Giải bất phương trình logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số - Bài tập có đáp án chi tiết

Giải bất phương trình logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số - Bài tập có đáp án

Bài tập trắc nghiệm giải BPT Logarit bằng cách đưa về cùng cơ số có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

a) ${{\log }_{5}}(1-2x)<1+{{\log }_{\sqrt{5}}}(x+1)$ (1)

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} 1-2x>0 \\  {} x+1>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x<\frac{1}{2} \\  {} x>-1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -1<x<\frac{1}{2}$

Khi đó (1) $\Leftrightarrow {{\log }_{5}}(1-2x)<{{\log }_{5}}5+2{{\log }_{5}}(x+1)\Leftrightarrow {{\log }_{5}}(1-2x)<{{\log }_{5}}\left[ 5{{(x+1)}^{2}} \right]$

$\Leftrightarrow 1-2x<5({{x}^{2}}+2x+1)\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}+12x-4>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x>\frac{-6+2\sqrt{14}}{5} \\  {} x<\frac{-6-2\sqrt{14}}{5} \\ \end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là $\frac{-6+2\sqrt{14}}{5}<x<\frac{1}{2}$

b) ${{\log }_{2}}(1-2{{\log }_{9}}x)<1$ (2)

Điều kiện $\left\{ \begin{array}  {} x>0 \\  {} 1-2{{\log }_{9}}x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x>0 \\  {} 1-{{\log }_{3}}x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x>0 \\  {} x<3 \\ \end{array} \right.\to 0<x<3$

(2) $\Leftrightarrow 1-2{{\log }_{9}}x<2\Leftrightarrow 1-{{\log }_{3}}x<2\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x>-1\Leftrightarrow x>\frac{1}{3}$

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình $\frac{1}{3}<x<3$

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện: ${{4}^{x}}-6>0\Leftrightarrow x>{{\log }_{4}}6$

Với $x>{{\log }_{4}}6$ ta có: ${{\log }_{x}}\left[ {{\log }_{2}}({{4}^{x}}-6) \right]\le 1\Leftrightarrow 0<{{\log }_{2}}({{4}^{x}}-6)\le x\Leftrightarrow 1<{{4}^{x}}-6<{{2}^{x}}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{4}^{x}}-{{2}^{x}}-6<0 \\  {} {{4}^{x}}>7 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -2<{{2}^{x}}<3 \\  {} x>{{\log }_{4}}7 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x<{{\log }_{2}}3 \\  {} x>{{\log }_{4}}7 \\ \end{array} \right.$

Vậy nghiệm của BPT là: ${{\log }_{4}}7<x<{{\log }_{2}}3$

b) ĐK: $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 1\ne x>0 \\  {} \frac{2x-1}{x-1}>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x>1 \\  {} 0<x<\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.$

TH1: Với x > 1: BPT $\Leftrightarrow \frac{2x-1}{x-1}>x\Leftrightarrow 2x-1>{{x}^{2}}-x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+1<0\Leftrightarrow \frac{3-\sqrt{5}}{2}<x<\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

Kết hợp suy ra nghiệm của BPT là $1<x<\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

TH2: Với $0<x<\frac{1}{2}$: BTP $\Leftrightarrow \frac{2x-1}{x-1}<x\Leftrightarrow 2x-1>{{x}^{2}}-x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+1<0\Leftrightarrow \frac{3-\sqrt{5}}{2}<x<\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

Kết hợp suy ra nghiệm của BPT là $\frac{3-\sqrt{5}}{2}<x<\frac{1}{2}$

Vậy nghiệm của BPT là : $x\in \left( \frac{3-\sqrt{5}}{2};\frac{1}{2} \right)\cup \left( 1;\frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)$

Lời giải chi tiết

a) ${{\log }_{_{5}}}({{4}^{x}}+144)-4{{\log }_{5}}2<1+{{\log }_{5}}({{2}^{x-2}}+1)$ (1).

