Phương trình, bất phương trình mũ logarit chứa tham số m – bài tập có đáp án chi tiết. - Tự Học 365

Phương trình, bất phương trình mũ logarit chứa tham số m – bài tập có đáp án chi tiết.

Phương trình

Phương trình, bất phương trình mũ logarit chứa tham số m – bài tập có đáp án.

1. Bài toán 1. Tìm tham số m để f(x;m)=0 có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên miền D.

- Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f(x)=P(m).

- Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D.

- Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số P(m) để đường thẳng y=P(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x).

Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán 1

Hàm số y=f(x) có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên D thì giá trị P(m) cần tìm để phương trình có nghiệm thỏa mãn minxDf(x)P(m)maxxDf(x)

Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng y=P(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại k điểm phân biệt.

Nếu đổi biến, nói cách khác là đặt ẩn phụ thì ta cần tìm điều kiện cho biến mới và biện luận mối tương quan số nghiệm giữa biến cũ và biến mới.

Nếu đề bài yêu cầu tìm tham số m để phương trình bậc hai theo mũ hoặc lôgarit có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn x1+x2=a hoặc x1x2=b, ta có thể sử dụng định lý Vi-ét sau khi lấy mũ hoặc lôgarit hai vế hợp lí.

2. Bài toán 2. Tìm tham số m để f(x;m)0 hoặc f(x;m)0 có nghiệm trên D.

- Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f(x)P(m) hoặc f(x)P(m)

- Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D.

- Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị của tham số P(m) để bất phương trình có nghiệm:

* P(m)f(x) có nghiệm trên D P(m)maxxDf(x).

* P(m)f(x) có nghiệm trên D P(m)minxDf(x).

Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán 2

– Bất phương trình P(m)f(x) nghiệm đúng xDP(m)minxDf(x).

– Bất phương trình P(m)f(x) nghiệm đúng xDP(m)maxxDf(x).

– Nếu f(x;m)0;xR hoặc f(x;m)0;xR với f(x;m) là tam thức bậc hai, ta sẽ sử dụng dấu của tam thức bậc hai.

3. Một số phương pháp áp dụng trong bài toán

a) Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt t=au(x) hoặc t=logau(x), tùy theo điều kiện của x ta sẽ tìm được miền xác định của biến t.

b) Phương pháp hàm số: Đưa phương trình (bất phương trình) về dạng f(u)=f(v) với f(t)là hàm số đơn điệu và đại diện cho hai vế của phương trình. Khi đó f(u)=f(v)u=v.

c) Dấu của tam thức bậc hai: Xét hàm số f(x)=ax2+bx+c có hai nghiệm phân biệt x1,x2

– Ta có Δ=b24ac và định lý Vi-ét: {x1+x2=bax1x2=ca.

– Phương trình f(x)=0 có hai nghiệm dương phân biệt {Δ>0x1+x2>0x1x2>0.

– Phương trình f(x)=0 có hai nghiệm trái dấu ac<0.

– Bất phương trình f(x)>0;xR{a>0Δ<0.

– Bất phương trình f(x)<0;xR{a<0Δ<0.

Bài tập trắc nghiệm tìm m để phương trình, bất phương trình mũ logarit có đáp án

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2x22x=m2m+1 có nghiệm thuộc đoạn [0;2]?

A. 2                                    B. 3                                         C. 0                                    D. 1

Lời giải

Xét u(x)=x22x trên [0;2], có u(x)=2x2;u(x)=0x=1.

Tính u(0)=0;u(1)=1;u(2)=01u(x)0122x22x1.

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm 12m2m+110m1.

Kết hợp với mZ có 2 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn A.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc [10;10] để phương trình 4x+12x+2+m=0 có nghiệm?

A. 3                                    B. 12                                       C. 7                                    D. 15

Lời giải

Ta có 4x+12x+2+m=0(2x+1)22.2x+1+m=0                                                    (1)

Đặt t=2x+1>0. Phương trình (1) trở thành t22t+m=0t22t=m                       (2)

Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t>0.

Cách 1. Xét hàm f(t)=t22t với t>0.

