Năng lượng mạch dao động LC là gì?

LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Năng lượng điện trường

Năng lượng tập trung hoàn toàn ở tụ điện: ${{W}_{C}}=\frac{1}{2}C{{u}^{2}}=\frac{1}{2}\frac{{{q}^{2}}}{C}$

2. Năng lượng điện trường

Năng lượng tập trung ở cuộn cảm: ${{W}_{L}}=\frac{1}{2}L{{i}^{2}}$

3. Năng lượng điện từ

Năng lượng điện từ: $W={{W}_{C}}+{{W}_{L}}=\frac{1}{2}C{{u}^{2}}+\frac{1}{2}L{{i}^{2}}$

Năng lượng điện từ của mạch dao động LC lí tưởng được bảo toàn.

Ta có: $q={{Q}_{0}}\cos \omega t,\,i={q}'\left( t \right)=-\omega {{Q}_{0}}\sin \omega t$

Khi đó $W={{W}_{L}}+{{W}_{C}}=\frac{1}{2}L{{i}^{2}}+\frac{1}{2}\frac{{{q}^{2}}}{C}=\frac{1}{2}L{{\omega }^{2}}Q_{0}^{2}{{\sin }^{2}}\omega t+\frac{1}{2}.\frac{Q_{0}^{2}}{C}{{\cos }^{2}}\omega t$

$=\frac{Q_{0}^{2}}{2C}{{\sin }^{2}}\omega t+\frac{Q_{0}^{2}}{2C}{{\cos }^{2}}\omega t=\frac{Q_{0}^{2}}{2C}={{\text{W}}_{C\max }}=\frac{1}{2}CU_{0}^{2}=\frac{1}{2}{{Q}_{0}}{{U}_{0}}={{\text{W}}_{L\max }}=\frac{1}{2}LI_{0}^{2}.$

Vậy: $$

+ Nếu i, q, u biến thiên với tần số góc là $\omega $, tần số là f và chu kì T thì năng lượng điện trường và năng lượng từ trường biến thiên tuần hoàn với tần số góc

${\omega }'=2\omega =\frac{2}{\sqrt{LC}},$ tần số $f'=2f$ và chu kì ${T}'=\frac{T}{2}=\pi \sqrt{LC}.$

+ Ta có: $$

+ Các giá trị tức thời.

Năng lượng của mạch: $W=\frac{1}{2}LI_{0}^{2}=\frac{1}{2}L{{i}^{2}}+\frac{1}{2}C{{u}^{2}}\Rightarrow {{u}^{2}}=\frac{L}{C}\left( I_{0}^{2}-{{i}^{2}} \right).$

Tương tự ta có: $W=\frac{1}{2}LU_{0}^{2}=\frac{1}{2}L{{i}^{2}}+\frac{1}{2}C{{u}^{2}}\Rightarrow {{i}^{2}}=\frac{C}{L}\left( U_{0}^{2}-{{u}^{2}} \right).$

$W=\frac{Q_{0}^{2}}{2C}=\frac{1}{2}L{{i}^{2}}+\frac{{{q}^{2}}}{2C}\Rightarrow {{i}^{2}}=\frac{1}{LC}\left( Q_{0}^{2}-{{q}^{2}} \right)={{\omega }^{2}}\left( Q_{0}^{2}-{{q}^{2}} \right).$

+ Mối quan hệ giữa ${{\text{W}}_{L}}$ và ${{\text{W}}_{C}}$. Khi ${{\text{W}}_{L}}=n{{\text{W}}_{C}}$ (năng lượng từ trường bằng n lần năng lượng điện trường) ta có: $\Rightarrow {{\text{W}}_{C}}=\frac{1}{n+1}\text{W}\Leftrightarrow {{q}^{2}}=\frac{1}{n+1}Q_{0}^{2}\Rightarrow q=\frac{\left| {{Q}_{0}} \right|}{\sqrt{n+1}}.$

Tương tự ta có: $u=\frac{\left| {{U}_{0}} \right|}{\sqrt{n+1}};i=\sqrt{\frac{n}{n+1}}\left| {{I}_{0}} \right|.$

Khi ${{\text{W}}_{C}}=n{{\text{W}}_{n}}\Rightarrow {{\text{W}}_{L}}=\frac{1}{n}{{\text{W}}_{C}}\Rightarrow q=\frac{\left| {{Q}_{0}} \right|}{\sqrt{\frac{1}{n}+1}}.$

4. Sự tương ứng giữa dao động cơ và dao động điện từ:

Li độ x trong dao động điều hoà tương ứng với điện tích q trong dao động điện từ: $x\sim q$.

Vận tốc v tương ứng với dòng điện i: $v\sim i$.

Động năng ${{W}_{}}$ tương ứng với năng lượng từ trường ${{W}_{L}}:{{W}_{}}\sim {{W}_{L}}$.

Thế năng ${{W}_{t}}$ tương ứng với năng lượng điện trường ${{W}_{C}}:{{W}_{t}}\sim {{W}_{C}}$.

Khối lượng m tương ứng với L: $m\sim L$.

Độ cứng k tương ứng với $\frac{1}{C}:k\sim \frac{1}{C}$.

Nếu mạch có điện trở thuần $r\ne 0$ thì dao động sẽ tắt dần. Để duy trì dao động cần cung cấp cho mạch một năng lượng có công suất: $P={{I}^{2}}r=\frac{{{\omega }^{2}}Q_{0}^{2}.r}{2}=\frac{{{\omega }^{2}}{{C}^{2}}U_{0}^{2}.r}{2}=\frac{U_{0}^{2}.RC}{2L}.$