Kiến thức về hàm số: Hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến hoặc nghịch biến trên $D$ (trong đó $D$ là một khoảng, một đoạn, một nửa khoảng) thì $u;v\in D;\,\,f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v$
Bất đẳng thức AM-GM: Cho các số thực không âm ${{a}_{1}};{{a}_{2}};...;{{a}_{n}}$ thì ta có:
${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}\ge n\sqrt[n]{{{a}_{1}}.{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {{a}_{1}}={{a}_{2}}=...={{a}_{n}}$
Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho 2 bộ số thực ${{a}_{1}};{{a}_{2}};...;{{a}_{n}}$ và ${{b}_{1}};{{b}_{2}};...;{{b}_{n}}$ ta có:
$\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2} \right)\left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2} \right)\ge {{\left( {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+...+{{a}_{n}}{{b}_{n}} \right)}^{n}}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=...=\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}$
Bất đẳng thức trị tuyệt đối: $\left| a \right|+\left| b \right|\ge \left| a+b \right|$, dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow ab>0$
Bài tập 1: Giải các phương trình sau (phương pháp hàm số) a) ${{2}^{{{x}^{2}}-x}}+{{9}^{3-2x}}+{{x}^{2}}+6={{4}^{2x-3}}+{{3}^{x-{{x}^{2}}}}+5x$ b) ${{2}^{{{2}^{x}}}}+{{3}^{{{2}^{x}}}}={{2}^{x}}+{{3}^{x+1}}+x+1$ |
Lời giải chi tiết
a) $PT\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}-x}}+{{3}^{x-{{x}^{2}}}}+{{x}^{2}}+6={{2}^{4x-6}}+{{3}^{6-4x}}+5x\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}-x}}+{{3}^{x-{{x}^{2}}}}+{{x}^{2}}-x={{2}^{4x-6}}+{{3}^{6-4x}}+4x-6$
Đặt $u={{x}^{2}}-x,\,v=4x-6$ ta có: ${{2}^{u}}-{{3}^{-u}}+u={{2}^{v}}-{{3}^{-v}}+v$ (1)
Xét hàm số: $f\left( t \right)={{2}^{t}}-{{3}^{-t}}+t\,\,\left( \forall t \right)$ ta có: ${f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+{{3}^{-t}}\ln 3+1>0\,\,\left( \forall t\in \mathbb{R} \right)$
Do đó (1) $f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v\Rightarrow {{x}^{2}}-x=4x-6\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=6 \\ \end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm là $x=1,x=6$.
b) Ta có: $PT\Leftrightarrow {{2}^{{{2}^{x}}}}+{{3}^{{{2}^{x}}}}+{{2}^{x}}={{2}^{x+1}}+{{3}^{x+1}}+x+1$
Xét hàm số: $f\left( t \right)={{2}^{t}}+{{3}^{t}}+t\,\,\left( \forall t\in \mathbb{R} \right)$ ta có: ${f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+{{3}^{t}}\ln 3+1>0\,\,\left( \forall t\in \mathbb{R} \right)$
Khi đó: $f\left( {{2}^{x}} \right)=f\left( x+1 \right)\Leftrightarrow {{2}^{x}}=x+1\Leftrightarrow g\left( x \right)={{2}^{x}}-x-1=0$
Ta có: ${g}'\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2-1,\,\,{{g}'}'\left( x \right)={{2}^{x}}{{\ln }^{2}}x>0\,\,\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$
Do ${{g}'}'\left( x \right)>0$ nên phương trình có tối đa 2 nghiệm, mặt khác ta thấy $g\left( 0 \right)=g\left( 1 \right)=0$
Vậy phương trình có nghiệm là $x=0,x=1$.