Đạo hàm và lập bảng biến thiên, ta kết luận được m1m1. Chọn C.

Cách 2. Yêu cầu bài toán phương trình (2) có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn [0<t1t2t10<t2

[{Δ0P>0S>0P0[0<m1m0m1. Kết hợp m[10;10]mZ có 12 số nguyên m cần tìm.

Chọn B.

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4x+2x+4=3m(2x+1) có hai nghiệm phân biệt.

A. log43m<1 B. log43<m<1         C. 1<mlog34 D. 1<m<log34

Lời giải

Đặt t=2x>04x=(2x)2=t2a=3m nên phương trình đã cho trở thành:

t2+t+4=a(t+1)t2(a1)t+4a=0             (*).

Yêu cầu bài toán (*) có hai nghiệm dương phân biệt t1,t2{Δ>0S=t1+t2>0P=t1t2>0

{(a1)24(4a)>0a1>0;4a>0{a2+2a15>01<a<43<a<43<3m<41<m<log34.

Chọn D.

Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình

25xm.5x+1+7m27=0 có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

A. 7                                    B. 1                                         C. 2                                    D. 3

Lời giải

Ta có 25xm.5x+1+7m27=0(5x)25m.5x+7m27=0

Đặt t=5x>0 nên phương trình trở thành: t25mt+7m27=0                 (*).

Với mỗi nghiệm t>0 của phương trình (*) sẽ tương ứng với một nghiệm x của phương trình ban đầu. Do đó, yêu cầu bài toán tương đương phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt.

Khi đó {Δ>0S>0P>0{25m24(7m27)>05m>0;7m27>0{283m2>0m>01<m<283.

Kết hợp với mZm={2;3} là hai giá trị nguyên cần tìm. Chọn C.

Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình 4x2m.2x+2m=0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn x1+x2=3.

A. 2                                    B. 3                                         C. 0                                    D. 1

Lời giải

Đặt t=2x>0 nên phương trình đã cho trở thành: t22mt+2m=0       (*).

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt (*) có hai nghiệm dương phân biệt t1,t2.

{Δ>0S=t1+t2>0P=t1t2>0{4m28m>02m>02m>0{[m>2m<0m>2m>0.

Ta có t1t2=2x1.2x2=2x1+x2=23=8=2m suy ra m=4 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy m=4 là giá trị duy nhất cần tìm. Chọn D.

Ví dụ 6: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 6x+(3m)2xm=0 có nghiệm thuộc khoảng (0;1).

A. [3;4]           B. [2;4]               C. (2;4)          D. (3;4)

Lời giải

Ta có 6x+(3m)2xm=06x+3.2x=(2x+1).mm=6x+3.2x2x+1=3x+32x+1

Xét hàm số f(x)=3x+32x+1 trên (0;1), có f(x)=3x.ln3(2x+1)+(3x+3).2xln2(2x+1)2>0

Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên ℝ, do đó f(0)<f(x)<f(1)2<f(x)<4.

Vậy để phương trình m=f(x) có nghiệm khi và chỉ khi 2<m<4. Chọn C.

Ví dụ 7: Cho phương trình 32x23x+m+9=3x2x+2+3x22x+m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [10;10] để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt?

A. 12                                  B. 8                                         C. 3                                    D. 17

Lời giải

Ta có 32x23x+m+9=3x2x+2+3x22x+m(32x23x+m3x22x+m)+(93x22x+m)=0

3x2x.(3x22x+m9)(3x22x+m9)=0(3x2x1)(3x22x+m9)=0[3x2x=13x22x+m=9

[x2x=0x22x+m=2[x=0;x=1g(x)=x22x+m2=0

Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt g(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0, 1.

{Δ>0g(0)0g(1)0{(1)2(m2)>0m20m30{m<3m2.

mZm[10;10] có 12 giá trị nguyên của m cần tìm. Chọn A.

Ví dụ 8: Có bao nhiêu giá của tham số thực m để phương trình 9x22.3x2+1+3m1=0 có đúng 3 nghiệm phân biệt?

