Giải bất phương trình mũ bằng phương pháp đưa về cùng cơ số - bài tập có đáp án chi tiết

Giải bất phương trình mũ  bằng phương pháp đưa về cùng cơ số - bài tập có đáp án

Phương pháp đứa về cùng cơ số mũ

Bài tập trắc nghiệm giải giải bất phương trình mũ khác cơ số có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

a) Do $0>\frac{1}{\sqrt{3}}<1$ nên BPT $\Leftrightarrow 8{{x}^{2}}-17x+11\le 7-5x-{{x}^{2}}\Leftrightarrow 9{{x}^{2}}-12x+4\le 0$

$\Leftrightarrow {{(3x-2)}^{2}}\le 0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$

Vậy nghiệm của BPT là $x=\frac{3}{2}$

b) ĐK: $x\ne -1$. BPT $\Leftrightarrow {{\left( -{{2}^{-2}} \right)}^{x}}>{{2}^{\frac{2x}{x+1}}}\Leftrightarrow {{2}^{-2x}}>{{2}^{\frac{2x}{x+1}}}$

Do 2 > 1 nên BPT $\Leftrightarrow -2x>\frac{2x}{x+1}\Leftrightarrow 2x+\frac{2x}{x+1}<0\Leftrightarrow \frac{2{{x}^{2}}+4x}{x+1}<0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x<-2 \\  {} -1<x<0 \\ \end{array} \right.$

Vậy nghiệm của BPT là $x\in \left( -\infty ;-2 \right)\cup (-1;0)$

Lời giải chi tiết

a) ĐK: $x\ne 1,x=\ne -3$

Do $\left( \sqrt{10}+3 \right)\left( \sqrt{10}-3 \right)=1\Rightarrow \left( \sqrt{10}-3 \right)={{\left( \sqrt{10}+3 \right)}^{-1}}$

Khi đó BPT $\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{10}+3 \right)}^{\frac{x-3}{x-1}}}<{{\left( \sqrt{10}+3 \right)}^{\frac{x+1}{x+3}}}\Leftrightarrow \frac{x-3}{x-1}<-\frac{x+1}{x+3}\Leftrightarrow \frac{x-3}{x-1}+\frac{x+1}{x+3}<0$

$\Leftrightarrow \frac{2{{x}^{2}}-5}{(x-1)(x+3)}<0$. Lập bảng xét dấu ta được $\left[ \begin{array}  {} -3<x<-\sqrt{5} \\  {} 1<x<\sqrt{5} \\ \end{array} \right.$

Vậy BPT có nghiệm  là $\left( -3;-\sqrt{5} \right)\cup \left( 1;\sqrt{5} \right)$

b) Điều kiện ${{x}^{2}}-2x\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x\ge 2 \\  {} x\le 0 \\ \end{array} \right.$

Ta có $\frac{1}{{{2}^{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}}}\le {{2}^{x-1}}\Leftrightarrow {{2}^{x-1+\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}}\ge 1={{2}^{0}}\Leftrightarrow x-1+\sqrt{{{x}^{2}}-2x}\ge 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-2x}\ge 1-x\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} \left\{ \begin{array}  {} 1-x<0 \\  {} {{x}^{2}}-2x\ge 0 \\ \end{array} \right. \\  {} \left\{ \begin{array}  {} 1-x\ge 0 \\  {} {{x}^{2}}-2x\ge {{(1-x)}^{2}} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} \left\{ \begin{array}  {} x>1 \\  {} {{x}^{2}}-2x\ge 0 \\ \end{array} \right. \\  {} \left\{ \begin{array}  {} x\le 1 \\  {} 0\ge 1 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x\ge 2$

Vậy tập nghiệm của BPT là: $S=\left[ 2;+\infty  \right)$

Lời giải chi tiết

Ta có ${{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{\frac{6x-6}{x+1}}}\le {{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{-x}}\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{\frac{6x-6}{x+1}}}\le {{\left( \frac{1}{\sqrt{2}+1} \right)}^{-x}}={{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}\Leftrightarrow \frac{6x-6}{x+1}\le x$

$\Leftrightarrow \frac{6x-6}{x+1}-x\le 0\Leftrightarrow \frac{-{{x}^{2}}+5x-6}{x+1}\le 0\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-5x+6}{x+1}\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x\ge 3 \\  {} -1<x\le 2 \\ \end{array} \right.$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left( -1;2 \right]\cup \left[ 3;+\infty  \right)$.Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có ${{3}^{\sqrt{x}}}+{{3}^{\sqrt{x}-1}}-{{3}^{\sqrt{x}-2}}<11\Leftrightarrow {{3}^{\sqrt{x}}}+\frac{1}{3}{{.3}^{\sqrt{x}}}-\frac{1}{9}{{.3}^{\sqrt{x}}}<11\Leftrightarrow \frac{11}{9}{{.3}^{\sqrt{x}}}<11$

$\Leftrightarrow {{3}^{\sqrt{x}}}<{{3}^{2}}\Leftrightarrow \sqrt{x}<2\Leftrightarrow 0\le x<4$. Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left[ 0;4 \right)$

Vậy BPT có 4 nghiệm nguyên. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có

${{\left( \frac{2}{5} \right)}^{\frac{6-5x}{2+5x}}}\ge \frac{25}{4}\Leftrightarrow {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{\frac{6-5x}{2+5x}}}\ge {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{2}}={{\left( \frac{2}{5} \right)}^{-2}}\Leftrightarrow \frac{6-5x}{2+5x}\ge -2\Leftrightarrow \frac{10+5x}{2+5x}\le 0\Leftrightarrow -2\le x<\frac{-2}{5}$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left[ -2;\frac{-2}{5} \right)$

Kết hợp $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\left\{ -2;-1 \right\}\Rightarrow T=-3$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có ${{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{x-1}}\ge {{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{\frac{x-1}{x+1}}}\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{x-1}}\ge {{\left( \frac{1}{\sqrt{5}+2} \right)}^{\frac{x-1}{x+1}}}={{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{\frac{x-1}{x+1}}}$

$\Leftrightarrow x-1\ge -\frac{x-1}{x+1}\Leftrightarrow x-1+\frac{x-1}{x+1}\ge 0\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}+x-2}{x+1}\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x>1 \\  {} -2\le x<1 \\ \end{array} \right.$

Kết hợp $x\in {{\mathbb{Z}}^{-}}\Rightarrow x=\left\{ -2;-1 \right\}\Rightarrow$BPT có 2 nghiệm nguyên âm. Chọn B.

Lời giải chi tiết

BPT $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{x}^{2}}-3x-10\ge 0 \\  {} \sqrt{{{x}^{2}}-3x-10}<x-2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left[ \begin{array}  {} x\ge 5 \\  {} x\le -2 \\ \end{array} \right. \\  {} \sqrt{{{x}^{2}}-3x-10}<x-2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left[ \begin{array}  {} x\ge 5 \\  {} x\le -2 \\ \end{array} \right.,x-2>0 \\  {} {{x}^{2}}-3x-10<{{x}^{2}}-4x+4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x\ge 5 \\  {} x<14 \\ \end{array} \right.$

$\Rightarrow 5\le x<14\Rightarrow$ có 9 phần tử. Chọn C.