+m−1=0(∗)
Hai đồ thị có 4 giao điểm khi và chỉ khi PT (*) có hai nghiệm dương phân biệt
Suy ra ⇔{Δ′(∗)>0t1+t2>0t1.t2>0⇔{1−m+1>02>0m−1>0⇔1<m<2⇒{t1+t2=2t1.t2=m−1
Giả sử t1>t2, 4 nghiệm của PT ban đầu theo thứ tự từ bé đến lớn sẽ là −√t1;−√t2;√t2;√t1
Theo đề bài ta có −√t1+√t2=−2√t2⇒√t1=3√t2⇔t1=9t2⇒{t1+t2=2t1.t2=m−1t1=9t2⇒{t1=95;t2=15t1.t2=m−1
⇒m−1=925⇔m=3425 . Chọn B.
Bài tập 7: Cho hàm số y=x4−2(2m+1)x2+4m2(C). Các giá trị của tham số thực m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ x1,x2,x3,x4thỏa mãn x21+x22+x23+x24=6là
A. m≥−14 B. m=−14 C. m=1 D. m=14 |
Lời giải chi tiết
PT hoành độ giao điểm hai đồ thị là x4−2(2m+1)x2+4m2=0t=x2→t2−2(2m+1)t+4m2=0(∗)
Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm ⇔(∗) có 2 nghiệm dương phân biệt {Δ′>0t1+t2>0t1.t2>0
⇔{(2m+1)2−4m2>02(2m+1)>04m2>0⇔{m>−14m≠0⇒{t1=x21=x22t1=x23=x24
Khi đó x21+x22+x23+x24=2(t1+t2)=4(2m+1)=6⇔m=14 thỏa mãn {m>−14m≠0 . Chọn D.
Bài tập 8: Cho hàm số y=x4−(4m+2)x2+2m2+1(C). Có bao nhiêu giá trị của m để (C) chia trục hoành thành 4 đoạn phân biệt có độ dài bằng nhau.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x4−(4m+2)x2+2m2+1=0(1)
Đặt t=x2:(1)⇒t2−(4m+2)t+2m2+1=0(2)
Để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔(2) có 2 nghiệm phân biệt t1>t2>0
⇔{Δ′=(2m+1)2−2m2−1>0S=(4m+2)>0P=2m2+1>0⇔{2m2+4m>02m+1>0(∗) .
Theo định lý Viet ta có: {t1+t2=4m+2t1.t2=2m2+1
Khi đó PT (1) có 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự hoành độ tăng dần là: −√t1;−√t2;√t2;√t1
Ta có: AB=CD=√t1−√t2;BC=2√t2⇒AB=BC=CD⇔√t1=3√t2⇔t1=9t2
Giải hệ: {t1+t2=4m+2t1=9t2t1.t2=2m2+1⇔{t1=9.2m+15,t2=2m+15t1.t2=2m2+1⇒9(2m+1)2=25(2m2+1)
⇔7m2−18m+8=0⇔[m=2m=47(t/m(∗)) . Vậy m=2,m=47 là giá trị cần tìm. Chọn C.
TOÁN LỚP 12