Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 3 – Cách giải và bài tập có đáp án chi tiết

Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 3 – cách giải {} bài tập có đáp án

Phương pháp giải bài toán tương giao đồ thị hàm bậc 3

Xét đồ thị $\left( C \right):y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\left( a\ne 0 \right)$ và đường thẳng $d:y=kx+\ell $

Hoành độ giao điểm của $y=x+m$ và $\left( C \right)$ là nghiệm của phương trình

$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=kx+\ell \Leftrightarrow a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+(x-k)x+d-\ell =0$                             (1)

$\to $ Số giao điểm của d và $\left( C \right)$ là nghiệm của phương trình (1).

• Trường hợp 1: Phương trình (1) có một nghiệm đẹp $x={{x}_{o}}$

Khi đó (1) thành $\left( x-{{x}_{o}} \right).\left( A{{x}^{2}}+Bx+C \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x={{x}_{o}} \\  {} g(x)=A{{x}^{2}}+Bx+C=0 \\ \end{array} \right.$

- Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác ${{x}_{o}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{\Delta }_{g(x)}}>0 \\  {} g({{x}_{o}})\ne 0 \\ \end{array} \right.$

Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình $g(x)=0$ khi đó tọa độ các giao điểm của d và $\left( C \right)$ là:

$A\left( {{x}_{o}};k{{x}_{o}}+\ell  \right),B\left( {{x}_{1}};k{{x}_{1}}+\ell  \right),C\left( {{x}_{2}};k{{x}_{2}}+\ell  \right)$ trong đó $\left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-B}{A} \\  {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{C}{A} \\ \end{array} \right.$ ( Định lý Viet).

- Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow g(x)=0$ có nghiệm kép khác ${{x}_{o}}$ hoặc $g(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt, trong đó 1 nghiệm bằng ${{x}_{o}}$và nghiệm còn lại khác ${{x}_{o}}$.

- Phương trình (1) có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow g(x)=0$ vô nghiệm hoặc $g(x)=0$ có nghiệm kép $x={{x}_{o}}$.

• Trường hợp 2: Phương trình (1) không có một nghiệm đẹp $x={{x}_{o}}$ nhưng cô lập được tham số.

Khi đó ta biến đổi (1) thành $\varphi (x)=h(m)$ .

Từ đó số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=\varphi (x)$và $y=h(m)$

Lập bảng biến thiên cho hàm số $y=\varphi (x)\Rightarrow $Kết luận.

Bài tập trắc nghiệm tương giao của hàm bậc 3 có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm là

$2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1=mx+1\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=0 \\  {} g(x)=2{{x}^{2}}-3x-m=0 \\ \end{array} \right.$

ĐK cắt tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{\Delta }_{g(x)}}=9+8m>0 \\  {} g(0)=-m\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m>\frac{-9}{8} \\  {} m\ne 0 \\\end{array} \right.$ . Chọn D.

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $\left( C \right)$ và trục hoành là

$(1)\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left[ {{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}+m \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=2 \\  {} f(x)={{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}+m=0 \\ \end{array} \right.$

Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt $\Leftrightarrow (1)$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow f(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt

$x\ne 2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \Delta >0 \\  {} f(2)\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+m \right)>0 \\  {} 4-2\left( 2m+1 \right)+{{m}^{2}}+m\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 1>0 \\  {} m\ne 1 \\  {} m\ne 2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\ne 1 \\  {} m\ne 2 \\ \end{array} \right.$ . Chọn C.

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm là

${{x}^{3}}-(m+2)x+2m-1=4x+5\Leftrightarrow {{x}^{3}}-(m+6)x+2m+4=0(*)$

$(x-2)({{x}^{2}}+2x-m-2)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=2 \\  {} f(x)={{x}^{2}}+2x-m-2=0 \\ \end{array} \right.$

Hai đồ thị có giao điểm khi và chỉ khi PT (*) có ba nghiệm phân biệt, khi đó PT $f(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x\ne 2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {\Delta }'>0 \\  {} f(2)\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 1+m+2>0 \\  {} 4+4-m-2\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m>-3 \\  {} m\ne 6 \\ \end{array} \right.$

