Giải bất phương trình logarit bằng Phương pháp đặt ẩn phụ - Bài tập có đáp án

Giải bất phương trình logarit bằng Phương pháp đặt ẩn phụ - Bài tập có đáp án

Ta sẽ làm tương tự như các dạng đặt ẩn phụ của phương trình nhưng lưu ý đến chiều biến thiên của hàm số.

Bài tập trắc nghiệm giải bất phương trình logarit có đáp án chi tiết

Lời giải

a) ĐK: $x>0;x\ne 1$

BPT $\Leftrightarrow 2{{\log }_{5}}x-\frac{3}{{{\log }_{5}}x}<1\Leftrightarrow \frac{2log_{5}^{2}x-{{\log }_{5}}x-3}{{{\log }_{5}}x}<0$

Đặt $t={{\log }_{5}}x\to \frac{2{{t}^{2}}-t-3}{t}<0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t<-1 \\  {} 0<t<\frac{3}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}  {} {{\log }_{5}}x<-1 \\  {} 0<{{\log }_{5}}x<\frac{3}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x<\frac{1}{5} \\  {} 1<x<5\sqrt{5} \\ \end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của BPT là: $S=\left( 0;\frac{1}{5} \right)\cup \left( 1;5\sqrt{5} \right)$

b) ĐK: $x>0$. Khi đó $log_{2}^{2}x-6{{\log }_{2}}x+8\le 0\Leftrightarrow 2\le {{\log }_{2}}x\le 4\Leftrightarrow 4\le x\le 16$

Vậy tập nghiệm của BPT là: $S=\left[ 4;16 \right]$

Lời giải

a) ĐK: $x>0$. Khi đó: BPT$\Leftrightarrow {{\log }_{7}}\sqrt{x}-\frac{1}{2}{{\log }_{\sqrt{7}}}x>2\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{\log }_{7}}x-{{\log }_{7}}x>2$

$\Leftrightarrow -\frac{1}{2}{{\log }_{7}}x>2\Leftrightarrow {{\log }_{7}}x<-4\Leftrightarrow 0<x<{{7}^{-4}}$

Vậy tập nghiệm của BPT là: $0<x<{{7}^{-4}}$

b) ĐK: $\left\{ \begin{array} {} x>0 \\ {} x\ne 1 \\  {} x\ne \frac{1}{2} \\ \end{array} \right.$. Khi đó: BPT $\Leftrightarrow {{\log }_{x}}2.\left( 2+{{\log }_{2}}x \right)>{{\log }_{2}}\left( 2x \right)=1+{{\log }_{2}}x$

Đặt $t={{\log }_{2}}x$ ta có: $\frac{1}{t}.\left( 2+t \right)>1+t\Leftrightarrow \frac{2+t-t\left( 1+t \right)}{t}>0\Leftrightarrow \frac{-{{t}^{2}}+2}{t}>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} 0<t<\sqrt{2} \\  {} t<-\sqrt{2} \\ \end{array} \right.$

Với $0<t<\sqrt{2}$ $\Rightarrow 0<{{\log }_{2}}x<\sqrt{2}\Leftrightarrow 1<x<{{2}^{\sqrt{2}}}$

Với $t<-\sqrt{2}$ $\Rightarrow {{\log }_{2}}x<-\sqrt{2}\Leftrightarrow 0<x<{{2}^{-\sqrt{2}}}$

Vậy tập nghiệm của BPT là: $x\in \left( 0;{{2}^{-\sqrt{2}}} \right)\cup \left( 1;{{2}^{\sqrt{2}}} \right)$

Lời giải

ĐK: $x>0,x\ne 1$

BPT $\Leftrightarrow $${{\log }_{2}}x+\frac{4}{{{\log }_{2}}x}-3<0\Leftrightarrow \frac{log_{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x+4}{{{\log }_{2}}x}<0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{\log }_{2}}x<0 \\  {} 1<{{\log }_{2}}x<3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x<1 \\  {} 2<x<8 \\ \end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của BPT là: $S=\left( 0;1 \right)\cup \left( 2;8 \right)$

Kết hợp $x\in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow $ BPT có 5 nghiệm nguyên. Chọn A.

