Phương pháp tìm cực trị của hàm trị tuyệt đối

CỰC TRỊ CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – CÁCH GIẢI BÀI TẬP CÓ ĐÁP ÁN

@ Phương pháp giải: Loại 1: Cực trị hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|.$

Ta có: $y=\left| f\left( x \right) \right|\Rightarrow y'=\frac{f'\left( x \right).f\left( x \right)}{\left| f\left( x \right) \right|}$ do đó

Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ là số nghiệm bội lẻ của phương trình $f'\left( x \right).f\left( x \right)=0.$

Như vậy: Nếu gọi m là số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( x \right)$và n là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$và trục hoành thì $m+n$ là số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ (chú ý ta cần bỏ đi các nghiệm bội chẵn).

Bài tập cực đại cực tiểu hàm trị tuyệt đối loại 1 – có đáp án

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành $y=0$ tại 1 điểm nên $m=1.$

Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 2 điểm cực trị nên $n=2\Rightarrow$ Hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 3 điểm cực trị. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y=f\left( x \right)$có 3 điểm cực trị suy ra $m=3.$

Phương trình $f\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm (tuy nhiên $x=-1$ là nghiệm kép) suy ra $n=2.$

Do đó hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có $m+n=5$ điểm cực trị. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y=f\left( x \right)$có 3 điểm cực trị suy ra $m=3.$

Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt (tuy nhiên $x=-1$ là nghiệm kép) nên $n=2.$

Do đó hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 5 điểm cực trị. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Đặt $g\left( x \right)=f\left( x \right)+2\Rightarrow g'\left( x \right)=f'\left( x \right)$

Phương trình $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt nên $m=3.$

Phương trình $g\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=-2$ có 3 nghiệm trong đó có 1 nghiệm kép $n=2.$

Do đó hàm số $y=\left| f\left( x \right)+2 \right|$có 5 điểm cực trị. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=f\left( x \right)$ thì $y'=\frac{f'\left( x \right)f\left( x \right)}{\left| f\left( x \right) \right|}$

Xét $f\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)$

Ta có: $f\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm bội lẻ $x=1,x=3,x=-2.$

Lại có: $f\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( {{x}^{2}}-x-6 \right)\Rightarrow f'\left( x \right)=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-x-6 \right)+{{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( 2x-1 \right)$

$={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left[ 3{{x}^{2}}-3x-18+\left( x-1 \right)\left( 2x-1 \right) \right]={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( 5{{x}^{2}}-6x-17 \right)=0\Rightarrow f'\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm bội lẻ. Do đó hàm số đã cho có 5 điểm cực trị. Chọn B.

Lời giải chi tiết

$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left( x+2 \right)-x\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( x+2 \right)=0$có 4 nghiệm bội lẻ.

Phương trình $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-2x-2=0\Leftrightarrow 2\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)\left( x+1 \right)=0$ có 3 nghiệm bội lẻ.

Do đó hàm số đã cho có $4+3=7$ điểm cực trị. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Xét $f\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m$

Phương trình $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+8x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0  \\   x=1  \\   x=2  \\\end{matrix} \right.$ có 3 nghiệm bội lẻ.

Để hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị thì phương trình

$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}=-m(*)$ phải có 4 nghiệm phân biệt.

Lập BBT cho hàm số $g\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4x$ ta được:

Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi $0<-m<1.$

Vậy không có giá trị nguyên của m nào thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Phương trình $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-16x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{ }  \\   x=-1  \\   x=4\text{ }  \\\end{matrix} \right.$ có 3 nghiệm bội lẻ.

Để hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị thì phương trình

$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}=-m(*)$ có 4 nghiệm phân biệt. Lập BBT cho hàm số $g\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}$ ta được:

Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi $-3<-m<0.$

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Đặt $f\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m\xrightarrow{{}}f'\left( x \right)=12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x;\forall x\in \mathbb{R}.$

Phương trình $f'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Để hàm số đã cho có 7 điểm cực trị $\Leftrightarrow f\left( x \right)=0\Leftrightarrow g\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}=m$ có 4 nghiệm phân biệt.