$(1)\Leftrightarrow {{\log }_{_{5}}}({{4}^{x}}+144)-{{\log }_{5}}{{2}^{4}}<{{\log }_{5}}5+{{\log }_{5}}({{2}^{x-2}}+1)\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( \frac{{{4}^{x}}+144}{16} \right)<{{\log }_{5}}({{5.2}^{x-2}}+5)$

$\Leftrightarrow \frac{{{4}^{x}}+144}{16}<{{5.2}^{x-2}}+5\Leftrightarrow {{4}^{x}}-{{20.2}^{x}}+64<0\Leftrightarrow 4<{{2}^{x}}<16\to 2<x<4$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $2<x<4$.

b) ${{\log }_{x}}\left[ {{\log }_{3}}({{9}^{x}}-72) \right]\le 1$ (3)

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} x>0,x\ne 1 \\  {} {{9}^{x}}-72>0 \\  {} {{\log }_{3}}({{9}^{x}}-72)>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x>0,x\ne 1 \\  {} {{9}^{x}}-72>1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>{{\log }_{9}}73>1$, (*)

Với điều kiện (*) thì (3) $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}({{9}^{x}}-72)\le x\Leftrightarrow {{9}^{x}}-72\le {{3}^{x}}$

$\Leftrightarrow {{9}^{x}}-{{3}^{x}}-72\le 0\Leftrightarrow -8\le {{3}^{x}}\le 9\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{3}^{x}}\ge -8,\forall x \\  {} {{3}^{x}}\le 9 \\ \end{array} \right.$

Từ đó ta được $x\le 2$.

Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của bất phương trình là ${{\log }_{9}}73<x\le 2$

Nhận xét: Trong Bài tập trên, mặc dù cơ số chứa ẩn x nhưng do điều kiện ta xác định được ngay biểu thức vế trái đồng biến nên bài toán không phải chia 2 trường hợp.

Lời giải chi tiết

Ta có: BPT $\left\{ \begin{array}  {} {{x}^{2}}+2x-8>0 \\  {} {{x}^{2}}+2x-8\le {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-4}}=16 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left[ \begin{array}  {} x>2 \\  {} x<-4 \\ \end{array} \right. \\  {} {{x}^{2}}+2x-24\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left[ \begin{array}  {} x>2 \\  {} x<-4 \\ \end{array} \right. \\  {} -6\le x\le 4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} -6\le x<-4 \\  {} 2<x\le 4 \\ \end{array} \right.$

Kết hợp $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ BPT có 4 nghiệm nguyên. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Điều kiện $-1<x<\frac{1}{2}$.

Ta có: BPT $\Leftrightarrow {{\log }_{5}}(1-2x)-{{\log }_{5}}{{(x+1)}^{2}}<1\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\frac{(1-2x)}{{{(x+1)}^{2}}}<1\Leftrightarrow \frac{1-2x}{{{(x+1)}^{2}}}<5\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x>-\frac{2}{5} \\  {} x<-2 \\ \end{array} \right.$

Kết hợp $\left\{ \begin{array}  {} -2<x<-\frac{2}{5} \\  {} x\in \mathbb{Z} \\ \end{array} \right.\Rightarrow $BPT có 1 nghiệm nguyên. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{\log }_{2}}({{x}^{2}}+3x)\le 2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{x}^{2}}+3x>0 \\  {} {{x}^{2}}+3x\le 4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left[ \begin{array}  {} x>0 \\  {} x<-3 \\ \end{array} \right. \\  {} -4\le x\le 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} 0<x\le 1 \\  {} -4\le x<-3 \\ \end{array} \right.$

Vậy nghiệm của BPT là: $x\in \left[ -4;-3 \right)\cup \left( 0;1 \right]$

Kết hợp $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\left\{ -4;1 \right\}\Rightarrow T=-3$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{\log }_{5}}({{x}^{2}}-11x+43)<2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{x}^{2}}-11x+43>0 \\  {} {{x}^{2}}-11x+43<25 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow {{x}^{2}}-11x+18<0\Leftrightarrow 2<x<9$

Vậy nghiệm của BPT là: $2<x<9$

Kết hợp $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\left\{ 3;4;5;6;7;8 \right\}\Rightarrow $BPT có 6 nghiệm nguyên. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Điều kiện ${{x}^{2}}-4x+6>0\Leftrightarrow x\in \mathbb{R}$

Ta có: $lo{{g}_{\frac{1}{2}}}({{x}^{2}}-4x+6)>-2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+6<{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-2}}=4\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+2<0\Leftrightarrow 2-\sqrt{2}<x<2+\sqrt{2}$

Kết hợp $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\left\{ 1;2;3 \right\}\Rightarrow T=6$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{{{x}^{2}}+6x+9}{2(x+1)}<-{{\log }_{2}}(x+1)\Leftrightarrow -{{\log }_{2}}\frac{{{x}^{2}}+6x+9}{2(x+1)}<-{{\log }_{2}}(x+1)$

