Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương – Cách giải và bài tập có đáp án chi tiết - Tự Học 365

Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương – Cách giải và bài tập có đáp án chi tiết

Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương – Cách giải và bài tập có đáp án chi tiết

Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương – Cách giải bài tập có đáp án

Phương pháp giải bài toán tương giao của hàm bậc 4 trùng phương.

Xét sự tương giao đồ thị (C):y=ax4+bx2+c(a0) và trục hoành có phương trình y=0

Phương trình hoành độ giao điểm (C) và trục hoành là ax4+bx2+c=0(1)

Bài toán liên quan đến số giao điểm

Số giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành chính là số nghiệm của phương trình (1).

Đặt t=x20 thì (1) thành at2+bt+c=0(2)

+) (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

{Δ=b24ac>0t1+t2=ba>0t1.t2=ca>0

+) (C) cắt trục hoành tại đúng 3 điểm phân biệt (2) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0.

(C) cắt trục hoành tại đúng 2 điểm phân biệt (2)có nghiệm kép dương hoặc (2) có hai nghiệm trái dấu.

+) (C) cắt trục hoành tại điểm duy nhất (2)có nghiệm kép bằng 0 hoặc (2) có một nghiệm bằng 0 hoặc một nghiệm âm.

+) (C) không cắt trục hoành (2) vô nghiệm, có nghiệm kép âm hoặc có 2 nghiệm phân biệt đều âm

Một số bài toán có thể thay trục hoành thành d:y=m hoặc (P):y=mx2+n , phương pháp giải hoàn toàn tương tự như trên.

Bài toán liên quan đến tính chất giao điểm

Tìm điều kiện để (C):y=ax4+bx2+c(a0) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D thỏa mãn điều kiện cho trước.

Bước 1: Tìm điều kiện để (1) có 4 nghiệm phân biệt

(2) có 2 nghiệm dương phân biệt t1t2 {Δ=b24ac>0t1+t2=ba>0t1.t2=ca>0 (*)

Bước 2: Giả sử t1>t2>0 khi đó các nghiệm của (1) sắp xếp theo thứ tự tăng dần là t1;t2;t2;t1, xử lý điều kiện và tìm giá trị của tham số.

Đặc biệt: Khi hoành độ 4 điểm A, B, C, D lập thành cấp số cộng hoặc AB=BC=CD khi: t1t2=2t2t1=3t2t1=9t2

Bài tập trắc nghiệm tương giao của hàm bậc 4, hàm trùng phương có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Số giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y=x48x2+52m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt là:

A. 9 B. 6 C. 7 D. 8

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm là x48x2+52m=0

Đặt t=x2,t0PTt28t+52m=0()

Phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn t1>t2>0

Khi đó {Δ()>0t1+t2>0t1.t2>0{16(52m)>08>052m>0112<m<52

Kết hợp mZ Có 8 giá trị của m. Chọn D.

Bài tập 2: Cho hàm số y=x4+2(m2)x2+4 có đồ thị (Cm) , với m là tham số thực. Tìm tập hợp T gồm tất cả các giá trị của tham số m để (Cm) cắt Ox tại bốn điểm phân biệt

A. T=(0;2)  B. T=(4;+) C. T=(;0)(4;+)              D. T=(;0)

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm là x4+2(m2)x2+4=0t=x2t2+2(m2)t+4=0()

Đồ thị hàm số và trục hoành có 4 giao điểm khi và chỉ khi PT hoành độ giáo điểm có 4 nghiệm phân biệt

() có hai nghiệm phân biệt t>0{Δ()>0t1+t2>0t1.t2>0{(m2)24>02(m2)>04>0

m<0T=(;0) . Chọn D.

Bài tập 3: Cho hàm số y=x42mx2+m+1(C). Gọi S là tập hợp các giá trị của m để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ x1,x2,x3,x4 thỏa mãn x41+x42+x43+x44=20. Tổng các phần tử của tập hợp (S) là:

A. 1 B. – 1  C. 2 D. – 3

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x42mx2+m+1=0(1)

Đặt t=x2:(1)t22mt+m+1=0(2)

Để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt (2) có 2 nghiệm phân biệt t1>t2>0

{Δ=m2m1>0S=2m>0P=m+1>0() . Theo Viet: {t1+t2=2mt1.t2=m+1

Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm t1;t2;t2;t1

Ta có: giả thiết bài toán t21+t22+t22+t21=20t21+t22=10(t1+t2)22t1t2=10

4m22m2=102m2m6=0[m=2m=3

Kết hợp (*) m=2 là giá trị cần tìm. Chọn C.