Mà $f'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Rightarrow f\left( x \right)=-m$ có 4 nghiệm phân biệt.

Dựa vào BBT hàm số $f\left( x \right)$, để (*) có 4 nghiệm phân biệt$\Leftrightarrow -5<-m<0\Leftrightarrow m\in \left( 0;5 \right)$.

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ suy ra có tất cả 4 giá trị nguyên cần tìm. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Dễ thấy hàm số $g\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m+2$ có $y'=6{{x}^{2}}-6x-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-1  \\   x=2\text{ }  \\\end{matrix} \right.$

Suy ra hàm số   có 2 điểm cực trị.

Để hàm số $f\left( x \right)=\left| 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m+2 \right|$ có 5 điểm cực trị thì phương trình

$2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m+2\Leftrightarrow h\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+2=-m$ có 3 nghiệm phân biệt

Dễ thấy $\left\{ \begin{matrix}   h\left( -1 \right)=9\text{ }  \\   h\left( 2 \right)=-18  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow h\left( x \right)=-m$ có 3 nghiệm phân biệt khi $-18<-m<9\Leftrightarrow 18>m>-9$

Vậy có 8 giá trị nguyên cần tìm. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $f\left( x \right)=\left| 2{{x}^{4}}-4\left( m+8 \right){{x}^{2}}+m-1 \right|$

TH1: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có một điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm nên hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ không thể có 5 điểm cực trị.

TH2: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị khi $ab<0\Leftrightarrow 2.\left[ -4\left( m+8 \right) \right]<0\Leftrightarrow m>-8.$

Để hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. Vì hàm số $y=f\left( x \right)$ có $a=2>0$ nên có BTT như hình vẽ.

Đồ thị hàm số cắt trục hoành (đường thẳng $y=0$) tại 2 điểm phân biệt khi $0\ge m-1\Leftrightarrow m\le 1.$

(Trong trường dấu bằng xảy ra $m=1\Rightarrow$ phương trình có 2 nghiệm đơn và một nghiệm kép $x=0$ nên chỉ có điểm cực trị).

Vậy $-8<m\le 1.$ Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ có 9 giá trị nguyên của tham số m. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{4}}-2\left( m+4 \right){{x}^{2}}+4$

TH1: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có một điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm nên hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ không thể có 7 điểm cực trị.

TH2: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị khi $ab<0\Leftrightarrow 1.\left[ -2\left( m+4 \right) \right]<0\Leftrightarrow m>-4.$

Để hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 7 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Ta có: $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-4\left( m+4 \right)x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{                }  \\   {{x}^{2}}=m+4=x_{0}^{2}  \\\end{matrix} \right..$

Hàm số có BTT như hình vẽ:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành (đường thẳng $y=0$) tại 4 điểm phân biệt khi

$\begin{array}  {} f\left( \pm {{x}_{0}} \right)=f\left( \sqrt{m+4} \right)<0 \\  {} \Leftrightarrow {{\left( m+4 \right)}^{2}}-2{{\left( m+4 \right)}^{2}}+9<0\Leftrightarrow {{\left( m+4 \right)}^{2}}>9\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m>-1  \\   m<-7  \\\end{matrix} \right. \\\end{array}$

Với $m>-1.$ Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{          }  \\   m\in \left[ -10;10 \right]  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow m=\left\{ 0;1;...10 \right\}\Rightarrow$ có 11 giá trị của m. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+8$

TH1: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có một điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm nên hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ không thể có 7 điểm cực trị.

