Cho hàm số y = f(t) xác định và liên tục trên D:
Nếu hàm số f(t) luôn đồng biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì $f(u)>f(v)\Leftrightarrow u>v$
Nếu hàm số f(t) luôn nghịch biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì $f(u)>f(v)\Leftrightarrow u<v$
Bài tập trắc nghiệm các dạng bài giải bất phương trình mũ
Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau:
a) $\frac{{{3}^{2-x}}+3-2x}{{{4}^{x}}-2}>0$ b) $\frac{{{4}^{x}}+x-5}{{{2}^{x}}+x-6}>0$ |
Lời giải chi tiết
a) ĐK: $x\ne \frac{1}{2}$. Xét $g\left( x \right)={{3}^{2-x}}+3-2x$ với $x\in \mathbb{R}$ta có: $g'\left( x \right)=-{{3}^{2-x}}\ln 3-2<0\forall x\in \mathbb{R}$
Do vậy hàm số g(x) nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ta có: $g\left( x \right)>0\Leftrightarrow g\left( x \right)>g\left( 2 \right)\Leftrightarrow x<2$
$g\left( x \right)<0\Leftrightarrow x>2$. Khi đó BPT $\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} \left\{ \begin{array} {} g\left( x \right)>0 \\ {} {{4}^{x}}-2>0 \\ \end{array} \right. \\ {} \left\{ \begin{array} {} g\left( x \right)<0 \\ {} {{4}^{x}}-2<0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} \left\{ \begin{array} {} x<2 \\ {} x>\frac{1}{2} \\ \end{array} \right. \\ {} \left\{ \begin{array} {} x>2 \\ {} x<\frac{1}{2} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \frac{1}{2}<x<2$
Vậy nghiệm của BPT là: $\left( \frac{1}{2};2 \right)$
b) Xét $g\left( x \right)={{4}^{x}}+x-5$ và $f\left( x \right)={{2}^{x}}+x-6$ trên $\mathbb{R}$ta có:
$g'\left( x \right)={{4}^{x}}\ln 4+1>0,f\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2+1>0$
Do vậy hàm số$f\left( x \right)$,$g\left( x \right)$ đều đồng biến trên$\mathbb{R}$
Khi đó BPT$\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} \left\{ \begin{array} {} g\left( x \right)>0 \\ {} f\left( x \right)>0 \\ \end{array} \right. \\ {} \left\{ \begin{array} {} g\left( x \right)<0 \\ {} f\left( x \right)<0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} \left\{ \begin{array} {} g\left( x \right)>g\left( 1 \right) \\ {} f\left( x \right)>f\left( 2 \right) \\ \end{array} \right. \\ {} \left\{ \begin{array} {} g\left( x \right)<g\left( 1 \right) \\ {} f\left( x \right)<f\left( 2 \right) \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x>2 \\ {} x<1 \\ \end{array} \right.$
Vậy nghiệm của BPT là $x>2$;$x<1$
Bài tập 2: Giải các bất phương trình sau:
a) ${{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x+1}}-{{\left( 3+2\sqrt{2} \right)}^{x}}+1\ge x$ b*) ${{4}^{x}}+{{2}^{x}}-4\ge -x+\sqrt{{{2}^{x+1}}-x+6}$ |
Lời giải chi tiết
a) BPT $\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x+1}}-{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{2x}}+1\ge x\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x+1}}+x+1\ge {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{2x}}+2x$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{t}}+t\left( t\in \mathbb{R} \right),f'\left( t \right)={{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{t}}\ln \left( \sqrt{2}+1 \right)+1>0$
Do vậy hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Ta có: $f\left( x+1 \right)\ge f\left( 2x \right)\Leftrightarrow x+1\ge 2x\Leftrightarrow x\le 1$
Vậy nghiệm của BPT là: $x\le 1$
b) Đặt $y=\sqrt{{{2}^{x+1}}-x+6}\Rightarrow -x={{y}^{2}}-6-{{2}^{x+1}}$
Khi đó BPT $\Rightarrow {{4}^{x}}+{{2}^{x}}-4\ge {{y}^{2}}-6-{{2}^{x+1}}+y\Leftrightarrow {{4}^{x}}+{{3.2}^{x}}+2\ge {{y}^{2}}+y$
$\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}}+1 \right)}^{2}}+\left( {{2}^{x}}+1 \right)\ge {{y}^{2}}+y$. Xét hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
Do vậy BPT $\Leftrightarrow f\left( {{2}^{x}}+1 \right)\ge f\left( y \right)\Leftrightarrow {{2}^{x}}+1\ge y\Leftrightarrow {{2}^{x}}+1\ge \sqrt{{{2}^{x+1}}-x+6}$
$\Leftrightarrow {{4}^{x}}+{{2}^{x+1}}+1\ge {{2}^{x+1}}-x+6\Leftrightarrow {{4}^{x}}+x\ge 5$. Xét hàm số $g\left( x \right)={{4}^{x}}+5$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
BPT$\Leftrightarrow g\left( x \right)\ge 5=g\left( 1 \right)\Leftrightarrow x\ge 1$
Vậy $x\ge 1$ là nghiệm của PT.