A. 3                                    B. 1                                         C. 0                                    D. 2

Lời giải

Ta có 9x22.3x2+1+3m1=0(3x2)26.3x2+3m1=0                    (*)

x203x230=1. Đặt t=3x21 nên phương trình (*) f(t)=t26t+3m1=0

Yêu cầu bài toán f(t)=0 có nghiệm bằng 1; nghiệm còn lại khác 1.

f(1)=0126.1+3m1=03m6=0m=2. Chọn B.

Ví dụ 9: Cho phương trình 251+1x2(m+2)51+1x2+2m+1=0 với m là tham số thực. Số nguyên dương m bé nhất để phương trình có nghiệm là

A. m=2                           B. m=8                               C. m=4                           D. m=6

Lời giải

Điều kiện: 1x1.

Xét u(x)=1+1x2, có u(x)=x1x2;u(x)=0x=0{max[1;1]u(x)=2min[1;1]u(x)=1.

Đặt t=51+1x2t[5;25] nên phương trình t2(m+2)t+2m+1=0m=t22t+1t2.

Do đó phương trình đã có nghiệm minf(t)[5;25]mmaxf(t)[5;25]163m57623.

Suy ra số nguyên dương m lớn nhất là m=6. Chọn D.

Cách CASIO. Cô lập m ta được m=251+1x22.51+1x2+151+1x22.

Đặt f(x)=251+1x22.51+1x2+151+1x22. Khi đó phương trình f(x)=m.

Sử dụng MODE7 khảo sát hàm f(x) với thiết lập Start 1, End 1, Step 0, 2.

Quan sát bảng giá trị ta thấy f(x)f(5)=163 hay mf(5)=163.

Vậy m nguyên dương bé nhất là 6.

Ví dụ 10: Cho phương trình (m+1)16x2(2m3)4x+6m+5=0 với m là tham số thực. Tập tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu có dạng (a;b). Tính P=ab.

A. P=4                           B. P=4                               C. P=32            D. P=56

Lời giải

Đặt t=4x>0. Phương trình trở thành (m+1)t22(2m3)t+6m+5f(t)=0          (*).

Phương trình đã cho có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1<0<x24x1<40<4x2t1<1<t2.

Yêu cầu bài toán (*) có hai nghiệm t1,t2 thỏa 0<t1<1<t2{m+10(m+1)f(1)<0(m+1)f(0)>0

{m+10(m+1)(3m+12)<0(m+1)(6m+5)>04<m<1{a=4b=1P=4. Chọn A.

Ví dụ 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m[10;10] để phương trình

2x2+mx22x2+2mx+m=x2+mx+m có hai nghiệm thực phân biệt?

A. 9                                    B. 6                                         C. 16                                  D. 13

Lời giải

Ta có 2x2+mx22x2+2mx+m=x2+mx+m2x2+mx22x2+2mx+m=2x2+2mx+m(x2+mx)

2x2+mx+x2+mx=22x2+2mx+m+2x2+2mx+mf(x2+mx)=f(2x2+2mx+m)           (*).

Xét hàm số f(t)=2t+t trên (;+), có f(t)=2t.ln2+1>0;xR.

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên (;+) nên (*) x2+mx=2x2+2mx+m

x2+mx+m=0 có hai nghiệm phân biệt Δ=m24m>0[m>4m<0.

Kết hợp với mZm[10;10] có 16 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn C.

Ví dụ 12: Cho phương trình em.sinxcosxe2(1cosx)=2cosxm.sinxvới m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m[10;10] để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 9                                    B. 18                                       C. 11                                  D. 15

Lời giải

PT em.sinxcosx+m.sinxcosx=e22cosx+22cosxf(m.sinxcosx)=f(22cosx)

Với f(t)=et+t là hàm số đồng biến trên (;+) nên ta được m.sinxcosx=22cosx

m.sinx+cosx=2 có nghiệm khi m2+1222m23[m3m3.

Kết hợp với mZm[10;10] có 9 + 9 = 18 giá trị nguyên cần tìm. Chọn B.

Ví dụ 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m nhỏ hơn 10 sao cho phương trình m+m+ex=ex có nghiệm thực?

