Hình học không gian là gì? Lý thuyết đại cương về mặt phẳng đường thẳng trong không gian

Hình học không gian là gì? Lý thuyết đại cương về mặt phẳng đường thẳng trong không gian

I. MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN

Mặt phẳng trong không gian là gì?

Trang giấy, mặt bảng đen, mặt tường học, mặt hồ lặng gió, mặt bàn, tấm gương phẳng,… cho ta hình ảnh của một mặt phẳng trong không gian. Người ta thường biểu diễn mặt phẳng bằng một hình bình hành và dùng một chữ cái trong ngoặc ( ) để đặt tên cho mặt phẳng ấy. Ví dụ: mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q), mặt phẳng (a), mặt phẳng (b)… và viết tắt là mp

Ví dụ: mp(P), mp(Q), mp(a), mặt phẳng (b)…hoặc (P), (Q), (a), (b)…

Điểm thuộc đường thẳng và điểm không thuộc đường thẳng

Điểm thuộc mặt phẳng và điểm điểm không thuộc mặt phẳng. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng và đường thẳng cắt mặt phẳng

Điểm $A\in mp\left( P \right)$ hay $A\in \left( P \right)$

Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P)   Điểm $A\notin mp\left( P \right)$ hay $A\notin \left( P \right)$

Ký hiệu: $d\subset \left( P \right)$       Điểm C là giao điểm của d và (P)

Ký hiệu: $C=d\cap \left( P \right)$

Hình biểu diễn của một hình không gian

Khi vẽ một hình không gian ta tuân thủ các quy tắc sau:

-          Đường thẳng thì vẽ đường thẳng, đoạn thẳng thì vẽ đoạn thẳng.

-          Hai đường thẳng song song thì vẽ song song, hai đường thẳng cắt nhau thì vẽ cắt nhau.

-          Hình vẽ phải giữ nguyên quan hệ điểm thuộc đường thẳng.

-          Dùng nét vẽ liền để vẽ đường nhìn thấy và nét đứt đoạn vẽ cho đường bị che khuất.

- Một hình có đáy là hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành thì ta vẽ là hình bình hành và góc nhọn của hình bình hành nên vẽ $\le {{45}^{0}}$ .

II. Các tính chất thừa nhận  của hình học trong không gian

Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng.

Tính chất 3: Tồn tại 4 điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Tính chất 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.

Đường thẳng $d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$

Tính chất 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng.

Chú ý: Nếu một đường thẳng đi qua điểm hai phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó.

Vậy $\left\{ \begin{align}  & A\in d \\  & d\subset \left( P \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow A\in \left( P \right)$ .

III. Điều kiện xác định mặt phẳng trong không gian

• Một mặt phẳng xác định nếu biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.
• Một mặt phẳng xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó.
• Một mặt phẳng xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng cắt nhau.

Ký hiệu:

-          Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng được ký hiệu là mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng đi qua đường thẳng d và điểm A không nằm trên a được ký hiệu là mặt phẳng (A;a) hoặc (a;A).

-          Mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau a và b được ký hiệu là mặt phẳng (a;b).

IV. Hình chóp và hình tứ diện

Cho đa giác A₁A₂…A_n và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với các đỉnh A₁, A₂,…,A_n để được n tam giác: SA₁A₂, SA₂A₃,…., SA_nA₁.

- Hình chóp n tam giác đó và đa giác A₁A₂…A_n gọi là hình chóp và được ký hiệu là A.A₁A₂…A_n

- Điểm S được gọi là đỉnh của hình chóp. Đa giác A₁A₂..A_n gọi là hình chóp và được ký hiệu là S.A₁A₂..A_n.

- Các cạnh của mặt đáy được gọi là các cạnh đáy của hình chóp. Các đoạn thẳng SA₁, SA₂,…,SA_n được gọi là các cạnh bên của hình chóp.

- Nếu đáy của hình chóp là một tam giác, tứ giác, ngũ giác,…thì hình chóp tương ứng được gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác.

Hình chóp tam giác S.ABC  Hình chóp tứ giác S.ABCD     Hình chóp ngũ giác S.ABCDE.

Hình tứ diện: Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm 4 tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện (hay gọi tắt là tứ diện) và được ký hiệu là ABCD.

Các điểm A, B, C, D được gọi là các đỉnh của tứ diện.

Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh của tứ diện.

Hai cạnh không có điểm chung gọi là hai cạnh đối diện. 

Các tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là các mặt của tứ diện.

Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.