(1). $\int{\frac{1}{x+a}dx=\ln \left| x+a \right|+C}\to \int{\frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C}$
(2). $\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}=\frac{1}{2a}\ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right|+C}$
(3). $\int{\frac{1}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C\to \int{\frac{1}{{{u}^{2}}+{{a}^{2}}}du=\frac{1}{a}\arctan \frac{u}{a}+C}}$
Nếu bậc của tử số lớn hơn hoặc của mẫu số thực hiện phép chia đa thức ta có:
$\frac{P\left( x \right)}{Q\left( x \right)}=g\left( x \right)+\frac{P'\left( x \right)}{Q\left( x \right)}.$ Dưới đây là một số dạng thường gặp.
@ Dạng 1: $I=\int{\frac{P\left( x \right)dx}{ax+b}}$
Phân tích: $\frac{P\left( x \right)}{ax+b}=g\left( x \right)+\frac{k}{ax+b}$ khi đó $I=\int{g\left( x \right)dx+k\int{\frac{dx}{ax+b}}}$
@ Dạng 2: $I=\int{\frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}dx}$
þ Trường hợp 1: $\Delta ={{b}^{2}}-4ac>0$
Phân tích: $\frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}=\frac{mx+m}{a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)}=\frac{1}{a}\left( \frac{A}{x-{{x}_{1}}}+\frac{B}{x-{{x}_{2}}} \right)$
(Đồng nhất hệ số để tìm A, B).
$\Rightarrow I=\frac{1}{a}\left( A\ln \left| x-{{x}_{1}} \right|+B\ln \left| x-{{x}_{2}} \right| \right)+C.$
þ Trường hợp 2: $\Delta ={{b}^{2}}-4ac=0$
$\frac{mx+n}{a.{{x}^{2}}+bx+c}=\frac{mx+n}{a{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}}=\frac{m\left( x-{{x}_{0}} \right)+p}{a{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}}=\frac{m}{a\left( x-{{x}_{0}} \right)}+\frac{P}{a{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}}$
þ Trường hợp 3: $\Delta ={{b}^{2}}-4ac<0$
Phân tích: $\frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}=\frac{k\left( 2ax+b \right)}{a{{x}^{2}}+bx+c}+\frac{p}{a{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+q}$
Khi đó $I=\int{\frac{kd\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}{a{{x}^{2}}+bx+c}+\frac{p}{a}\int{\frac{1}{{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{n}^{2}}}dx}}$
@ Dạng 3: $I=\int{\frac{P\left( x \right)dx}{Q\left( x \right)}}$ với $Q\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$
þ Trường hợp 1: $\text{a}{{\text{x}}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)$
Phân tích: $\frac{P\left( x \right)}{a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d}=\frac{A}{x-{{x}_{1}}}+\frac{B}{x-x{{ {} }_{2}}}+\frac{C}{x-x{{ {} }_{3}}}$
þTrường hợp 2: $a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=a\left( x-{{x}_{1}} \right){{\left( x-{{x}_{2}} \right)}^{2}}$
Phân tích: $\frac{P\left( x \right)}{\text{a}{{\text{x}}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d}=\frac{A}{x-{{x}_{1}}}+\frac{Bx+C}{{{\left( x-{{x}_{2}} \right)}^{2}}}$
þ Trường hợp 3: $\text{a}{{\text{x}}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( m{{x}^{2}}+nx+p \right)$ trong đó $m{{x}^{2}}+nx+p=0$ vô nghiệm.
Phân tích: $\frac{P\left( x \right)}{\text{a}{{\text{x}}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d}=\frac{A}{x-{{x}_{1}}}+\frac{Bx+C}{m{{x}^{2}}+nx+p}$
@ Dạng 4: [Tham khảo và nâng cao]: $I=\int{\frac{P\left( x \right)dx}{{{x}^{4}}\pm {{a}^{2}}}}$ trong đó bậc của P(x) nhỏ hơn 4.