A. 4                                    B. 6                                         C. 8                                    D. 10

Lời giải

Ta có m+m+ex=exm+m+ex=(ex)2(m+ex)2+m+ex=(ex)2+ex             (*).

Xét hàm số f(t)=t2+t trên (0;+), có f(t)=2t+1>0;t>0

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên (0;+) nên (*) f(m+ex)=f(ex)

m+ex=exm+ex=(ex)2m=(ex)2exa=ex>0m=g(a)=a2a.

Xét hàm số g(a)=a2a trên (0;+), có g(a)=2a1;g(a)=0a=12.

Dựa vào BBT, ta thấy m=g(a) có nghiệm thực dương mg(12)=14.

Kết hợp với mZm<10 có 10 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn D.

Ví dụ 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình m+ex2=4e2x+1 có nghiệm?

A. 0<m<1                      B. 0<m2e          C. 1em<1      D. 1<m<0

Lời giải

Đặt t=4e2x+1, vì e2x>0t>1. Suy ra t4=e2x+1(ex2)4=t41ex2=4t41.

Khi đó phương trình đã cho trở thành m+4t41=tm=t4t41     (*)

Xét hàm số f(t)=t4t41 trên (1;+), có f(t)=1t34(t41)3<0;t>1

Suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên khoảng (1;+).


Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm 0<m<1. Chọn A.

Ví dụ 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình (2e)x2+2mx+1(e2)2x3m nghiệm đúng với mọi xR?

A. 8                                    B. 5                                         C. 6                                    D. 7

Lời giải

Ta có (2e)x2+2mx+1(e2)2x3m(2e)x2+2mx+1(2e)3m2xx2+2mx+13m2x

x2+2(m+1)x3m+10;xR{a=1>0Δ=(m+1)2(13m)05m0.

Kết hợp với mZ có 6 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn C.

Ví dụ 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m[10;10] để bất phương trình 9xm.3xm+3>0 nghiệm đúng với mọi xR?

A. 12                                  B. 20                                       C. 8                                    D. 4

Lời giải

Đặt t=3x>0 thì bất phương trình trở thành: t2mtm+3>0,t>0

m(t+1)<t2+3m<t2+3t+1=f(t),t(0;+)m<min(0;+)f(t).

Ta có f(t)=t2+2t3(t+1)2;f(t)=0{t>0t2+2t3=0t=1.


Từ BBT, suy ra m<min(0;+)f(t)=2. Kết hợp {mZm[10;10] có 12 giá trị nguyên m. Chọn A.

Ví dụ 17: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m[10;10] để bất phương trình

32x+1(m+3).3x2(m+3)>0 có nghiệm?

A. 10                                  B. 5                                         C. 19                                  D. 13

Lời giải

Đặt t=3x>0 thì bất phương trình trở thành: 3t2(m+3)t2m6<0

3t23t6<m(t+2)m>3t23t6t+2=f(t).

Xét hàm số f(t)=3t23t6t+2 trên (0;+), có f(t)=3t2+12t(t+2)2>0;t>0.

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên (0;+)minf(t)=3.

Yêu cầu bài toán m>min(0;+)f(t)=3.

Kết hợp với mZm[10;10] có 13 giá trị nguyên cần tìm. Chọn D.

Ví dụ 18: Cho bất phương trình m.3x+1+(3m+2)(47)x+(4+7)x>0, với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x<0?

A. m>2+233                                            B. m>2233         C. m2233                     D. m>2233

Lời giải

Bất phương trình 3m+(3m+2).(473)x+(4+73)x>0          (*).

Ta có 473.4+73=1(473)x=(4+73)x nên đặt t=(4+73)x(473)x=1t.

Khi đó (*) 3m+3m+2t+t>0,t(0;1)3m>t2+2t+1,t(0;1)

Xét hàm số f(t)=t2+2t+1 trên (0;1), suy ra max(0;1)f(t)=f(31)=223.

Do đó 3m>f(t);t(0;1)3m>223m>2233. Chọn B.

Ví dụ 19: Gọi m là số thực sao cho phương trình log23x(m+2)log3x+3m2=0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1x2=9. Khẳng định nào dưới đaya đúng?

