Giải phương trình Logarit – Phương pháp đặt ẩn phụ (bài tập có đáp án chi tiết)

Giải phương trình Logarit – Phương pháp đặt ẩn phụ (bài tập có đáp án)

Phương pháp đặt ẩn phụ cho phương trình logarit

Phương trình dạng $Q\left[ {{\log }_{a}}f\left( x \right) \right]=0\xrightarrow{{}}$Đặt $t={{\log }_{a}}x,\,\,\left( t\in \mathbb{R} \right).$

bài tập logarit đặt ẩn phụ có Lời giải chi tiết

Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a) $2\left( \log _{2}^{2}x+1 \right){{\log }_{4}}x+{{\log }_{2}}\frac{1}{4}=0$ b) $\log _{\frac{1}{2}}^{2}\left( 8{{x}^{2}} \right)+{{\log }_{2}}4x=2.$

Lời giải chi tiết:

a) Điều kiện: $x>0$. Khi đó: $PT\Leftrightarrow 2\left( \log _{2}^{2}x+1 \right){{\log }_{{{2}^{2}}}}x-2=0$

$\Leftrightarrow \log _{2}^{3}x+{{\log }_{2}}x-2=0$. Đặt $t={{\log }_{2}}x\Rightarrow t={{t}^{3}}+t-2\Leftrightarrow t=1\Rightarrow x=2$

b) Điều kiện: $x>0$. Khi đó: $PT\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( 8{{x}^{2}} \right) \right)}^{2}}+2+{{\log }_{2}}x=2$

$\Leftrightarrow {{\left[ -lo{{g}_{2}}\left( 8{{x}^{2}} \right) \right]}^{2}}+{{\log }_{2}}x=0\Leftrightarrow {{\left( -3-{{\log }_{2}}{{x}^{2}} \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}x=0$

$\Leftrightarrow {{\left( 3+2{{\log }_{2}}x \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}x=0\xrightarrow{t={{\log }_{2}}x}{{\left( 3+2t \right)}^{2}}+t=0$

$\Leftrightarrow 4{{t}^{2}}+13t+9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t=-1 \\  {} t=\frac{-9}{4}\Rightarrow \left[ \begin{array}  {} {{\log }_{2}}x=-1 \\  {} {{\log }_{2}}x=\frac{-9}{4} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=\frac{1}{2} \\  {} x={{2}^{\frac{-9}{4}}} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$

Bài tập 2: Giải các phương trình sau: a) $\log _{2}^{3}\left( 2x \right)=2\log _{2}^{2}x-9.$  b) ${{\log }_{3}}\left( 9{{x}^{2}} \right)+{{\log }_{x}}27=7.$

Lời giải chi tiết:

a) Điều kiện: $x>0$. Ta có $PT\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{2}}2x \right)}^{3}}=2\log _{2}^{2}x-9$

$\begin{array}  {} \Leftrightarrow {{\left( 1+{{\log }_{2}}x \right)}^{3}}=2\log _{2}^{2}x-9\xrightarrow{t={{\log }_{2}}x}{{\left( 1+t \right)}^{3}}=2{{t}^{2}}-9\Leftrightarrow {{t}^{3}}+3{{t}^{2}}+3t+1=2{{t}^{2}}-9 \\  {} \Leftrightarrow {{t}^{3}}+{{t}^{2}}+3t+10=0\Leftrightarrow t=-2\Rightarrow {{\log }_{2}}x=-2\Leftrightarrow x={{2}^{-2}}=\frac{1}{4}. \\ \end{array}$

b) Điều kiện: $1\ne x>0$. Khi đó $PT\Leftrightarrow 2+{{\log }_{3}}{{x}^{2}}+3{{\log }_{x}}3=7$

$\Leftrightarrow 2{{\log }_{3}}x+\frac{3}{{{\log }_{3}}x}=5\Leftrightarrow 2\log _{3}^{2}x-5{{\log }_{3}}x+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{\log }_{3}}x=1 \\  {} {{\log }_{3}}x=\frac{3}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=3 \\  {} x={{3}^{\frac{3}{2}}}=\sqrt{27}=3\sqrt{3} \\ \end{array} \right.\,\,\,\left( t/m \right).$

Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x=3;x=3\sqrt{3}.$

Bài tập 3: Giải các phương trình sau: a) ${{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{x}^{2}}+3x-4 \right)={{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( 2x+2 \right)$ b) $\lg x=\frac{1}{2}\lg \left( x+1 \right)$ c) ${{\log }_{2}}\frac{\sqrt{8-x}}{4}=\frac{1}{2}{{\log }_{\frac{1}{2}}}x$  d) ${{\log }_{5-x}}\left( {{x}^{2}}-2x+65 \right)=2$