Bài tập 4: Cho hàm số y=x4(2m+1)x2+2(C). Gọi S là tập hợp các giá trị của m để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ x1,x2,x3,x4 thỏa mãn 1x41+1x42+1x43+1x44=52

Số phần tử của tập hợp S là:

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x4(2m+1)x2+2=0(1)

Đặt t=x2:(1)t2(2m+1)t+2=0(2)

Để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt (2) có 2 nghiệm phân biệt t1>t2>0

{Δ=(2m+1)28>0S=2m+1>0P=2>0() . Theo Viet: {t1+t2=2m+1t1.t2=2

+) Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm t1;t2;t2;t1 ta có: 1t21+1t22+1t23+1t24=52

2t21+2t22=522(t21+t22)t21.t22=52t21+t22=5(t1+t2)22t1t2=5(2m+1)2=9[m=1m=2

Kết hợp (*) m=1 là giá trị cần tìm. Chọn B.

Bài tập 5: Cho hàm số: y=x42mx2+m+4(C). Gọi S là tập hợp các giá trị của m để (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ x1,x2,x3,x4 thỏa mãn: |x1|+|x2|+|x3|+|x4|=8 . Tổng các phần tử của tập hợp S là:

A. 5 B. 12 C. 17 D. – 17

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x42mx2+m+4=0(1)

Đặt t=x2:(1)t22mt+m+4=0(2)

Để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt (2) có 2 nghiệm phân biệt t1>t2>0

{Δ=m2m4>0S=2m>0P=m+4>0() . Theo Viet: {t1+t2=2mt1.t2=m+4

+) Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm t1;t2;t2;t1

Ta có: giả thiết |t1|+|t2|+|t2|+|t1|=82(t1+t2)=8t1+t2=4

t1+t2+2t1t2=162m+4=162mm+4=8m{m8m217m+60=0m=5

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm. Chọn A.

Bài tập 6: Cho hàm số y=f(x)=ax4+bx2+c có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp các giá trị thực của m để đường thẳng d:y=m+2 cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại bốn điểm phân biệt cách đều nhau là

A. {3425;74}  B. {3425}

C. {74} D. {1;2}

Lời giải chi tiết

Dựa vào đồ thị hàm số, suy ra y=f(x)=x42x2+1

PT hoành độ giao điểm hai đồ thị là x42x2+1=m+2t=x2t22t+m1=0()

Hai đồ thị có 4 giao điểm khi và chỉ khi PT (*) có hai nghiệm dương phân biệt

Suy ra {Δ()>0t1+t2>0t1.t2>0{1m+1>02>0m1>01<m<2{t1+t2=2t1.t2=m1

Giả sử t1>t2, 4 nghiệm của PT ban đầu theo thứ tự từ bé đến lớn sẽ là t1;t2;t2;t1

Theo đề bài ta có t1+t2=2t2t1=3t2t1=9t2{t1+t2=2t1.t2=m1t1=9t2{t1=95;t2=15t1.t2=m1

m1=925m=3425Chọn B.

Bài tập 7: Cho hàm số y=x42(2m+1)x2+4m2(C). Các giá trị của tham số thực m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ x1,x2,x3,x4thỏa mãn x21+x22+x23+x24=6

A. m14  B. m=14 C. m=1 D. m=14

Lời giải chi tiết

PT hoành độ giao điểm hai đồ thị là x42(2m+1)x2+4m2=0t=x2t22(2m+1)t+4m2=0()

Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm () có 2 nghiệm dương phân biệt {Δ>0t1+t2>0t1.t2>0

{(2m+1)24m2>02(2m+1)>04m2>0{m>14m0{t1=x21=x22t1=x23=x24

Khi đó x21+x22+x23+x24=2(t1+t2)=4(2m+1)=6m=14 thỏa mãn {m>14m0Chọn D.

Bài tập 8: Cho hàm số y=x4(4m+2)x2+2m2+1(C). Có bao nhiêu giá trị của m để (C) chia trục hoành thành 4 đoạn phân biệt có độ dài bằng nhau.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x4(4m+2)x2+2m2+1=0(1)

Đặt t=x2:(1)t2(4m+2)t+2m2+1=0(2)

Để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt (2) có 2 nghiệm phân biệt t1>t2>0

{Δ=(2m+1)22m21>0S=(4m+2)>0P=2m2+1>0{2m2+4m>02m+1>0() .

Theo định lý Viet ta có: {t1+t2=4m+2t1.t2=2m2+1

Khi đó PT (1) có 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự hoành độ tăng dần là: t1;t2;t2;t1

Ta có: AB=CD=t1t2;BC=2t2AB=BC=CDt1=3t2t1=9t2

Giải hệ: {t1+t2=4m+2t1=9t2t1.t2=2m2+1{t1=9.2m+15,t2=2m+15t1.t2=2m2+19(2m+1)2=25(2m2+1)

7m218m+8=0[m=2m=47(t/m()) . Vậy m=2,m=47  là giá trị cần tìm. Chọn C.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12