A. 1<m<3                      B. 3<m<1                         C. 1<m<1                     D. 2<m<4

Lời giải

Đặt t=log3x thì phương trình trở thành: t2(m+2)t+3m2=0             (*)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì (*) có hai nghiệm phân biệt

{a=10Δ=(m+2)24(3m2)>0m28m+12>0[m>6m<2.

Ta có x1x2=9log3(x1x2)=2log3x1+log3x2=2t1+t2=2m=0 (thỏa mãn).

Vậy 1<m<1. Chọn C.

Ví dụ 20: Cho phương trình log12(m+6x)+log2(32xx2)=0. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 17                                  B. 23                                       C. 9                                    D. 15

Lời giải

Ta có log12(m+6x)+log2(32xx2)=0log2(32xx2)=log2(m+6x)

{32xx2>032xx2=m+6x{3<x<1m=x28x+3f(x)=x28x+3.

Xét hàm số f(x)=x28x+3 trên (3;1), có f(x)=2x8<0;x(3;1)

Dựa vào BBT, để m=f(x) có nghiệm thuộc (3;1)f(3)<m<f(1)6<m<18.

Kết hợp với m nguyên dương có 17 giá trị cần tìm. Chọn A.

Ví dụ 21: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m[10;10] để phương trình log(mx)=2log(x+1) có nghiệm duy nhất?

A. 11                                  B. 7                                         C. 16                                  D. 3

Lời giải

Điều kiện: x>1

Phương trình log(mx)=2log(x+1)mx=(x+1)2m=(x+1)2x=x+1x+2.

Xét hàm f(x)=x+1x+2 trên (1;+), có f(x)=11x2;f(x)=0[x=1x=1.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất [m=4m<0

Kết hợp với mZm[10;10] có 11 giá trị m nguyên. Chọn A.

Ví dụ 22: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để log2(x22x+5)m.logx22x+52=5 có hai nhiệm phân biệt là nghiệm của bất phương trình log3(x+1)log3(x1)>log34?

A. (254;6]                                       B. (254;6)   C. (254;+)                                               D. [254;6]

Lời giải

BPT {x+1>0;x1>0log3x+1x1>log32{x>1x+1x1>2{x>1x<321<x<3.

Phương trình đã cho được viết lại thành: log2(x22x+5)mlog2(x22x+5)=5

Đặt t=log2(x22x+5), ta được tmt=5m=f(t)=t25t.

Với 1<x<34<x22x+5<8log24<log2(x22x+5)<log282<t<3.

Xét hàm số f(t) trên khoảng (2;3), để m=f(t) có 2 nghiệm phân biệt 254<m<6. Chọn B.

Ví dụ 23: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m[10;10] để phương trình x2log3(x+1)=m có hai nghiệm thực phân biệt?

A. 5                                    B. 18                                       C. 11                                  D. 9

Lời giải

Điều kiện: {x>1log3(x+1)0{x>1x+130{x>1x0.

Xét hàm số f(x)=x2log3(x+1) trên khoảng D=(1;+){0}.

Ta có f(x)=12.[log3(x+1)]log23(x+1)=1+2ln3.(x+1).log23(x+1)>0,xD.

Do đó, hàm số đa cho đồng biến trên mỗi khoảng (1;0)(0;+).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình f(x)=m có 2 nghiệm m>1.

Kết hợp với mZm[10;10] có 11 giá trị m nguyên. Chọn C.

Ví dụ 24: Phương trình log2(mx6x3)+2log12(14x2+29x2)=0 có ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi m(a;b). Tính P=a2b.

A. 5                               B. 0                                         C. 10                             D. 20

Lời giải

Phương trình log2(mx6x3)=log2(14x2+29x2)

{14x2+29x2>0mx6x3=14x2+29x2{114<x<2m=6x214x+292x()

Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt (*) có ba nghiệm phân biệt x(114;2).

Xét hàm số f(x)=6x214x+292x trên khoảng (114;2).

Ta có f(x)=12x14+2x2=12x314x2+2x2f(x)=0[x=1x=12 (do 114<x<2).

Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt khi 19<m<392.

Vậy m(19;392){a=19b=392P=a2b=192.392=20. Chọn D.

Ví dụ 25: Cho phương trình log32x2x+mx2+1=x2+x+4m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m[2018;2018] để phương trình có hai nghiệm trái dấu?

A. 2022                              B. 2021                                   C. 2016                              D. 2015

Lời giải

Phương trình log32x2x+mx2+1=3(x2+1)(2x2x+m)+1

log3(2x2x+m)log3(x2+1)=3(x2+1)(2x2x+m)+1

2x2x+m+log3(2x2x+m)=3x2+3+log3(3x2+3)                      (*).

Xét hàm số f(t)=t+log3t trên (0;+), có f(t)=1+1t.ln3>0;t>0.

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên (0;+) nên (*) f(2x2x+m)=f(3x2+3)

2x2x+m=3x2+3x2+xm+3=0 có hai nghiệm trái dấu 1.(3m)<0m>3.

Kết hợp với mZm[2018;2018] có 2015 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn D.

Ví dụ 26: Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình

log4(22x+2x+2+22)=log2|m2| vô nghiệm. Giá trị của S bằng

A. S=8                           B. S=10                              C. S=12                         D. S=6 .

Lời giải

Điều kiện: m2. Phương trình đã cho log4[(2x+2)2]=log2|m2|

log2(2x+2)=log2|m2|2x+2=|m2|[2x+2=m22x+2=2m[2x=m42x=m

Để phương trình vô nghiệm {m40m0{m4m00m4

Kết hợp với mZm={0;1;2;3;4}. Vậy S=m=10. Chọn B.

Ví dụ 27: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình log23xmlog3x+1=0 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1?

A. m=2                           B. m=2                              C. m=2                 D. m=0

Lời giải

Điều kiện: x>0. Vì phương trình có nghiệm nhỏ hơn 1 nên suy ra 0<x<1.

Đặt log3x=t, với 0<x<1t<0

Phương trình đã cho trở thành: t2mt+1=0m=f(t)=t+1t

Xét hàm số f(t)=t+1t trên (;0), có f(t)=11t2;f(t)=0t=1.

Dựa vào BBT, yêu cầu bài toán m=f(t) có nghiệm duy nhất t<0m=2. Chọn B.

Ví dụ 28: Gọi m0 là giá trị thực nhỏ nhất của tham số m sao cho phương trình

(m1)log212(x2)(m5)log12(x2)+m1=0 có nghiệm thuộc (2;4). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. m(5;52)                                 B. m(1;43)           C. m(2;103)                                                D. Không tồn tại m.

Lời giải

Đặt t=log12(x2), do 2<x<40<x2<2t>1.

Phương trình đã cho trở thành: (m1)t2(m5)t+m1=0m=t25t+1t2t+1

Xét hàm số f(t)=t25t+1t2t+1 trên (1;+), có f(t)=0t=1.

Dựa vào BBT, ta thấy phương trình có nghiệm 3m<73m0=3. Chọn A.

Ví dụ 29: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log24x14x+1m=0 có nghiệm?

A. m<0                           B. 1<m<1                          C. m1                       D. 1<m<0

Lời giải

Điều kiện: 4x1>0x>0.

Đặt t=4x, với x>0t>1. Phương trình đã cho trở thành: m=log2t1t+1           (*).

Xét hàm số f(t)=log2t1t+1 trên (1;+), có f(t)=2(t21)ln2>0,t>1.

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên khoảng (1;+).

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm m<0. Chọn A.

Ví dụ 30: Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình aln2x+blnx+5=0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và phương trình 5log2x+blogx+a=0 có hai nghiệm phân biệt x3,x4 thỏa mãn x1x2>x3x4. Tìm giá trị nhỏ nhất Smin của S=2a+3b.

A. Smin=30        B. Smin=25            C. Smin=33        D. Smin=17

Lời giải

Phương trình {aln2x+blnx+5=05log2x+blogx+a=0 có hai nghiệm phân biệt Δ=b220a>0.