Lời giải chi tiết:

a) ${{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{x}^{2}}+3x-4 \right)={{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( 2x+2 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{x}^{2}}+3x-4>0 \\  {} 2x+2>0 \\  {} {{x}^{2}}+3x-4=2x+2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left[ \begin{array}  {} x>1 \\  {} x<-4 \\ \end{array} \right. \\  {} x>-1 \\  {} {{x}^{2}}+x-6=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x>1 \\  {} \left[ \begin{array}  {} x=2 \\  {} x=-3 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Rightarrow x=2.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=2.$

b) $\lg x=\frac{1}{2}\lg \left( x+1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x>0 \\  {} x+1>0 \\  {} 2\lg x=\lg \left( x+1 \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x>0 \\  {} \lg \left( {{x}^{2}} \right)=\lg \left( x+1 \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x>0 \\  {} {{x}^{2}}=x+1 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x>0 \\  {} \left[ \begin{array}  {} x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \\  {} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$

c) ${{\log }_{2}}\frac{\sqrt{8-x}}{4}=\frac{1}{2}{{\log }_{\frac{1}{2}}}x,\,\,\,\,\,\,\,(3)$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} 8-x>0 \\  {} x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0<x<8.$

Khi đó $\left( 3 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\frac{\sqrt{8-x}}{4}=-\frac{1}{2}{{\log }_{2}}x\Leftrightarrow \frac{\sqrt{8-x}}{4}={{x}^{\frac{1}{2}}}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{8-x}}{4}=\frac{1}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow \sqrt{x\left( 8-x \right)}=4$

$\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+8x=16\Leftrightarrow {{\left( x-4 \right)}^{2}}=0\xrightarrow{{}}x=4.$

Nghiệm $x=4$ thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có nghiệm $x=4.$

d) ${{\log }_{5-x}}\left( {{x}^{2}}-2x+65 \right)=2,\left( 4 \right)$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} 5-x>0 \\  {} 5-x\ne 1 \\  {} {{x}^{2}}-2x+65>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x<5 \\  {} x\ne 4 \\  {} {{\left( x-1 \right)}^{2}}+64>0,\,\forall x\in R \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x<5 \\  {} x\ne 4 \\ \end{array} \right.$.

Khi đó $\left( 4 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+65={{\left( 5-x \right)}^{2}}\Leftrightarrow 8x+40=0\xrightarrow{{}}x=-5$

Nghiệm $x=-5$ thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có nghiệm $x=-5.$

Bình luận:

Trong các Bài tập 3 và 4 chúng ta cần phải tách riêng điều kiện ra giải trước rồi sau đó mới giải phương trình. Ở Bài tập 1 và 2 do các phương trình tương đối đơn giản nên ta mới gộp điều kiện vào việc giải phương trình ngay.

 

Bài tập 4: Giải các phương trình sau: a) $\lg \left( x+3 \right)-2\lg \left( x-2 \right)=\lg 0,4$ b) $\frac{1}{2}{{\log }_{5}}\left( x+5 \right)+{{\log }_{5}}\sqrt{x-3}=\frac{1}{2}{{\log }_{5}}\left( 2x+1 \right)$ c) ${{\log }_{2}}\left( {{4}^{x}}+{{15.2}^{x}}+27 \right)-2{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( \frac{1}{{{4.2}^{x}}-3} \right)=0$

Lời giải chi tiết:

a) $\lg \left( x+3 \right)-2\lg \left( x-2 \right)=\lg 0,4\left( 1 \right)$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} x+3>0 \\  {} x-2>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x>-3 \\  {} x>2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>2.$

Khi đó, $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \lg \left( x+3 \right)-\lg {{\left( x-2 \right)}^{2}}=\lg 0,4\Leftrightarrow \lg \frac{\left( x+3 \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\lg 0,4\Leftrightarrow \frac{\left( x+3 \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=0,4=\frac{2}{5}$

$\Leftrightarrow 2{{\left( x-2 \right)}^{2}}-5\left( x+3 \right)=0\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-13x-7=0\xrightarrow{{}}\left[ \begin{array}  {} x=7 \\  {} x=-\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.$

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là $x=7.$

b) $\frac{1}{2}{{\log }_{5}}\left( x+5 \right)+{{\log }_{5}}\sqrt{x-3}=\frac{1}{2}{{\log }_{5}}\left( 2x+1 \right)\left( 2 \right)$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} x+5>0 \\  {} x-3>0 \\  {} 2x+1>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x>-5 \\  {} x>3 \\  {} x>-\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>3.$

