Giải bất phương trình mũ bằng Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phương pháp phân tích nhân tử, phương pháp đánh giá

Giải bất phương trình mũ bằng Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phương pháp phân tích nhân tử, phương pháp đánh giá

Các phương pháp giải bất phương trình mũ

Cho hàm số y = f(t) xác định và liên tục trên D:

Nếu hàm số f(t) luôn đồng biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì $f(u)>f(v)\Leftrightarrow u>v$

Nếu hàm số f(t) luôn nghịch biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì $f(u)>f(v)\Leftrightarrow u<v$

Bài tập trắc nghiệm các dạng bài giải bất phương trình mũ

Lời giải chi tiết

a) ĐK: $x\ne \frac{1}{2}$. Xét $g\left( x \right)={{3}^{2-x}}+3-2x$ với $x\in \mathbb{R}$ta có: $g'\left( x \right)=-{{3}^{2-x}}\ln 3-2<0\forall x\in \mathbb{R}$

Do vậy hàm số g(x) nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ta có: $g\left( x \right)>0\Leftrightarrow g\left( x \right)>g\left( 2 \right)\Leftrightarrow x<2$

$g\left( x \right)<0\Leftrightarrow x>2$. Khi đó BPT $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} \left\{ \begin{array}  {} g\left( x \right)>0 \\  {} {{4}^{x}}-2>0 \\ \end{array} \right. \\  {} \left\{ \begin{array}  {} g\left( x \right)<0 \\  {} {{4}^{x}}-2<0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} \left\{ \begin{array}  {} x<2 \\  {} x>\frac{1}{2} \\ \end{array} \right. \\  {} \left\{ \begin{array}  {} x>2 \\  {} x<\frac{1}{2} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \frac{1}{2}<x<2$

Vậy nghiệm của BPT là: $\left( \frac{1}{2};2 \right)$

b) Xét $g\left( x \right)={{4}^{x}}+x-5$ và $f\left( x \right)={{2}^{x}}+x-6$ trên $\mathbb{R}$ta có:

$g'\left( x \right)={{4}^{x}}\ln 4+1>0,f\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2+1>0$

Do vậy hàm số$f\left( x \right)$,$g\left( x \right)$ đều đồng biến trên$\mathbb{R}$

Khi đó BPT$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} \left\{ \begin{array}  {} g\left( x \right)>0 \\  {} f\left( x \right)>0 \\ \end{array} \right. \\  {} \left\{ \begin{array}  {} g\left( x \right)<0 \\  {} f\left( x \right)<0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} \left\{ \begin{array}  {} g\left( x \right)>g\left( 1 \right) \\  {} f\left( x \right)>f\left( 2 \right) \\ \end{array} \right. \\  {} \left\{ \begin{array}  {} g\left( x \right)<g\left( 1 \right) \\  {} f\left( x \right)<f\left( 2 \right) \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x>2 \\  {} x<1 \\ \end{array} \right.$

Vậy nghiệm của BPT là $x>2$;$x<1$

Lời giải chi tiết

a) BPT $\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x+1}}-{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{2x}}+1\ge x\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x+1}}+x+1\ge {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{2x}}+2x$

Xét hàm số $f\left( t \right)={{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{t}}+t\left( t\in \mathbb{R} \right),f'\left( t \right)={{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{t}}\ln \left( \sqrt{2}+1 \right)+1>0$

Do vậy hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Ta có: $f\left( x+1 \right)\ge f\left( 2x \right)\Leftrightarrow x+1\ge 2x\Leftrightarrow x\le 1$

Vậy nghiệm của BPT là: $x\le 1$

b) Đặt $y=\sqrt{{{2}^{x+1}}-x+6}\Rightarrow -x={{y}^{2}}-6-{{2}^{x+1}}$

Khi đó BPT $\Rightarrow {{4}^{x}}+{{2}^{x}}-4\ge {{y}^{2}}-6-{{2}^{x+1}}+y\Leftrightarrow {{4}^{x}}+{{3.2}^{x}}+2\ge {{y}^{2}}+y$