Kết hợp $\left\{ \begin{array}  {} m\in \left[ -10;10 \right] \\  {} m\in \mathbb{Z} \\ \end{array} \right.\Rightarrow $ có 12 giá trị của m. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm là $\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-2mx+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=2 \\  {} f(x)={{x}^{2}}-2mx+m=0 \\ \end{array} \right.$

$\left( C \right)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương $\Leftrightarrow $ PT $f(x)=0$ có hai nghiệm $x>0,x\ne 2$

Suy ra $\left\{ \begin{array}  {} {\Delta }'>0 \\  {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0 \\  {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}>0 \\  {} f(2)\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{m}^{2}}-m>0 \\  {} 2m>0 \\  {} m>0 \\  {} 4-4m+m\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m>1 \\  {} m\ne \frac{4}{3} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\in \left( 1;+\infty  \right)\backslash \left\{ \frac{4}{3} \right\}$ . Chọn A.

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số là

${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+(m+2)x-m=2x-2\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx-m+2=0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+m-2 \right)=0\left( * \right)$

Đồ thị hai hàm số có ba điểm chung phân biệt khi và chỉ khi pt (*) có ba nghiệm phân biệt. Khi đó

$\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+m-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=1 \\  {} f(x)={{x}^{2}}-2x+m-2=0 \\ \end{array} \right.$

Yêu cầu bài toán $\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} f(1)\ne 1 \\  {} {{{{\Delta }'}}_{f(x)}}>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 1-2+m-2\ne 0 \\  {} 1-m+2>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\ne 3 \\  {} m<3 \\ \end{array} \right.\Rightarrow m<3$ . Chọn A.

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và trục Ox là:

$\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+mx+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{x}_{3}}=2 \\  {} f(x)={{x}^{2}}+mx+1=0 \\ \end{array} \right.\left( 1 \right)$

Đồ thị $\left( C \right)$cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (1)$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ $g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm đó khác 1 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \Delta ={{m}^{2}}-4>0 \\  {} g(1)\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{m}^{2}}>4 \\  {} m+2\ne 0 \\ \end{array} \right.$

Khi đó cho ${{x}_{3}}=1$ và ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của PT $g(x)=0$. Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m \\  {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=1 \\ \end{array} \right.$

Theo đề bài ta có: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=10\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=9\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2=9$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}=11\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{11}\left( t/m \right)$

Vậy $m=\pm \sqrt{11}$là giá trị cần tìm . Chọn B.

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và trục Ox là: ${{x}^{3}}-mx+m-1=0$

${{x}^{3}}-1-m(x-1)=0\Leftrightarrow (x-1)({{x}^{2}}+x+1-m)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{x}_{3}}=1 \\  {} g(x)={{x}^{2}}+x+1-m=0 \\ \end{array} \right.\left( 1 \right)$

Để đồ thị $\left( C \right)$ cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (1)$ có 3 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \Delta =1-4(1-m)=4m-3>0 \\  {} g(1)=3-m\ne 0 \\ \end{array} \right.\left( * \right)$

Khi đó gọi ${{x}_{3}}=1$ và ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của PT $g(x)=0$

Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1 \\  {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=1-m \\ \end{array} \right.$

Do vậy $A=\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}+1=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}+1=\frac{-1}{1-m}+1=2\Leftrightarrow m=2\left( tm \right)$

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm

${{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}-1=x-1\Leftrightarrow x({{x}^{2}}-2mx-1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=0 \\  {} {{x}^{2}}-2mx-1=0 \\ \end{array} \right.\left( 1 \right)$

Ta có d cắt $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (1)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {\Delta }'={{m}^{2}}+1>0 \\  {} {{0}^{2}}-2m.0-1\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\in \mathbb{R}$               (*)

Giả sử ${{x}_{3}}=0$ khi đó ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của (1), theo Viet có $\left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\  {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-1 \\ \end{array} \right.$

Do đó $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\le 20\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}\le 20\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+2\le 20\Leftrightarrow {{m}^{2}}\le \frac{9}{2}\Leftrightarrow -\frac{3}{\sqrt{2}}\le m\le \frac{3}{\sqrt{2}}$

Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ \pm 2;\pm 1;0 \right\}$ . Chọn C

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và đường thẳng d là: $x\left( {{x}^{2}}-1 \right)-m\left( x-1 \right)=0$

$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x \right)-m\left( x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x-m \right)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x=1 \\  {} g(x)={{x}^{2}}+x-m=0 \\ \end{array} \right.$