Lời giải

ĐK: $x>0$. BPT $\Leftrightarrow log_{2}^{2}x-7{{\log }_{2}}x+6\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{\log }_{2}}x\ge 6 \\  {} {{\log }_{2}}x\le 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x\ge 64 \\  {} 0<x\le 2 \\ \end{array} \right.$

Kết hợp $\left\{ \begin{array}  {} x\in \mathbb{Z} \\  {} x<10 \\ \end{array} \right.\Rightarrow x=\left\{ 1;2 \right\}\Rightarrow T=3$. Chọn A.

Lời giải

Điều kiện: $x>0$. BPT$\Leftrightarrow log_{3}^{2}x-2\left( {{\log }_{3}}x+1 \right)-1\le 0$

$\Leftrightarrow log_{3}^{2}x-2{{\log }_{3}}x-3\le 0\Leftrightarrow -1\le {{\log }_{3}}x\le 3\Leftrightarrow \frac{1}{3}\le x\le 27$

Kết hợp $x\in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow $ $x=\left\{ 1;2;3;4...27 \right\}\Rightarrow T=1+2+...+27=\frac{28.27}{2}=378$(cấp số cộng có $\left\{ \begin{array}  {} {{u}_{1}}=1 \\  {} d=1 \\ \end{array} \right.$)

Chọn C.

Lời giải

Ta có BPT $\Leftrightarrow \sqrt{\frac{1}{2}{{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}+4x+2 \right)}+1>{{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}+4x+2 \right)$

Đặt  $t=\sqrt{\frac{1}{2}{{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}+4x+2 \right)}\left( t\ge 0 \right)$ ta có: $t+1>2{{t}^{2}}\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-t-1<0\Leftrightarrow \frac{-1}{2}<t<1$

Do đó $0\le {{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}+4x+2 \right)<2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 3{{x}^{2}}+4x+2\ge 1 \\  {} 3{{x}^{2}}+4x+2<9 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 3{{x}^{2}}+4x+1\ge 0 \\  {} 3{{x}^{2}}+4x-7<0 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left[ \begin{array}  {} x\ge -\frac{1}{3} \\  {} x\le -1 \\ \end{array} \right. \\  {} -\frac{7}{3}<x<1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} -\frac{1}{3}\le x<1 \\  {} -\frac{7}{3}<x\le -1 \\ \end{array} \right.$

Vậy nghiệm của BPT là $x\in \left[ -\frac{1}{3};1 \right)\cup \left( -\frac{7}{3};-1 \right]$

Kết hợp $x\in \mathbb{Z}$$\Rightarrow x=\left\{ 0;1;-2;-1 \right\}$ BPT có 4 nghiệm nguyên. Chọn C.

Lời giải

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} x-1>0 \\  {} {{\log }_{4}}\left( x-1 \right)\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x\ge 2$

BPT $\Leftrightarrow 2{{\log }_{4}}\left( x-1 \right)+3\sqrt{2{{\log }_{4}}\left( x-1 \right)}-4\le 0$. Đặt $t=2{{\log }_{4}}\left( x-1 \right),\left( t\ge 0 \right)$ ta có:

${{t}^{2}}+3t-4\le 0\Leftrightarrow -4\le t\le 1\Rightarrow 0\le t\le 1\Rightarrow 0\le {{\log }_{4}}\left( x-1 \right)\le \frac{1}{2}\Leftrightarrow 2\le x\le 3$

Kết hợp $x\in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow x=\left\{ 2;3 \right\}$ BPT có 2 nghiệm nguyên. Chọn A.

Lời giải

ĐK: $\left\{ \begin{array}  {} x>0 \\  {} x\ne \frac{-1}{8} \\ \end{array} \right.$. Đặt $t={{\log }_{2}}x$ta có: $\frac{{{t}^{2}}+3}{t+3}>2\Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}-2t-3}{t+3}>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t>3 \\  {} -3<t<-1 \\ \end{array} \right.$

+) Với $t>3$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x>3\Leftrightarrow x>8$

+) Với $-3<t<-1$ ta có: $-3<{{\log }_{2}}x<-1\Leftrightarrow \frac{1}{8}<x<\frac{1}{2}$

Vậy tập nghiệm của BPT là: $S=\left( \frac{1}{8};\frac{1}{2} \right)\cup \left( 8;+\infty  \right)$. Chọn C.