Khi đó, $\left( 2 \right)\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{\log }_{5}}\left( x+5 \right)+\frac{1}{2}{{\log }_{5}}\left( x-3 \right)=\frac{1}{2}{{\log }_{5}}\left( 2x+1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left[ \left( x+5 \right)\left( x-3 \right) \right]={{\log }_{5}}\left( 2x+1 \right)$

$\Leftrightarrow \left( x+5 \right)\left( x-3 \right)=2x+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-15=2x+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}=16\xrightarrow{{}}x=\pm 4.$

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là $x=4.$

c) ${{\log }_{2}}\left( {{4}^{x}}+{{15.2}^{x}}+27 \right)-2{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( \frac{1}{{{4.2}^{x}}-3} \right)=0\,\,\,\left( 3 \right)$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} {{4}^{x}}+{{15.2}^{x}}+27>0,\forall x\in R \\  {} {{4.2}^{x}}-3>0 \\ \end{array} \right.$.

$\left( 3 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{4}^{x}}+{{15.2}^{x}}+27 \right)+2{{\log }_{2}}\left( \frac{1}{{{4.2}^{x}}-3} \right)=0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ \left( {{4}^{x}}+{{15.2}^{x}}+27 \right){{\left( \frac{1}{{{4.2}^{x}}-3} \right)}^{2}} \right]=0$

$\Leftrightarrow \left( {{4}^{x}}+{{15.2}^{x}}+27 \right){{\left( \frac{1}{{{4.2}^{x}}-3} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{{{2}^{2x}}+{{15.2}^{x}}+27}{{{16.2}^{2x}}-{{24.2}^{x}}+9}=1\Leftrightarrow {{15.2}^{2x}}-{{39.2}^{x}}-18=0\xrightarrow{{}}\left[ \begin{array}  {} {{2}^{x}}=3 \\  {} {{2}^{x}}=-\frac{2}{5}<0 \\ \end{array} \right.$

Giá trị ${{2}^{x}}=3$thỏa mãn điều kiện, từ đó ta được ${{2}^{x}}=3\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}3$ là nghiệm của phương trình.

Bài tập 5: Giải các phương trình sau: a) $\log _{2}^{2}{{\left( x-1 \right)}^{2}}=5+{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)$ b) $\log _{2}^{2}\left( 2-x \right)-8{{\log }_{\frac{1}{4}}}\left( 2-x \right)=5$ c) ${{\log }_{\frac{1}{3}}}x-3.\sqrt{{{\log }_{\frac{1}{3}}}x}+2=0$ d) $\log _{\frac{1}{2}}^{2}\left( 4x \right)+{{\log }_{2}}\frac{{{x}^{2}}}{8}=8$

Lời giải chi tiết:

a) $\log _{2}^{2}{{\left( x-1 \right)}^{2}}=5+{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Điều kiện: $x>1$.

Đặt $t={{\log }_{2}}\left( x-1 \right)\xrightarrow{{}}\log _{2}^{2}{{\left( x-1 \right)}^{2}}={{\left[ {{\log }_{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}} \right]}^{2}}={{\left[ 2{{\log }_{2}}\left( x-1 \right) \right]}^{2}}=4{{t}^{2}}$

Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 4{{t}^{2}}-t-5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t=-1 \\  {} t=\frac{5}{4} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}\left[ \begin{array}  {} {{\log }_{2}}\left( x-1 \right)=-1 \\  {} {{\log }_{2}}\left( x-1 \right)=\frac{5}{4} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x-1=\frac{1}{2} \\  {} x-1={{2}^{\frac{5}{4}}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=\frac{3}{2} \\  {} x=1+{{2}^{\frac{5}{4}}} \\ \end{array} \right.$

Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{3}{2};x=1+{{2}^{\frac{5}{4}}}.$

b) $\log _{2}^{2}\left( 2-x \right)-8{{\log }_{\frac{1}{4}}}\left( 2-x \right)=5\left( 2 \right)$

Điều kiện: $x<2.$

$\left( 2 \right)\Leftrightarrow \log _{2}^{2}\left( 2-x \right)-\frac{8}{-2}{{\log }_{2}}\left( 2-x \right)=5\Leftrightarrow \log _{2}^{2}\left( 2-x \right)+4{{\log }_{2}}\left( 2-x \right)-5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{\log }_{2}}\left( 2-x \right)=1 \\  {} {{\log }_{2}}\left( 2-x \right)=-5 \\ \end{array} \right.$

• Với ${{\log }_{2}}\left( 2-x \right)=1\Leftrightarrow 2-x=2\Leftrightarrow x=0.$
• Với ${{\log }_{2}}\left( 2-x \right)=-5\Leftrightarrow 2-x=\frac{1}{32}\Leftrightarrow x=\frac{63}{32}.$

Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=0;x=\frac{63}{32}.$

c) ${{\log }_{\frac{1}{3}}}x-3.\sqrt{{{\log }_{\frac{1}{3}}}x}+2=0\left( 3 \right)$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} x>0 \\  {} {{\log }_{\frac{1}{3}}}x\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0<x\le 1.$

$\left( 3 \right)\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{{{\log }_{\frac{1}{3}}}x} \right)}^{2}}-3.\sqrt{{{\log }_{\frac{1}{3}}}x}+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} \sqrt{{{\log }_{\frac{1}{3}}}x}=1 \\  {} \sqrt{{{\log }_{\frac{1}{3}}}x}=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{\log }_{\frac{1}{3}}}x=1 \\  {} {{\log }_{\frac{1}{3}}}x=4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=\frac{1}{3} \\  {} x=\frac{1}{81} \\ \end{array} \right.$

Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{1}{3};x=\frac{1}{81}.$

d) $\log _{\frac{1}{2}}^{2}\left( 4x \right)+{{\log }_{2}}\frac{{{x}^{2}}}{8}=8\left( 4 \right)$

Điều kiện: $x>0$.

Ta có $\left\langle \begin{array}  {} \log _{\frac{1}{2}}^{2}\left( 4x \right)={{\left[ {{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( 4x \right) \right]}^{2}}={{\left[ -{{\log }_{2}}\left( 4x \right) \right]}^{2}}={{\left[ -\left( {{\log }_{2}}4+{{\log }_{2}}x \right) \right]}^{2}}={{\left( {{\log }_{2}}x+2 \right)}^{2}} \\  {} {{\log }_{2}}\frac{{{x}^{2}}}{8}={{\log }_{2}}{{x}^{2}}-{{\log }_{2}}8=2{{\log }_{2}}x-3 \\ \end{array} \right.$

$\left( 4 \right)\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{2}}x+2 \right)}^{2}}+2{{\log }_{2}}x-3=8\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{2}}+6{{\log }_{2}}x-7=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{\log }_{2}}x=1 \\  {} {{\log }_{2}}x=-7 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=2 \\  {} x={{2}^{-7}}=\frac{1}{128} \\ \end{array} \right.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x=2;x=\frac{1}{128}.$

Bài tập 6: Giải các phương trình sau: a) $\log _{3}^{2}x+\sqrt{\log _{3}^{2}x+1}-5=0$ b) $\log _{\sqrt{2}}^{2}x+3{{\log }_{2}}x+{{\log }_{\frac{1}{2}}}x=2$ c) ${{\log }_{5}}x-{{\log }_{x}}\frac{1}{5}=2$  d) ${{\log }_{7}}x-{{\log }_{x}}\frac{1}{7}=2$

Lời giải chi tiết:

a) Điều kiện: $x>0.$ Đặt $\sqrt{\log _{2}^{2}x+1}=t,\,\,t>0$ ta thu được

$\begin{array}  {} \left\{ \begin{array}  {} t>0 \\  {} {{t}^{2}}+t-6=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} t>0 \\  {} t\in \left\{ -3;2 \right\} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow \sqrt{\log _{2}^{2}x+1}=2 \\  {} \Leftrightarrow \log _{2}^{2}x=3\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=\pm \sqrt{3}\Leftrightarrow x={{2}^{\pm \sqrt{3}}} \\ \end{array}$

b) Điều kiện: $x>0$

Phương trình tương đương với

$4\log _{2}^{2}x+3{{\log }_{2}}x-{{\log }_{2}}x=2\Leftrightarrow 4\log _{2}^{2}x+2{{\log }_{2}}x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{\log }_{2}}x=-1 \\  {} {{\log }_{2}}x=\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=\frac{1}{2} \\  {} x=\sqrt{2} \\ \end{array} \right.$

c) Điều kiện: $0<x\ne 1.$

Phương trình đã cho tương đương với

${{\log }_{5}}x+{{\log }_{x}}5=2\Leftrightarrow {{\log }_{5}}x+\frac{1}{{{\log }_{5}}x}=2\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{5}}x-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\log }_{5}}x=1\Leftrightarrow x=5.$

d) Điều kiện: $x>0$.