Đồ thị $\left( C \right)$ cắt d tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (1)$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm đó khác 1 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \Delta =1+4m>0 \\  {} g(1)\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 4m+1>0 \\  {} 2-m\ne 0 \\ \end{array} \right.(*)$

Khi đó gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của PT $g(x)=0$ . Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1 \\  {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-m \\ \end{array} \right.$

Ta có: $A\left( {{x}_{1}};m\left( {{x}_{1}}-1 \right) \right);B\left( {{x}_{2}};m\left( {{x}_{1}}-1 \right) \right)$ , trung điểm của AB là

$\left\{ \begin{array}  {} {{x}_{M}}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}=\frac{-1}{2} \\  {} {{y}_{M}}=\frac{m\left( {{x}_{1}}-1 \right)+m\left( {{x}_{2}}-1 \right)}{2}=\frac{m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-2m}{2}=\frac{-3m}{2} \\ \end{array} \right.$

Theo bài ra $M\left( -\frac{1}{2};0 \right)$ nên $\frac{-3m}{2}=-9\Leftrightarrow m=6\left( tm \right)$

Vậy m = 6 là giá trị cần tìm. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm là ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+2=m\left( x-1 \right)+1$

$\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x-1-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=1 \\  {} g(x)={{x}^{2}}-2x-1-m=0 \\ \end{array} \right.$

Giả thiết bài toán B là trung điểm của AC hay $g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}};{{x}_{1}}\ne 1$ thỏa mãn

$\Leftrightarrow {{x}_{A}}+{{x}_{C}}=2{{x}_{B}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{{{\Delta }'}}_{g(x)}}=2+m>0 \\  {} g(1)=-2-m\ne 0\Leftrightarrow m>-2 \\  {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1 \\ \end{array} \right.$ . Chọn C.

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và đường thẳng d là: ${{x}^{3}}+mx-m-1=0$

$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{x}_{3}}=1\Rightarrow {{y}_{3}}=3 \\  {} g(x)={{x}^{2}}+x+1-m=0 \\ \end{array} \right.\left( 1 \right)$

Đồ thị $\left( C \right)$ cắt $y=x+m$ tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm đó khác 1$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \Delta =1-4(1-m)>0 \\  {} g(1)\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 4m-3>0 \\  {} 3-m\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\ge \frac{3}{4} \\  {} m\ne 3 \\ \end{array} \right.(*)$

Khi đó cho ${{x}_{3}}=1;{{y}_{3}}=3$ và ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình $g(x)=0$

Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1 \\  {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-m \\ \end{array} \right.$

Theo đề bài ta có: $A=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}={{\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)}^{2}}+9=4\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+11$

$A=4\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]+4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+11=4\left[ 1-2\left( 1-m \right) \right]-4+11=8m+3\le 83\Leftrightarrow m\le 10$

Kết hợp (*) và$m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $  có 9 giá trị của m. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và d là: ${{x}^{3}}+mx-2mx-8=0$

$\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)+m\left( x-2 \right)=0\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=2\Rightarrow C\left( 2;4m+4 \right) \\  {} g(x)={{x}^{2}}+2x+4+m=0 \\ \end{array} \right.\left( 1 \right)$

Để đồ thị $\left( C \right)$ cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (1)$ có 3 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {\Delta }'=1-4-m=-m-3>0 \\  {} g\left( 2 \right)=12+m\ne 0 \\ \end{array} \right.(*)$

Khi đó gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình $g(x)=0$ . Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2 \\  {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=4+m \\ \end{array} \right.$

Gọi $A\left( {{x}_{1}};2m{{x}_{1}}+4 \right);B\left( {{x}_{2}};2m{{x}_{2}}+4 \right)$ ta có: $\left\{ \begin{array}  {} {{x}_{o}}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+0}{3}=\frac{-2}{3} \\  {} {{y}_{o}}=\frac{2m{{x}_{1}}+4+2m{{x}_{2}}+4+0}{3}=\frac{2m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+8}{3} \\ \end{array} \right.$

Do vậy $G\left( -\frac{2}{3};\frac{8-4m}{3} \right)$ . Cho $\frac{8-4m}{3}=8\Leftrightarrow m=-4(tm)$

Vậy $m=-4$ là giá trị cần tìm. Chọn A.