Bài tập 2: Giải các phương trình sau (phương pháp phân tích nhân tử). a) ${{2}^{{{x}^{2}}+x}}-{{2}^{{{x}^{2}}-x+2}}-{{4}^{x}}+4=0$ b) ${{4}^{{{x}^{2}}+x}}+{{2}^{1-{{x}^{2}}}}={{2}^{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}}+1$ |
Lời giải chi tiết
a) $PT\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+x}}-{{2}^{{{x}^{2}}-x+2}}-{{2}^{2x}}+{{2}^{2}}=0\Leftrightarrow {{2}^{2x}}\left( {{2}^{{{x}^{2}}-x}}-1 \right)-{{2}^{2}}\left( {{2}^{{{x}^{2}}-x}}-1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( {{2}^{2x}}-4 \right)\left( {{2}^{{{x}^{2}}-x}}-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{2}^{2x}}=4 \\ {} {{2}^{{{x}^{2}}-x}}=1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=1,x=0 \\ \end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm là $x=0,x=1$.
b) Đặt $u=2{{x}^{2}}+2x,\,v=1-{{x}^{2}}\Rightarrow PT\Leftrightarrow {{2}^{u}}+{{2}^{v}}={{2}^{u+v}}+1\Leftrightarrow \left( {{2}^{u}}-1 \right)\left( {{2}^{v}}-1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{2}^{u}}=1 \\ {} {{2}^{v}}=1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} u=0 \\ {} v=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} 2{{x}^{2}}+2x=0 \\ {} 1-{{x}^{2}}=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=\pm 1 \\ \end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm là $x=0,x=\pm 1$.
Bài tập 3: Giải các phương trình sau (phương pháp đánh giá): a) $\left| {{4}^{x}}-1 \right|+\left| {{4}^{x}}-4 \right|=-{{x}^{2}}+x+\frac{11}{4}$ b) $2co{{s}^{2}}\left( \frac{{{x}^{3}}-x}{2} \right)={{3}^{x}}+{{3}^{-x}}$ |
Lời giải chi tiết
a) Áp dụng BĐT: $\left| a \right|+\left| b \right|\ge \left| a+b \right|$ (dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow ab>0$)
Ta có: $VP=\left| {{4}^{x}}-1 \right|+\left| {{4}^{x}}-4 \right|=\left| {{4}^{x}}-1 \right|+\left| 4-{{4}^{x}} \right|\ge \left| {{4}^{x}}-1+4-{{4}^{x}} \right|=3$
Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left( {{4}^{x}}-1 \right)\left( 4-{{4}^{x}} \right)\ge 0$
Mặt khác ta có: $-{{x}^{2}}+x+\frac{11}{4}=3-{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\le 3\le \text{VT}\Rightarrow \text{VT=VP}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$
Vậy $x=\frac{1}{2}$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
b) Áp dụng BĐT AM-GM ta có: $VP={{3}^{x}}+\frac{1}{{{3}^{x}}}\ge 2\sqrt{{{3}^{x}}.\frac{1}{{{3}^{x}}}}=2\ge 2co{{s}^{2}}\left( \frac{{{x}^{3}}-x}{2} \right)=VT$
Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{3}^{x}}=\frac{1}{{{3}^{x}}} \\ {} co{{s}^{2}}\left( \frac{{{x}^{3}}-x}{2} \right)=1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} co{{s}^{2}}\left( \frac{{{x}^{3}}-x}{2} \right)=1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=0$
Vậy $x=0$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Bài tập 4: Giải các phương trình sau (phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn) a) ${{9}^{{{x}^{2}}}}+\left( {{x}^{2}}-3 \right){{.3}^{{{x}^{2}}}}-2{{x}^{2}}+2=0$ b) $2{{x}^{2}}-3\left( 1-{{4.3}^{x}} \right)x-{{6.3}^{x}}+1=0$ |
Lời giải chi tiết
a) Đặt $t={{3}^{{{x}^{2}}}}>0$ ta có: ${{t}^{2}}+\left( {{x}^{2}}-3 \right)t-2{{x}^{2}}+2=0$
Khi đó: $\Delta ={{\left( {{x}^{2}}-3 \right)}^{2}}-4\left( -2{{x}^{2}}+2 \right)={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1={{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}$
Do đó: $\left[ \begin{array} {} t=\frac{3-{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+1}{2}=2 \\ {} t=\frac{3-{{x}^{2}}-\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{2}=1-{{x}^{2}} \\ \end{array} \right.$
Với $t=2\Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}}}=2\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{{{\log }_{3}}2}$
Với $t=1\Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}}}=1-{{x}^{2}}$. Ta có: $VT={{3}^{{{x}^{2}}}}\ge {{3}^{0}}=1\ge VP$ nên $VT=VP\Leftrightarrow x=0$
Vậy nghiệm của phương trình là: $x=0,x=\pm \sqrt{{{\log }_{3}}2}$
b) $PT\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3\left( 1-{{4.3}^{x}} \right)x-{{6.3}^{x}}+1=0$