Theo hệ thức Vi-ét, ta có {lnx1+lnx2=balogx3+logx4=b5{ln(x1x2)=balog(x3x4)=b5{x1x2=ebax3x4=10b5.

Mặt khác x1x2>x3x4eba>10b5lneba>ln10b5ba>b5.ln10a>5ln10.

a, b là hai số nguyên dương suy ra a3amin=3b2>20a>60bmin=8.

Vậy Smin=2amin+3bmin=2.3+3.8=30. Chọn A.

Ví dụ 31: Cho phương trình 5x+m=log5(xm) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m(20;20) để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 20                                  B. 19                                       C. 9                                    D. 21

Lời giải

Điều kiện: x>m. Phương trình 5x+x=xm+log5(xm)

5x+x=5log5(xm)+log5(xm)f(x)=f[log5(xm)]

x=log5(xm)5x=xmm=x5x=g(x).

Xét hàm số g(x)=x5x trên (;+), có g(x)=0x=log5(ln5)

Dựa vào bảng biến thiên Phương trình có nghiệm khi mg(log5ln5)0,92.

Kết hợp với mZm(20;20) có 19 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn B.

Ví dụ 32: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m[10;10] để bất phương trình 4log22x+log2x+m0 nghiệm đúng với mọi x(1;64)?

A. 11                                  B. 3                                         C. 8                                    D. 16

Lời giải

Bất phương trình 4(log2x)2+log2x+m0(log2x)2+log2x+m0             (*)

Đặt t=log2x với x(1;64)t(0;6), khi đó (*) mf(t)=t2t;t(0;6).

Xét hàm số f(t)=t2t trên (0;6), có f(t)=2t1<0;t(0;6).

Suy ra f(t) là hàm số nghịch biến trên (0;6)max(0;6)f(t)=f(0)=0.

Do đó mf(t);t(0;6)m0. Kết hợp {mZ10m10 có 11 giá trị nguyên cần tìm. Chọn A.

Ví dụ 33: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m[10;10] để bất phương trình

log22(2x)2(m+1)log2x2<0 có nghiệm thuộc khoảng (2;+)?

A. Vô số                             B. 17                                       C. 3                                    D. 10

Lời giải

Bất phương trình (1+log2x)22(m+1)log2x2<0                     (*)

Đặt t={{\log }_{2}}x. Vì x>\sqrt{2} nên {{\log }_{2}}x>{{\log }_{2}}\sqrt{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow t>\frac{1}{2}.

Khi đó (*) \Leftrightarrow {{\left( 1+t \right)}^{2}}-2\left( m+1 \right)t-2<0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2mt-1<0

\Leftrightarrow m>f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-1}{2t};\forall t\in \left( \frac{1}{2};+\infty  \right)\Leftrightarrow m>\underset{\left( \frac{1}{2};+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)

Xét hàm số f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-1}{2t} trên \left( \frac{1}{2};+\infty  \right), có {f}'\left( t \right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2{{t}^{2}}}>0;

Suy ra f\left( t \right) là hàm số đồng biến trên \left( \frac{1}{2};+\infty  \right) nên m>\underset{\left( \frac{1}{2};+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{3}{4}.

Kết hợp với m\in \mathbb{Z}m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}} có 10 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn D.

Ví dụ 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để bất phương trình \ln \left( 2{{\text{x}}^{2}}+3 \right)>\ln \left( {{x}^{2}}+ax+1 \right) nghiệm đúng với mọi x\in \mathbb{R}?

A. 1                                    B. 2                                         C. 0                                    D. 3

Lời giải

Yêu cầu bài toán \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{x}^{2}}+ax+1>0 \\  {} 2{{x}^{2}}+3>{{x}^{2}}+ax+1 \\ \end{array} \right.;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} f\left( x \right)={{x}^{2}}+ax+1>0 \\  {} g\left( x \right)={{x}^{2}}-ax+2>0 \\ \end{array} \right.;\forall x\in \mathbb{R}

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{\Delta }_{f\left( x \right)}}<0 \\  {} {{\Delta }_{g\left( x \right)}}<0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{a}^{2}}-4<0 \\  {} {{a}^{2}}-8<0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4<0\Leftrightarrow \left( a-2 \right)\left( a+2 \right)<0\Leftrightarrow -2<a<2.