Phương trình tương đương với

${{\log }_{7}}x+{{\log }_{x}}7=2\Leftrightarrow {{\log }_{7}}x+\frac{1}{{{\log }_{7}}x}=2\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{7}}x-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\log }_{7}}x=1\Leftrightarrow x=7.$

Bài tập 7: Giải các phương trình sau: a) $\log _{2}^{2}\left( 2-x \right)-8{{\log }_{\frac{1}{4}}}\left( 2-x \right)=5$ b) $\log _{5}^{2}x+4{{\log }_{25}}5x-5=0$

Lời giải chi tiết:

a) Điều kiện: $x<2.$ Phương trình tương đương với $\log _{2}^{2}\left( 2-x \right)+4{{\log }_{2}}\left( 2-x \right)=5$

Đặt ${{\log }_{2}}\left( 2-x \right)=t$ thu được ${{t}^{2}}+4t=5\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t=1 \\  {} t=-5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} 2-x=2 \\  {} 2-x=\frac{1}{32} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=0 \\  {} x=\frac{63}{32} \\ \end{array} \right.$

b) Điều kiện: $x>0.$ Phương trình đã cho tương đương

$\begin{array}  {} \log _{5}^{2}x+2{{\log }_{5}}5x-5=0\Leftrightarrow \log _{5}^{2}x+2\left( 1+{{\log }_{5}}x \right)-5=0 \\  {} \Leftrightarrow \log _{5}^{2}x+2{{\log }_{5}}x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{\log }_{5}}x=1 \\  {} {{\log }_{5}}x-3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=5 \\  {} x=\frac{1}{125} \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$

Bài tập 8: Giải các phương trình sau: a) $\log _{\frac{1}{2}}^{2}8{{x}^{2}}+{{\log }_{2}}4x=2$  b) $\log _{4}^{2}16x+{{\log }_{2}}\frac{{{x}^{2}}}{4}=11$

Lời giải chi tiết:

a) Điều kiện: $x>0$ ta có: $PT\Leftrightarrow {{\left( -{{\log }_{2}}8{{x}^{2}} \right)}^{2}}+2+{{\log }_{2}}x=2\Leftrightarrow {{\left( -3-{{\log }_{2}}{{x}^{2}} \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}x=0$

${{\left( 2{{\log }_{2}}x+3 \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}x=0\Leftrightarrow 4\log _{2}^{2}x+13{{\log }_{2}}x+9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{\log }_{2}}x=-1 \\  {} {{\log }_{2}}x=\frac{-9}{4} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=\frac{1}{2} \\  {} x={{2}^{\frac{-9}{4}}} \\ \end{array} \right..$

Vậy nghiệm của PT là: $x=\frac{1}{2};x={{2}^{-\frac{9}{4}}}.$

b) Điều kiện: $x>0$ ta có: $PT\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{4}}16x \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}{{x}^{2}}-2=11\Leftrightarrow {{\left( 2+{{\log }_{4}}x \right)}^{2}}+2{{\log }_{2}}x=13$

$\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{2}{{\log }_{2}}x+2 \right)}^{2}}+2{{\log }_{2}}x=13\Leftrightarrow \frac{1}{4}\log _{2}^{2}x+4{{\log }_{2}}x-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{\log }_{2}}x=2 \\  {} {{\log }_{2}}x=-18 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=4 \\  {} x={{2}^{-18}} \\ \end{array} \right.$

Vậy nghiệm của PT là: $x=4;x={{2}^{-18}}$.

Bài tập 9: Giải phương trình sau: a) $2{{\log }_{x}}4+{{\log }_{8}}{{x}^{2}}=\frac{20}{3}$  b) $2\log _{\frac{1}{9}}^{2}\left( 3{{x}^{3}} \right)-{{\log }_{\sqrt{x}}}3=3{{\log }_{3}}{{x}^{2}}$

Lời giải chi tiết:

a) Điều kiện: $1\ne x>0$. Khi đó: $PT\Leftrightarrow 4{{\log }_{x}}2+\frac{2}{3}{{\log }_{2}}x=\frac{10}{3}\Leftrightarrow \frac{4}{{{\log }_{2}}x}+\frac{2{{\log }_{2}}x}{3}=\frac{10}{3}$

$\Leftrightarrow 12+2\log _{2}^{2}x=10{{\log }_{2}}x\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{\log }_{2}}x=3 \\  {} {{\log }_{2}}x=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=8 \\  {} x=4 \\ \end{array} \right..$

Vậy nghiệm của PT đã cho là $x=8;x=4$.

b) Điều kiện: $1\ne x>0.$ Khi đó: $PT\Leftrightarrow 2{{\left( -{{\log }_{9}}3{{x}^{3}} \right)}^{2}}-2{{\log }_{x}}3=2{{\left( \frac{1}{2}+{{\log }_{9}}{{x}^{3}} \right)}^{2}}-2{{\log }_{x}}3=6{{\log }_{3}}x$

