Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số

Xét tính đơn điệu của hàm số - phương pháp và lý thuyết

Định nghĩa về đồng biến nghịch biến:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $v=f\left( x \right)$ xác định trên K.

■ Hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến (tăng) nếu với mọi cặp ${{x}_{1}};\text{ }{{x}_{2}}$ thuộc K mà  thì $f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$ tức là ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Leftrightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$.

■ Hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến (giảm) nếu với mọi cặp ${{x}_{1}};\text{ }{{x}_{2}}$ thuộc K mà ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thì $f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right)$ tức là ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Leftrightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right)$.

Bài tập minh họa có đáp án

Xét ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Leftrightarrow 2{{x}_{1}}<2{{x}_{2}}\Rightarrow 2{{x}_{1}}+1<2{{x}_{2}}+1\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$ suy ra hàm số $y=f\left( x \right)=2x+1$ là một hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy: $\forall {{x}_{1}};\text{ }{{x}_{2}}\in K$ và ${{x}_{1}}\ne \text{ }{{x}_{2}}$, thì hàm số

$f\left( x \right)$ đồng biến trên K $\Leftrightarrow \frac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}>0$

$f\left( x \right)$ nghịch biến trên K $\Leftrightarrow \frac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}<0$

Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải, nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

Định lý về tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên K.

1. a) Nếu ${f}'\left( x \right)>0$ với mọi x thuộc K thì hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên K.
2. b) Nếu ${f}'\left( x \right)<0$ với mọi x thuộc K thì hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên K.

Tóm lại xét trên K $K:{f}'\left( x \right)>0\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến; ${f}'\left( x \right)<0\Rightarrow f\left( x \right)$ nghịch biến.

Chú ý: Nếu ${f}'\left( x \right)=0\text{ }\left( \forall x\in K \right)$ thì hàm số $y=f\left( x \right)$là hàm số không đổi trên K.

ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG

Ví dụ: Xét hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x+10$ thì ${y}'=3{{x}^{2}}-6x+3=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0$, dấu bằng xảy ra chỉ tại điểm $x=1$ do đó hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$.