$\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}}+1 \right)}^{2}}+\left( {{2}^{x}}+1 \right)\ge {{y}^{2}}+y$. Xét hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty  \right)$

Do vậy BPT $\Leftrightarrow f\left( {{2}^{x}}+1 \right)\ge f\left( y \right)\Leftrightarrow {{2}^{x}}+1\ge y\Leftrightarrow {{2}^{x}}+1\ge \sqrt{{{2}^{x+1}}-x+6}$

$\Leftrightarrow {{4}^{x}}+{{2}^{x+1}}+1\ge {{2}^{x+1}}-x+6\Leftrightarrow {{4}^{x}}+x\ge 5$. Xét hàm số $g\left( x \right)={{4}^{x}}+5$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

BPT$\Leftrightarrow g\left( x \right)\ge 5=g\left( 1 \right)\Leftrightarrow x\ge 1$

Vậy $x\ge 1$ là nghiệm của PT.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{25.2}^{x}}-{{10}^{x}}+{{5}^{x}}\ge 25\Leftrightarrow 25\left( {{2}^{x}}-1 \right)\ge 5\left( {{2}^{x}}-1 \right)$

$\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-1 \right)\left( 25-{{5}^{x}} \right)\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} \left\{ \begin{array}  {} {{2}^{x}}-1\ge 0 \\  {} 25-{{5}^{x}}\ge 0 \\ \end{array} \right. \\  {} \left\{ \begin{array}  {} {{2}^{x}}-1\le 0 \\  {} 25-{{5}^{x}}\le 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} \left\{ \begin{array}  {} {{2}^{x}}\ge {{2}^{0}} \\  {} {{5}^{2}}\ge {{5}^{x}} \\ \end{array} \right. \\  {} \left\{ \begin{array}  {} {{2}^{x}}\le {{2}^{0}} \\  {} {{5}^{2}}\le {{5}^{x}} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0\le x\le 2$

Kết hợp$x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\left\{ 0;1;2 \right\}\Rightarrow T=3$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: BPT$\Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}-x-6}}+{{x}^{2}}-x-6\le {{3}^{x+2}}+x+2$

Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}+t$ trên tập $\mathbb{R}$

Khi đó $f'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3+1>0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$ suy ra $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Do đó $f\left( {{x}^{2}}-x-6 \right)\le f\left( x+2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-6\le x+2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-8\le 0$

$\Leftrightarrow -2\le x\le 4\Rightarrow$BPT có 7 nghiệm nguyên. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: BPT $\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}-4x+7}}+{{x}^{2}}-4x+7\le {{2}^{5x-7}}+5x-7$

Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t$ trên tập $\mathbb{R}$

Khi đó $f'(t)={{2}^{t}}\ln 2+1>0\,\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$ suy ra f(t) đồng biến trên $\mathbb{R}$

Do đó $f\left( {{x}^{2}}-4x+7 \right)\le f\left( 5x-7 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+7\le 5x-7\Leftrightarrow {{x}^{2}}-9x+14\le 0$

$\Leftrightarrow 2\le x\le 7\Rightarrow$BPT có 6 nghiệm nguyên. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Điều kiện $x\ge -1$

BPT $\Leftrightarrow {{2017}^{2x+\sqrt{x+1}}}+1004(2x+\sqrt{x+1})\le {{2018}^{2+\sqrt{x+1}}}+1004(2+\sqrt{x+1})$ (*)

Hàm số $f(t)={{2017}^{t}}+1004t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên (*) $\Leftrightarrow 2x+\sqrt{x+1}\le 2+\sqrt{x+1}\Leftrightarrow x\in \left[ -1;1 \right]$

Do đó BPT có 3 nghiệm nguyên. Chọn C.