$\begin{array}  {} \Leftrightarrow 2{{\left( \frac{1}{2}+\frac{3}{2}{{\log }_{3}}x \right)}^{2}}-\frac{2}{{{\log }_{3}}x}=6{{\log }_{3}}x\Leftrightarrow 9\log _{3}^{2}x+6{{\log }_{3}}x+1-\frac{4}{{{\log }_{3}}x}=12{{\log }_{3}}x \\  {} \Leftrightarrow 9\log _{3}^{2}x-6\log _{3}^{2}x+{{\log }_{3}}x-4=0\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x=1\Leftrightarrow x=3. \\ \end{array}$

Vậy nghiệm của PT là: $x=3.$

Ví dụ 10: Giải các phương trình sau: a) $\log _{x}^{3}10-\log _{x}^{2}10-6{{\log }_{x}}10=0$                                  b) $2{{\log }_{5}}x-{{\log }_{x}}125-1=0$

Lời giải:

1. a) Điều kiện: $1\ne x>0$. Đặt $t={{\log }_{x}}10\,\,\,\left( t\ne 0 \right)$ ta có: ${{t}^{3}}-{{t}^{2}}-6t=0\Leftrightarrow t\left( t-3 \right)\left( t+2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=0\,\,\,\left( lo{}^\text{1}i \right) \\ {} t=3 \\  {} t=-2 \\ \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}  {} {{\log }_{x}}10=3 \\  {} {{\log }_{x}}10=-2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{x}^{3}}=10 \\  {} \frac{1}{{{x}^{2}}}=10 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=\sqrt[3]{10} \\  {} x=\frac{1}{\sqrt{10}} \\ \end{array} \right.$

Vậy $x=\sqrt[3]{10};x=\frac{1}{\sqrt{10}}$ là nghiệm của PT đã cho.

1. b) Điều kiện: $1\ne x>0$. Ta có: $PT\Leftrightarrow 2{{\log }_{5}}x-{{\log }_{x}}{{5}^{3}}-1=0\Leftrightarrow 2{{\log }_{5}}x-3{{\log }_{x}}5-1=0$

Đặt $t={{\log }_{5}}x\,\,\,\left( t\ne 0 \right)$ ta có: $2t-\frac{3}{t}-1=0\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-t-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t=-1 \\  {} t=\frac{3}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{\log }_{5}}x=-1 \\  {} {{\log }_{5}}x=\frac{3}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=\frac{1}{5} \\  {} x=\sqrt{125} \\ \end{array} \right..$

Vậy $x=\frac{1}{5};x=\sqrt{125}$ là nghiệm của PT đã cho.

Ví dụ 11: Giải các phương trình sau: a) $\log _{2}^{2}\left( x+1 \right)-6{{\log }_{2}}\sqrt{x+1}+2=0$                      b) $3\sqrt{{{\log }_{3}}x}-{{\log }_{3}}3x=3$

Lời giải:

1. a) Điều kiện: $x>-1.$

Khi đó: $PT\Leftrightarrow \log _{2}^{2}\left( x+1 \right)-6{{\log }_{2}}{{\left( x+1 \right)}^{\frac{1}{2}}}+2=0\Leftrightarrow \log _{2}^{2}\left( x+1 \right)-3{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)+2=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{\log }_{2}}x=1 \\  {} {{\log }_{2}}x=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x+1=2 \\  {} x+1=4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=1 \\  {} x=3 \\ \end{array} \right.$

1. b) Ta có: $PT\Leftrightarrow 3\sqrt{{{\log }_{3}}x}-\left( {{\log }_{3}}3+{{\log }_{3}}x \right)=3\Leftrightarrow -{{\log }_{3}}x+3\sqrt{{{\log }_{3}}x}-4=0.$

Đặt $t=\sqrt{{{\log }_{3}}x}\,\,\,\left( t\ge 0 \right)$, ta có: $-{{t}^{2}}+3t-4=0\,\,\left( vn \right).$

Vậy  PT đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 12: Giải các phương trình sau: a) $\log _{\sqrt{2}}^{2}\frac{{{x}^{2}}}{4}+2{{\log }_{x}}32=10$                 b) ${{\log }_{x}}\sqrt{5}+{{\log }_{x}}5x-2,25=\log _{x}^{2}\sqrt{5}$

Lời giải:

1. a) Điều kiện: $1\ne x>0.$ Khi đó: $PT\Leftrightarrow \left( {{\log }_{\sqrt{2}}}\frac{{{x}^{2}}}{4} \right)+10{{\log }_{x}}2=10\Leftrightarrow \frac{1}{4}{{\left( {{\log }_{2}}{{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}+10{{\log }_{x}}2=10$

$\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{2}}x-1 \right)}^{2}}+\frac{10}{{{\log }_{2}}x}\left( 1-{{\log }_{2}}x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{\log }_{2}}x=1 \\  {} \log _{2}^{2}x-{{\log }_{2}}x-10=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=2 \\  {} {{\log }_{2}}x=\frac{1\pm \sqrt{41}}{2}\Leftrightarrow x={{2}^{\frac{1\pm \sqrt{41}}{2}}} \\ \end{array} \right.$

Kết hợp ĐK: Vậy nghiệm của PT là: $x=2;x={{2}^{\frac{1\pm \sqrt{41}}{2}}}$.