Bài tập 3: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình ${{25.2}^{x}}-{{10}^{x}}+{{5}^{x}}\ge 25$là:
A. $T=5$ B. $T=3$ C. $T=2$ D. $T=1$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{25.2}^{x}}-{{10}^{x}}+{{5}^{x}}\ge 25\Leftrightarrow 25\left( {{2}^{x}}-1 \right)\ge 5\left( {{2}^{x}}-1 \right)$
$\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-1 \right)\left( 25-{{5}^{x}} \right)\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} \left\{ \begin{array} {} {{2}^{x}}-1\ge 0 \\ {} 25-{{5}^{x}}\ge 0 \\ \end{array} \right. \\ {} \left\{ \begin{array} {} {{2}^{x}}-1\le 0 \\ {} 25-{{5}^{x}}\le 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} \left\{ \begin{array} {} {{2}^{x}}\ge {{2}^{0}} \\ {} {{5}^{2}}\ge {{5}^{x}} \\ \end{array} \right. \\ {} \left\{ \begin{array} {} {{2}^{x}}\le {{2}^{0}} \\ {} {{5}^{2}}\le {{5}^{x}} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0\le x\le 2$
Kết hợp$x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\left\{ 0;1;2 \right\}\Rightarrow T=3$. Chọn B.
Bài tập 4: Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{3}^{{{x}^{2}}-x-6}}-{{3}^{x+2}}+{{x}^{2}}-2x-8\le 0$ là:
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 |
Lời giải chi tiết
Ta có: BPT$\Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}-x-6}}+{{x}^{2}}-x-6\le {{3}^{x+2}}+x+2$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}+t$ trên tập $\mathbb{R}$
Khi đó $f'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3+1>0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$ suy ra $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Do đó $f\left( {{x}^{2}}-x-6 \right)\le f\left( x+2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-6\le x+2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-8\le 0$
$\Leftrightarrow -2\le x\le 4\Rightarrow $BPT có 7 nghiệm nguyên. Chọn C.
Bài tập 5: Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}-4x+7}}-{{2}^{5x-7}}+{{x}^{2}}-9x+14\le 0$ là:
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 |
Lời giải chi tiết
Ta có: BPT $\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}-4x+7}}+{{x}^{2}}-4x+7\le {{2}^{5x-7}}+5x-7$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t$ trên tập $\mathbb{R}$
Khi đó $f'(t)={{2}^{t}}\ln 2+1>0\,\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$ suy ra f(t) đồng biến trên $\mathbb{R}$
Do đó $f\left( {{x}^{2}}-4x+7 \right)\le f\left( 5x-7 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+7\le 5x-7\Leftrightarrow {{x}^{2}}-9x+14\le 0$
$\Leftrightarrow 2\le x\le 7\Rightarrow $BPT có 6 nghiệm nguyên. Chọn B.
Bài tập 6: Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{2017}^{2x+\sqrt{x+1}}}-{{2017}^{2+\sqrt{x+1}}}+2018x\le 2018$
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 |
Lời giải chi tiết
Điều kiện $x\ge -1$
BPT $\Leftrightarrow {{2017}^{2x+\sqrt{x+1}}}+1004(2x+\sqrt{x+1})\le {{2018}^{2+\sqrt{x+1}}}+1004(2+\sqrt{x+1})$ (*)
Hàm số $f(t)={{2017}^{t}}+1004t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên (*) $\Leftrightarrow 2x+\sqrt{x+1}\le 2+\sqrt{x+1}\Leftrightarrow x\in \left[ -1;1 \right]$
Do đó BPT có 3 nghiệm nguyên. Chọn C.
TOÁN LỚP 12