Giải bất phương trình mũ bằng Phương pháp đặt ẩn phụ có đáp án chi tiết

Giải bất phương trình mũ bằng Phương pháp đặt ẩn phụ có đáp án

Ta sẽ làm tương tự như các dạng đặt ẩn phụ của phương trình nhưng lưu ý đến chiều biến thiên của hàm số.

Bài tập trắc nghiệm đặt ẩn phụ giải bất phương trình mũ bpt có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện:$x\ne 0$

BPT$\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{2}{x}}}+3.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{1}{x}}}.\frac{1}{3}>12\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{2}{x}}}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{1}{x}}}-12>0$

Đặt $t={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{1}{x}}}\left( t>0 \right)$ ta được${{t}^{2}}+t-12>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t>3 \\  {} t<-4\left( loai \right) \\ \end{array} \right.$

Với $t>3$$\Rightarrow {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{1}{x}}}>3\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{1}{x}}}>{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{-1}}\Leftrightarrow \frac{1}{x}<-1\Leftrightarrow \frac{1+x}{x}<0$

Lập bảng xét dấu ta được nghiệm của bất phương trình là $-1<x<0$

b) Ta có${{3}^{x}}+{{9.3}^{-x}}-10<0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} t={{3}^{x}} \\  {} {{t}^{2}}-10t+9<0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} t>0 \\  {} 1<t<9 \\ \end{array} \right.\Rightarrow 1<{{3}^{x}}<9\Leftrightarrow {{3}^{0}}<{{3}^{x}}<{{3}^{3}}\Leftrightarrow 0<x<2$

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện:$x\ne 0$. Khi đó chia cả 2 vế cho ${{4}^{\frac{1}{x}}}$ ta có: $\Leftrightarrow 6.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{\frac{2}{x}}}-13.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{\frac{1}{x}}}+6.\le 0$

$\to \left\{ \begin{array}  {} t={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{\frac{1}{x}}}>0 \\  {} 6{{t}^{2}}-13t+6\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} t>0 \\  {} \frac{2}{3}\le t\le \frac{3}{2} \\ \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left( \frac{2}{3} \right)\le {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{\frac{1}{x}}}\le \frac{3}{2}\Leftrightarrow -1\le \frac{1}{x}\le 1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} \frac{x+1}{x}\ge 0 \\  {} \frac{x-1}{x}\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x\le -1 \\  {} x\ge 1 \\ \end{array} \right.$

b) Ta có: ${{5.4}^{x}}+{{2.25}^{x}}-{{7.10}^{x}}\le 0\Leftrightarrow 5+2.{{\left( \frac{25}{4} \right)}^{x}}-7{{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}\le 0$

$\to \left\{ \begin{array}  {} t={{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}} \\  {} 2{{t}^{2}}-7t+5\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} t>0 \\  {} 1\le t\le \frac{5}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow 1\le {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}\le \frac{5}{2}\Leftrightarrow 0\le x\le 1$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[ 0;1 \right]$

Lời giải chi tiết

Đặt $t={{4}^{x}}\left( t>0 \right)$ ta có: ${{t}^{2}}-5t+4\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t\ge 4 \\  {} t\le 1 \\ \end{array} \right.$

Suy ra $\left[ \begin{array}  {} {{4}^{x}}\ge 4 \\  {} {{4}^{x}}\le 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x\ge 1 \\  {} x\le 0 \\ \end{array} \right.$

Kết hợp $\left\{ \begin{array}  {} x\in \mathbb{Z} \\  {} x\in \left( -20;20 \right) \\ \end{array} \right.$ $\Rightarrow$có 39 nghiệm. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Đặt $t={{3}^{x}}\left( t>0 \right)$ ta có $3{{t}^{2}}-10t+3\ge 0\Leftrightarrow \frac{1}{3}\le t\le 3\Rightarrow {{3}^{-1}}\le {{3}^{x}}\le 3\Leftrightarrow -1\le x\le 1$

Suy ra $S=\left[ -1;1 \right]\Rightarrow b-a=2$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: BPT$\Leftrightarrow {{3}^{2\left( x-1 \right)}}-{{4.3}^{x-1}}+3\le 0\xrightarrow{t={{3}^{x-1}}>0}{{t}^{2}}-4t+3\le 0\Leftrightarrow 1\le t\le 3$

Khi đó: ${{3}^{0}}\le {{3}^{x-1}}\le 3\Leftrightarrow 0\le x-1\le 1\Leftrightarrow 1\le x\le 2$

Kết hợp$x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\left\{ 1;2 \right\}\Rightarrow T=3$.  Chọn B.

Lời giải chi tiết

$\frac{{{2.3}^{x}}-{{2}^{x+2}}}{{{3}^{x}}-{{2}^{x}}}\le 1\Leftrightarrow \frac{{{2.3}^{x}}-{{4.2}^{x}}}{{{3}^{x}}-{{2}^{x}}}\le 1\Leftrightarrow \frac{2.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}-4}{{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}-1}\le 1\Leftrightarrow \frac{{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}-3}{{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}-1}\le 0$

$\xrightarrow{t={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}>0}\Leftrightarrow \frac{t-3}{t-1}\le 0\Leftrightarrow 1<t\le 3\Rightarrow 1<{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}\le 3\Leftrightarrow 0<x<{{\log }_{\frac{3}{2}}}3$

Kết hợp $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\left\{ 1;2 \right\}\Rightarrow T=3$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

BPT$\Leftrightarrow$${{\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}}+{{\left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}}\le 2$ Nhận xét$\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)\left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)=1$

Đặt$t={{\left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}}\left( t>0 \right)$ suy ra${{\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}}=\frac{1}{t}$

Ta có$t+\frac{1}{t}\le 2\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t+1\le 0\Leftrightarrow {{\left( t-1 \right)}^{2}}\le 0\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow 2x-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=0 \\  {} x=2 \\ \end{array} \right.$

Vậy nghiệm của BPT là: $x=0;x=2$. Chọn A.