$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\frac{{{x}^{2}}+6x+9}{2(x+1)}>{{\log }_{2}}(x+1)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x+1>0 \\  {} \frac{{{x}^{2}}+6x+9}{2(x+1)}>x+1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x>-1 \\  {} {{(x+3)}^{2}}>2{{(x+1)}^{2}} \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x>-1 \\  {} {{x}^{2}}-2x-7<0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -1<x<1+2\sqrt{2}$

Kết hợp $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\left\{ 0;1;2;3 \right\}\Rightarrow T=6$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Vì $x=\frac{9}{4}$là một nghiệm của bất phương trình nên ${{\log }_{a}}\left[ {{\left( \frac{9}{4} \right)}^{2}}-\frac{9}{4}-2 \right]>{{\log }_{a}}\left[ {{\left( -\frac{9}{4} \right)}^{2}}+2.\frac{9}{4}+3 \right]$

$\Leftrightarrow {{\log }_{a}}\frac{13}{16}>{{\log }_{a}}\frac{201}{16}\Leftrightarrow {{\log }_{a}}\frac{201}{13}<0\Leftrightarrow 0<a<1$

Khi đó, bất phương trình đã cho $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{x}^{2}}-x-2>0 \\  {} {{x}^{2}}-x-2<-{{x}^{2}}+2x+3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left[ \begin{array}  {} x>2 \\  {} x<12 \\ \end{array} \right. \\  {} 2{{x}^{2}}-3x-5<0 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left[ \begin{array}  {} x>2 \\  {} x<-1 \\ \end{array} \right. \\  {} -1<x<\frac{5}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 2<x<\frac{5}{2}$. Chọn  D.

Lời giải chi tiết

ĐK: $\left\{ \begin{array}  {} x>0,x\ne \frac{1}{\sqrt{3}} \\  {} 5{{x}^{2}}-18x+16>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x>0,x\ne \frac{1}{\sqrt{3}} \\  {} \left[ \begin{array}  {} x>2 \\  {} x<\frac{8}{5} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x>2 \\  {} 0<x<\frac{8}{5},x\ne \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \end{array} \right.$

BPT$\Leftrightarrow $$lo{{g}_{\sqrt{3}x}}(5{{x}^{2}}-18x+16)>lo{{g}_{\sqrt{3}x}}3{{x}^{2}}\Leftrightarrow \left( \sqrt{3}x-1 \right)\left( 5{{x}^{2}}-18x+16-3{{x}^{2}} \right)>0$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{3}x-1 \right)\left( 2{{x}^{2}}-18x+16 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x>8 \\  {} \frac{1}{\sqrt{3}}<x<1 \\ \end{array} \right.$

Kết hợp ĐK: Vậy tập nghiệm của BPT là: $S=\left( \frac{\sqrt{3}}{3};1 \right)\cup \left( 8;+\infty  \right)$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 1\ne 3x-5>0 \\  {} 1\ne 6x-2>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x\ne 2 \\  {} x>\frac{5}{3} \\ \end{array} \right.$. Khi đó: $lo{{g}_{2}}(6x-2)>0$

Ta có: BPT $\Leftrightarrow \frac{lo{{g}_{2}}(6x-2)-2lo{{g}_{2}}(3x-5)}{lo{{g}_{2}}(3x-5)lo{{g}_{2}}(6x-2)}\ge 0\Leftrightarrow \frac{lo{{g}_{2}}(6x-2)-lo{{g}_{2}}{{(3x-5)}^{2}}}{lo{{g}_{2}}(3x-5)}\ge 0$ (1)

TH1: $lo{{g}_{2}}(3x-5)>0\Leftrightarrow x>2$ ta có:

(1) $\Leftrightarrow lo{{g}_{2}}(6x-2)\ge lo{{g}_{2}}{{(3x-5)}^{2}}\Leftrightarrow 6x-2\ge {{(3x-5)}^{2}}\Leftrightarrow 1\le x\le 3$

Kết hợp với điều kiện trong trường hợp này BPT có nghiệm $2<x\le 3$

TH2: $lo{{g}_{2}}(3x-5)<0\Leftrightarrow \frac{5}{3}<x<2$

(1) $\Leftrightarrow lo{{g}_{2}}(6x-2)\le lo{{g}_{2}}{{(3x-5)}^{2}}\Leftrightarrow 6x-2\le {{(3x-5)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x\ge 3 \\  {} x\le 1 \\ \end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện trong trường hợp này BPT vô nghiệm

Vậy nghiệm của BPT là: $x\in (2;3]\Rightarrow $ BPT có 1 nghiệm nguyên. Chọn A.