Hàm số logarit là gì? Lý thuyết và công thức tóm tắt ngắn gọn

Hàm số logarit là gì? Đạo hàm, đồ thị, tính chất, định nghĩa và tập xác định

1. Định nghĩa của hàm số logarit cơ số a là gì?

Cho số thực $\left\{ \begin{align} & a>0 \\ & a\ne 1 \\ \end{align} \right..$ Hàm số $y={{\log }_{a}}x$ được gọi là hàm số lôgarít cơ số $a.$

2. Tập xác định của hàm số logarit cơ số a

• Hàm số: $y={{\log }_{a}}x\left( 0<a\ne 1 \right)$ có tập xác định: $D=\left( 0;+\infty \right)$

Do ${{\log }_{a}}x\in \mathbb{R}$ nên hàm số $y={{\log }_{a}}x$ có tập giá trị là $T=\mathbb{R}.$

• Hàm số $y={{\log }_{a}}\left[ P\left( x \right) \right]\Rightarrow$ điều kiện: $P\left( x \right)>0.$

Nếu $a$ chứa biến $x$ thì ta bổ sung điều kiện $0<a\ne 1.$

Đặc biệt: $y={{\log }_{a}}{{\left[ P\left( x \right) \right]}^{n}}\Rightarrow$ điều kiện: $P\left( x \right)>0$ nếu $n$ lẻ; $P\left( x \right)\ne 0$ nếu $n$ chẵn.

3. Đạo hàm của hàm số logarit cơ số a

Đạo hàm: ${{\left( {{\log }_{a}}u \right)}^{\prime }}=\frac{{{u}'}}{u\ln a}\Rightarrow {{\left( {{\log }_{a}}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x\ln a}.$ Đặc biệt: ${{\left( {{\log }_{a}}\left| u \right| \right)}^{\prime }}=\frac{{{u}'}}{u\ln a}.$

4. Tính chất

Với hàm số $y={{\log }_{a}}x\Rightarrow y'=\frac{1}{x\ln a}\left( \forall x\in \left( 0;+\infty \right) \right).$ Do đó:

• Với $a>1$ ta có $\left( {{\log }_{a}}x \right)'=\frac{1}{x\ln a}>0\Rightarrow$ Hàm số luôn đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right).$

Trong trường hợp này ta có: $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty$ do đó đồ thị hàm số nhận trục tung là tiệm cận đứng.

• Với $0<a<1$ ta có: $\left( {{\log }_{a}}x \right)'=\frac{1}{x\ln a}<0\Rightarrow$ Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right).$
• Trong trường hợp này ta có: $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty$ do đó đồ thị hàm số nhận trục tung là tiệm cận đứng.

5. Đồ thị hàm số logarit $y={{\log }_{a}}x$

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục $Oy$ và luôn đi qua các điểm $\left( 1;0 \right)$ và $\left( a;1 \right)$ và nằm phía bên phải trục tung vì có tập xác định là $D\left( 0;+\infty \right).$

Đồ thị nhận trục tung là tiệm cận đứng.

@ Nhận xét: Đồ thị hàm số $y={{a}^{x}}$ và $y={{\log }_{a}}x,\left( 0<a\ne 1 \right)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x,$(góc phần tư thứ nhất và thứ 3 trong hệ trục tọa độ $Oxy).$