Hàm số $y={{x}^{\alpha }}$ với $\alpha \in \mathbb{R},$ được gọi là hàm số lũy thừa.
Tập xác định của hàm số $y={{x}^{\alpha }}$ là:
Hàm số $y={{x}^{\alpha }}$ với $\alpha \in \mathbb{R}$ có đạo hàm với mọi $x>0$ và $\left( {{x}^{\alpha }} \right)'=\alpha .{{x}^{\alpha -1}}$
Trong trường hợp này $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{\alpha }}=+\infty ;\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{\alpha }}=0$ do đó đồ thị hàm số không có đường tiệm cận
Trong trường hợp này $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{\alpha }}=0;\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{\alpha }}=+\infty $ do đó đồ thị hàm số nhận trục $Ox$ là đường tiệm cận ngang và trục $Oy$ là đường tiệm cận đứng.
Đồ thị hàm số $y={{x}^{\alpha }}$ luôn đi qua điểm $I\left( 1;1 \right).$
Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với sỗ mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn:
Hàm số: $y={{x}^{3}}$ $\left( x\in \mathbb{R} \right).$
Hàm số: $y={{x}^{-4}}$ $\left( x\ne 0 \right).$
Hàm số: $y={{x}^{\frac{1}{3}}}$ $\left( x>0 \right).$
TOÁN LỚP 12