1. b) Điều kiện: $1\ne x>0.$ Khi đó: $PT\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{\log }_{x}}5+\left( {{\log }_{x}}5+1 \right)-\frac{9}{4}{{\left( \frac{1}{2}{{\log }_{x}}5 \right)}^{2}}$

Đặt $t={{\log }_{x}}5\,\,\,\left( t\ne 0 \right)$ ta có: $\frac{3}{2}t-\frac{5}{4}=\frac{1}{4}{{t}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t=5 \\  {} t=1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{\log }_{x}}5=5 \\  {} {{\log }_{x}}5=1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=\sqrt[5]{5} \\  {} x=5 \\ \end{array} \right.$.

Vậy $x=5;x=\sqrt[5]{5}$ là nghiệm của PT đã cho.

Ví dụ 13: Số nghiệm của phương trình $\log _{3}^{2}x-4{{\log }_{3}}\left( 3x \right)+7=0$ là: A. 1.                                   B. 2.                                        C. 3.                                   D. 0.

Lời giải:

Điều kiện: $x>0$. Khi đó $PT\Leftrightarrow \log _{3}^{2}x-4\left( 1+{{\log }_{3}}x \right)+7=0$

$\Leftrightarrow \log _{3}^{2}x-4{{\log }_{3}}x+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{\log }_{3}}x=1 \\  {} {{\log }_{3}}x=3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=3 \\  {} x=27 \\ \end{array} \right.$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. Chọn B.

Ví dụ 14: Tích các nghiệm của phương trình $\log _{2}^{2}\left( 4x \right)-3{{\log }_{\sqrt{2}}}x-7=0$ là: A. -7.                                 B. -3.                                      C. 16.                                 D. 8.

Lời giải:

Điều kiện: $x>0$. Khi đó $PT\Leftrightarrow {{\left[ {{\log }_{2}}\left( 4x \right) \right]}^{2}}-6{{\log }_{2}}x-7=0$

$\Leftrightarrow {{\left( 2+{{\log }_{2}}x \right)}^{2}}-6{{\log }_{2}}x-7=0\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x-2{{\log }_{2}}x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{\log }_{2}}x=-1 \\  {} {{\log }_{2}}x=3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=\frac{1}{2} \\  {} x=8 \\ \end{array} \right.$

Suy ra ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=4$. Chọn D.

 

Ví dụ 15: Số nghiệm của phương trình ${{\log }_{\sqrt{2}}}\left( 4x \right)+\sqrt{{{\log }_{2}}x+2}=10$ là: A. 1.                                   B. 2.                                        C. 3.                                   D. 0.

Lời giải:

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} x>0 \\  {} {{\log }_{2}}x+2\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x>0 \\  {} {{\log }_{2}}x\ge -2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x\ge \frac{1}{4}$.

Khi đó $PT\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}\left( 4x \right)+\sqrt{{{\log }_{2}}x+2}=10\Leftrightarrow 2\left( 2+{{\log }_{2}}x \right)+\sqrt{{{\log }_{2}}x+2}-10=0$

Đặt $t=\sqrt{2+{{\log }_{2}}x}\,\,\,\left( t\ge 0 \right)$ ta có $2{{t}^{2}}+t-10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t=2 \\  {} t=-5 \\ \end{array} \right.\xrightarrow{t\ge 0}t=2\Rightarrow \sqrt{2+{{\log }_{2}}x}=2$

$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=2\Leftrightarrow x=4.$

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm. Chọn A.

Ví dụ 16: Số nghiệm của phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right){{\log }_{4}}\left( {{2.5}^{x}}-2 \right)=1$ là: A. 1.                                   B. 2.                                        C. 3.                                   D. 0.

Lời giải:

Điều kiện: ${{5}^{x}}-1>0\Leftrightarrow x>0$.