TH2: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị khi $ab<0\Leftrightarrow 1.\left[ -2\left( m+1 \right) \right]<0\Leftrightarrow m>-1.$

Để hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 7 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Ta có: $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-4\left( m+1 \right)x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{                }  \\   {{x}^{2}}=m+1=x_{0}^{2}  \\\end{matrix} \right..$

Hàm số có BTT như hình vẽ:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành (đường thẳng $y=0$) tại 4 điểm phân biệt khi

$\begin{array}  {} f\left( \pm {{x}_{0}} \right)=f\left( \sqrt{m+1} \right)<0 \\  {} \Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-2{{\left( m+1 \right)}^{2}}+8<0\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}>8\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m>-1+2\sqrt{2}  \\   m<-1-2\sqrt{2}  \\\end{matrix} \right. \\ \end{array}$

Với $m>-1-2\sqrt{2}.$ Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{          }  \\   m\in \left[ -20;20 \right]  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow m=\left\{ 2;3;...10 \right\}\Rightarrow$  có 9 giá trị của m. Chọn A.

Phương pháp giải: Loại 2: Cực trị hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right).$

Ta có: $y=f\left( \left| x \right| \right)\Rightarrow y'=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left( \left| x \right| \right)$ từ đó ta có nhận xét sau:

- Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=0.$

- Số điểm cực trị dương của hàm số  $y=f\left( x \right)$là m thì số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ là $2m+1$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $f'\left( x \right)=30{{x}^{4}}-60{{x}^{3}}-30{{x}^{2}}+60x=0$

$\Leftrightarrow x\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x-2 \right)=x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)$

Lại có: $y=f\left( \left| x \right| \right)\Rightarrow y'=\frac{x}{\left| x \right|}.\left| x \right|\left( \left| x \right|-1 \right)\left( \left| x \right|+1 \right)\left( \left| x \right|-2 \right)$đổi dấu qua 5 điểm $x=0;x=\pm 1;x=\pm 2$ nên hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$có 5 điểm cực trị. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 2 điểm cực trị có hoành độ dương là $\left( 2;-1 \right)$ và $\left( 5;0 \right)$

Do đó hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có $2.2+1=5$ điểm cực trị. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=\left( \left| x \right|+1 \right)'.f'\left( \left| x \right|+1 \right)=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{              }  \\   f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0  \\\end{matrix} \right.(*)$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-1  \\   x=0\text{   }  \\   x=2\text{   }  \\\end{matrix} \right.$

Suy ra $f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|+1=-1  \\   \left| x \right|+1=0\text{  }  \\   \left| x \right|+1=2\text{  }  \\\end{matrix} \right.$hệ có 2 nghiệm.

Do đó (*) có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số có 3 điểm cực trị. Chọn D.

Lời giải

Ta có: $y'=\left( \left| x \right|+m \right)'.f'\left( \left| x \right|+m \right)=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left( \left| x \right|+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{              }  \\   f'\left( \left| x \right|+m \right)=0  \\\end{matrix} \right.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-3  \\   x=-1  \\\end{matrix} \right.$

Do đó $f'\left( \left| x \right|+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|+m=-3  \\   \left| x \right|+m=-1  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|=-3-m  \\   \left| x \right|=-1-m  \\\end{matrix} \right.$(*)

Hàm số có 5 điểm cực trị khi (*) có 4 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   -3-m>0  \\   -1-m>0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m<-1.$

Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{  }  \\   m>-20  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow$  có 18 giá trị nguyên của m. Chọn D.

Lời giải

Ta có: $y'=\left( \left| x \right|+m \right)'.f'\left( \left| x \right|+m \right)=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left( \left| x \right|+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{              }  \\   f'\left( \left| x \right|+m \right)=0  \\\end{matrix} \right.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-2  \\   \begin{array}  {} x=-2 \\  {} x=5\text{  } \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.$

Do đó $f'\left( \left| x \right|+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|+m=-2  \\   \begin{array}  {} \left| x \right|+m=2\text{  } \\  {} \left| x \right|+m=5 \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|=-2-m  \\   \begin{array}  {} \left| x \right|=2-m\text{  } \\  {} \left| x \right|=5-m \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.(*)$

Hàm số có 7 điểm cực trị khi (*) có 6 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   -2-m>0  \\   \begin{array}  {} 2-m>0\text{  } \\  {} 5-m>0 \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m<-2.$

Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{          }  \\   m\in \left[ -10;10 \right]  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow$  có 8 giá trị nguyên của m. Chọn A.