Khi đó: $\Delta =9\left( 1-{{8.3}^{x}}+{{16.9}^{x}} \right)-8\left( -{{6.3}^{x}}+1 \right)={{144.9}^{x}}-{{24.3}^{x}}+1={{\left( {{12.3}^{x}}-1 \right)}^{2}}$
Do vậy $\left\{ \begin{array} {} x=\frac{3-{{2.3}^{x}}+{{12.3}^{x}}-1}{4}=\frac{1}{2} \\ {} x=\frac{3-{{12.3}^{x}}-{{12.3}^{x}}+1}{4}=1-{{6.3}^{x}}\,\,\left( 2 \right) \\ \end{array} \right.$
(2) $\Leftrightarrow g\left( x \right)=x+{{6.3}^{x}}-1=0\,\,$ (3)
Ta có: ${g}'\left( x \right)=1+{{6.3}^{x}}\ln 3>0$ $\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$
Do dó hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ ta có: (3) $g\left( x \right)=g\left( -1 \right)\Leftrightarrow x=-1$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $x=\frac{1}{2},\,x=-1$
Bài tập 5: Số nghiệm của phương trình ${{7}^{x}}=6x+1$ là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. |
Lời giải chi tiết
Xét hàm số $f\left( x \right)={{7}^{x}}-6x-1$ trên tập $\mathbb{R}$ ta có: ${f}'\left( x \right)={{7}^{x}}\ln 7-6=0\Leftrightarrow x={{\log }_{7}}\frac{6}{\ln 7}={{x}_{0}}$
Lại có: $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty $ và $f\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( {{\log }_{7}}\frac{6}{\ln 7} \right)<0$
Suy ra BBT:
Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm. Chọn C.
Bài tập 6: Số nghiệm của phương trình ${{2}^{x-1}}-{{2}^{{{x}^{2}}-x}}={{\left( x-1 \right)}^{2}}$ là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{2}^{x-1}}+x-1={{2}^{{{x}^{2}}-x}}+{{x}^{2}}-x$ (*)
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t\Rightarrow {f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+1>0\,\,\left( \forall t\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow f\left( t \right)$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$
Khi đó (*) $\Leftrightarrow f\left( x-1 \right)=f\left( {{x}^{2}}-x \right)\Leftrightarrow x-1={{x}^{2}}-x\Leftrightarrow x=1$. Chọn B.
Bài tập 7: Số nghiệm của phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}-3x+1}}-{{2}^{x-2}}+\left( x+1 \right)\left( x-3 \right)=0$ là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}-3x+1}}+{{x}^{2}}-3x+1={{2}^{x-2}}+x-2$ (*)
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t\Rightarrow {f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+1>0\,\,\left( \forall t\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow f\left( t \right)$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$
Khi đó (*) $\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)=f\left( x-2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+1=x-2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+3\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=3 \\ \end{array} \right.$. Chọn C.
Bài tập 8: Số nghiệm của phương trình ${{2}^{\frac{1-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}}}-{{2}^{\frac{1-2x}{{{x}^{2}}}}}=\frac{x-2}{2x}$ là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. |
Lời giải chi tiết
ĐK: $x\ne 0$. Khi đó $PT\Leftrightarrow {{2}^{\frac{1}{{{x}^{2}}}-1}}-{{2}^{\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{2}{x}}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{x}$
$\Leftrightarrow {{2}^{\frac{1}{{{x}^{2}}}-1}}+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}-1 \right)={{2}^{\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{2}{x}}}+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{2}{x} \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+\frac{1}{2}t\Rightarrow {f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+\frac{1}{2}>0\,\,\left( \forall t\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow f\left( t \right)$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$
Khi đó (*) $\Leftrightarrow f\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}-1 \right)=f\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{x} \right)\Leftrightarrow \frac{1}{{{x}^{2}}}-1=\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{x}\Leftrightarrow -1=-\frac{1}{x}\Leftrightarrow x=1$. Chọn B.
TOÁN LỚP 12