Khi đó $PT\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left[ 2.\left( {{5}^{x}}-1 \right) \right]=1\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)\left[ 1+{{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right) \right]=2$

Đặt $t={{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)$ ta có: $t\left( 1+t \right)=2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t=1 \\  {} t=-2 \\ \end{array} \right.$

+) Với $t=1\Rightarrow {{5}^{x}}-1=2\Leftrightarrow x={{\log }_{5}}3$

+) Với $t=-2\Rightarrow {{5}^{x}}-1=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x={{\log }_{5}}\frac{5}{4}$

Vậy PT có hai nghiệm là $x={{\log }_{5}}3;x={{\log }_{5}}\frac{5}{4}$. Chọn B.

 

Ví dụ 17: Gọi S là tập nghiệm của phương trình ${{\log }_{3x+7}}{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}+{{\log }_{2x+3}}\left( 3x+7 \right)=3$. Tổng các phần tử của tập S bằng: A. $\frac{-1}{4}.$           B. $\frac{-17}{4}.$              C. $\frac{17}{4}.$           D. $\frac{-25}{4}.$

Lời giải:

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} 0<3x+7\ne 1 \\  {} 0<2x+3\ne 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \frac{-7}{3}<x\ne -2 \\  {} \frac{-3}{2}<x\ne -1 \\ \end{array} \right..$

Đặt $t={{\log }_{3x+7}}\left( 2x+3 \right)$ phương trình trở thành:

$2t+\frac{1}{t}=3\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t=1 \\  {} t=\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.$

Với $t=1$ ta có: ${{\log }_{3x+7}}\left( 2x+3 \right)=1\Leftrightarrow 2x+3=3x+7\Leftrightarrow x=-4$ (loại).

Với $t=\frac{1}{2}$ ta có: ${{\log }_{3x+7}}\left( 2x+3 \right)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x+3=\sqrt{3x+7}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x\ge \frac{-3}{2} \\  {} 4{{x}^{2}}+9x+2=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=-\frac{1}{4}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=-\frac{1}{4}$. Chọn A.

Ví dụ 18: Gọi S là tập nghiệm của phương trình $\log _{\sqrt{2}}^{2}x+3{{\log }_{2}}x+{{\log }_{\frac{1}{2}}}x=2$. Tổng bình phương các phần tử của tập S bằng: A. $\frac{5}{2}.$             B. $\frac{1+2\sqrt{2}}{2}.$ C. $\frac{9}{4}.$             D. $\frac{9}{2}.$

Lời giải:

Điều kiện: $x>0.$ Khi đó $PT\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{\sqrt{2}}}x \right)}^{2}}+3{{\log }_{2}}x-{{\log }_{2}}x=2$

$\Leftrightarrow {{\left( 2{{\log }_{2}}x \right)}^{2}}+2{{\log }_{2}}x=2\Leftrightarrow 4\log _{2}^{2}x+2{{\log }_{2}}x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{\log }_{2}}x=-1 \\  {} {{\log }_{2}}x=\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=\frac{1}{2} \\  {} x={{2}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow S=\left\{ \frac{1}{2};\sqrt{2} \right\}\Rightarrow T=\frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}.$ Chọn C.

Ví dụ 19: Số nghiệm của phương trình ${{\log }_{2}}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{{{\log }_{2}}x}=\frac{4}{3}$ là: A. 1.                                   B. 2.                                        C. 3.                                   D. 0.

Lời giải:

Điều kiện: $x>0$. Khi đó $PT\Leftrightarrow \frac{1}{3}{{\log }_{2}}x+\sqrt[3]{{{\log }_{2}}x}=\frac{4}{3}$

Đặt $t=\sqrt[3]{{{\log }_{2}}x}\Rightarrow \frac{1}{3}{{t}^{3}}+t-\frac{4}{3}=0\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x={{1}^{3}}=1\Leftrightarrow x=2\,\,\,\left( t/m \right).$ Chọn A.

 

Ví dụ 20: Số nghiệm của phương trình $\log _{2}^{2}x+\sqrt{\log _{2}^{2}x+1}-5=0$ là: A. 1.                                   B. 2.                                        C. 3.                                   D. 0.

Lời giải:

Điều kiện: $x>0$. Khi đó $PT\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x+1+\sqrt{\log _{2}^{2}x+1}-6=0$

Đặt $t=\sqrt{\log _{2}^{2}x+1}\,\,\,\left( t\ge 0 \right)$ ta có: ${{t}^{2}}+t-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t=2 \\  {} t=-3 \\ \end{array} \right.\,\,\,(lo{}^\text{1}i\,\,t=2)$

Khi đó $\log _{2}^{2}x+1=4\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x=3\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=\pm \sqrt{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x={{2}^{\sqrt{3}}} \\  {} x={{2}^{-\sqrt{3}}} \\ \end{array} \right.$

Do đó phương trình có hai nghiệm. Chọn B.