Lời giải

Để hàm số $f\left( \left| x \right| \right)$ có 5 điểm cực trị thì hàm số $y=f\left( x \right)$phải có 2 điểm cực trị có hoành độ dương.

Ta có: $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6\left( m-1 \right)x+6m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+2m\text{ }(*)$

Giả thiết bài toán $\Leftrightarrow \left( * \right)$ có 2 nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta '={{\left( m-1 \right)}^{2}}-2m>0  \\   S=2\left( m-1 \right)>0\text{         }  \\   P=2m>0\text{                 }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>2+\sqrt{3}.$

Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{              }  \\   m\in \left[ -100;100 \right]  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow$  có 97 giá trị nguyên của m. Chọn C.

Lời giải

Để hàm số $f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng 3 điểm cực trị thì hàm số $y=f\left( x \right)$phải có đúng 1 điểm cực trị có hoành độ dương.

Ta có: $f'\left( x \right)=6{{x}^{2}}-6\left( m+1 \right)x+6\left( {{m}^{2}}-9 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}-9=0\text{ }(*)$

Giả thiết bài toán thỏa mãn khi (*) có 2 nghiệm trái dấu hoặc (*) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương. TH1: (*) có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-9<0\Leftrightarrow -3<m<3.$

TH2: (*) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{m}^{2}}-9=0  \\   m+1>0\text{  }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=3.$

Kết hợp hai trường hợp này và điều kiện $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{              }  \\   m\in \left[ -100;100 \right]  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow$  có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.

Lời giải

Để hàm số $f\left( \left| x \right| \right)$ có 7 điểm cực trị thì hàm số $y=f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị có hoành độ dương.

$\Leftrightarrow f'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm dương phân biệt.

Ta có: $f'\left( x \right)={{x}^{3}}-\left( m+3 \right){{x}^{2}}+2x+4m=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+m\left( 4-{{x}^{2}} \right)=0$

$\Leftrightarrow x\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)-m\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=2\text{                                       }  \\   g\left( x \right)={{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x-2m=0  \\\end{matrix} \right.$

Giả thiết bài toán thỏa mãn $\Leftrightarrow g\left( x \right)$  có 2 nghiệm dương phân biệt khác 2

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta >0\text{                   }  \\   S=m+1>0\text{         }  \\   \begin{array}  {} P=2m>0 \\  {} g\left( 2 \right)\ne 0\text{               } \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{m}^{2}}+10m+1>0  \\   m>0\text{                 }  \\   2\ne 0\text{                 }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>0.$

Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{          }  \\   m\in \left[ -100;100 \right]  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow$  có 100 giá trị nguyên của m. Chọn A.

Lời giải

Ta có: $y'=\left( \left| x \right|+1 \right)'.f'\left( \left| x \right|+1 \right)=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{              }  \\   f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0  \\\end{matrix} \right.(*)$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x={{x}_{1}}\in \left( -1;0 \right)  \\   \begin{array}  {} x={{x}_{2}}\in \left( 0;1 \right)\text{  } \\  {} x={{x}_{3}}\in \left( 1;2 \right) \\  {} x=2\text{  } \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.$

Suy ra $f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|+1={{x}_{1}}\in \left( -1;0 \right)  \\   \begin{array}  {} \left| x \right|+1={{x}_{2}}\in \left( 0;1 \right)\text{  } \\  {} \left| x \right|+1={{x}_{3}}\in \left( 1;2 \right) \\  {} \left| x \right|+1=2 \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|+1={{x}_{3}}\in \left( 1;2 \right)  \\   \left| x \right|+1=2\text{            }  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow$hệ có 4 nghiệm.

Do đó (*) có 5 nghiệm phân biệt nên hàm số có 5 điểm cực trị. Chọn C.