Kết hợp với a\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}a=\left\{ -1;0;1 \right\} là các giá trị cần tìm. Chọn D.

Ví dụ 35: Cho bất phương trình 1+{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{5}}\left( m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m \right). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình luôn đúng với mọi x\in \mathbb{R}.

A. 3                                    B. 0                                         C. 1                                    D. 2

Lời giải

Ta có 1+{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{5}}\left( m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m \right)\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 5{{\text{x}}^{2}}+5 \right)\ge {{\log }_{5}}\left( m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m \right)

Yêu cầu bài toán \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m>0 \\  {} 5{{\text{x}}^{2}}+5\ge m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m \\ \end{array} \right.;\forall x\in \mathbb{R}

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} f\left( x \right)=m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m>0;\forall x\in \mathbb{R}(1) \\  {} g\left( x \right)=\left( m-5 \right){{x}^{2}}+4\text{x}+m-5\le 0;\forall z\in \mathbb{R}(2) \\ \end{array} \right.

Giải (1), ta có f\left( x \right)>0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=m>0 \\  {} {\Delta }'={{2}^{2}}-{{m}^{2}}<0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m>2.

Giải (2), ta có g\left( x \right)\le 0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=m-5<0 \\  {} {\Delta }'=4-{{\left( m-5 \right)}^{2}}\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\le 3.

Khi đó 2<m\le 3 là giá trị cần tìm, kết hợp m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}m=3. Chọn C.

Ví dụ 36: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình \log _{2}^{2}x-2{{\log }_{2}}x+3m-2<0 có nghiệm thực?

A. m<1                           B. m\le 1                            C. m<\frac{2}{3}             D. m<0

Lời giải

Điều kiện: x>0. Đặt t={{\log }_{2}}x, với x>0 suy ra t\in \left( -\infty ;+\infty  \right).

Phương trình đã cho trở thành {{t}^{2}}-2t+3m-2<0\Leftrightarrow 3m<-{{t}^{2}}+2t+2            (*).

Để bất phương trình (*) có nghiệm \Leftrightarrow 3m<M=\underset{\left( -\infty ;+\infty  \right)}{\mathop{\max }}\,\left\{ -{{t}^{2}}+2t+2 \right\}          (1)

Ta có -{{t}^{2}}+2t+2=3-{{\left( t-1 \right)}^{2}}\le 3,\forall t\in \mathbb{R} suy ra M=3                                     (2)

Từ (1), (2) suy ra 3m<3\Leftrightarrow m<1 là giá trị cần tìm. Chọn A.

Ví dụ 37: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình {{\log }_{2}}x+m\ge \frac{1}{2}{{x}^{2}} có nghiệm x\in \left[ 1;3 \right]?

A. \left[ \frac{1}{\sqrt{\ln 2}};+\infty  \right)                    B. \left[ \frac{9}{2}-{{\log }_{2}}3;+\infty  \right)

C. \left[ \frac{1}{2};+\infty  \right)                                   D. \left[ \frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right);+\infty  \right).

Lời giải

Bất phương trình \Leftrightarrow m\ge \frac{1}{2}{{x}^{2}}-{{\log }_{2}}x=f\left( x \right)\Rightarrow m\ge \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)

Ta có {f}'\left( x \right)=x-\frac{1}{x\ln 2}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x-\frac{1}{x\ln 2}=0\Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{\ln 2}}.

Tính \left\{ \begin{array}  {} f\left( 1 \right)=\frac{1}{2} \\  {} f\left( \frac{1}{\sqrt{\ln 2}} \right)=\frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right) \\  {} f\left( 3 \right)=\frac{9}{2}-{{\log }_{2}}3 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( \frac{1}{\sqrt{\ln 2}} \right)=\frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right)

Suy ra m\ge \frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right)\Leftrightarrow m\in \left[ \frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right);+\infty  \right). Chọn D.

.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12