þTrường hợp 1: $I=\int{\frac{P\left( x \right)dx}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}}$
Phân tích: $\frac{P\left( x \right)}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}=\frac{A\left( {{x}^{2}}+a \right)+B\left( {{x}^{2}}-a \right)+C{{\text{x}}^{3}}+Dx}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}$
Khi đó ta có: ${{I}_{1}}=\int{\frac{{{x}^{2}}+a}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}}dx=\int{\frac{1+\frac{a}{{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{{{x}^{2}}}}dx=\int{\frac{d\left( x-\frac{a}{x} \right)}{{{\left( x-\frac{a}{x} \right)}^{2}}+2a}\to {{I}_{1}}=\int{\frac{du}{{{u}^{2}}+2a}}}}$
${{I}_{2}}=\int{\frac{{{x}^{2}}-a}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}dx=\int{\frac{1-\frac{a}{{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{{{x}^{2}}}}dx=\int{\frac{d\left( x+\frac{a}{x} \right)}{{{\left( x+\frac{a}{x} \right)}^{2}}-2a}}\to {{I}_{2}}=\int{\frac{du}{{{u}^{2}}-2a}}}}$
${{I}_{3}}=\int{\frac{{{x}^{3}}dx}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}=\frac{1}{4}}\int{\frac{d\left( {{x}^{4}}+{{a}^{2}} \right)}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}=\frac{1}{4}\ln \left| {{x}^{4}}+{{a}^{2}} \right|+C}$
${{I}_{4}}=\int{\frac{xdx}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}=\frac{1}{2}\int{\frac{d\left( {{x}^{2}} \right)}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}\to {{I}_{4}}=\frac{1}{2}\int{\frac{du}{{{u}^{2}}+{{a}^{2}}}.}}}$
Từ đó suy ra nguyên hàm $I=\int{\frac{P\left( x \right)dx}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}}$
þ Trường hợp 2: $I=\int{\frac{P\left( x \right)dx}{{{x}^{4}}-{{a}^{2}}}}$
Phân tích:$\frac{P\left( x \right)}{{{x}^{4}}-{{a}^{2}}}=\frac{A{{x}^{3}}+Bx+\left( C{{x}^{2}}+D \right)}{{{x}^{4}}-{{a}^{2}}}$
Khi đó xét: ${{I}_{1}}=\int{\frac{A{{x}^{3}}+Bx}{{{x}^{4}}-{{a}^{2}}}}dx=\frac{A}{4}\int{\frac{d\left( {{x}^{4}}-{{a}^{2}} \right)}{{{x}^{4}}-{{a}^{2}}}+\frac{B}{2}\int{\frac{d\left( {{x}^{2}} \right)}{{{x}^{4}}-{{a}^{2}}}\to {{I}_{1}}=\frac{A}{4}\int{\frac{du}{u}+\frac{B}{2}\int{\frac{dv}{{{v}^{2}}-{{a}^{2}}}}}}}$
Phân tích ${{I}_{2}}=\int{\frac{C{{x}^{2}}+D}{{{x}^{4}}-{{a}^{2}}}dx=\int{\left( \frac{M}{{{x}^{2}}-a}+\frac{N}{{{x}^{2}}+a} \right)dx}}$ (Đồng nhất tìm M, N).
@ Dạng 5 [Tham khảo và nâng cao]: Một số nguyên hàm hữu tỷ khi Q(x) là đa thức bậc 6.
Với $K=\int{\frac{dx}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}=\frac{1}{2}\int{\frac{\left( {{x}^{2}}+1 \right)-\left( {{x}^{2}}-1 \right)}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}dx=\frac{1}{2}\int{\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}dx-\frac{1}{2}\int{\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}dx}}}}$
$=\frac{1}{2}\int{\frac{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}+1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}dx-\frac{1}{2}\int{\frac{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}+1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}dx=\frac{1}{2}\int{\frac{d\left( x-\frac{1}{x} \right)}{{{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{2}}+3}-\frac{1}{2}\int{\frac{d\left( x+\frac{1}{x} \right)}{\left( x+\frac{1}{x} \right)-1}}}}}$
$\to K=\frac{1}{2}\int{\frac{du}{{{u}^{2}}+3}-\frac{1}{2}\int{\frac{dv}{{{v}^{2}}-1}}}$
TOÁN LỚP 12