Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nào? Định nghĩa, tính chất lý thuyết chung

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nào? Định nghĩa, tính chất lý thuyết chung

I. Định nghĩa quan hệ vuông góc trong không gian

Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).

Định lý: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

II. Các tính chất

Tính chất 1: 

Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một đường thẳng a cho trước.

Tính chất 2: 

Có duy nhất một đường thẳng ∆ đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước.

Tính chất 3:

a) Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Tính chất 3 được viết gọn là:

-  $\left\{ \begin{array}  {} a//b \\  {} (P)\bot a \\ \end{array} \right.\Rightarrow (P)\bot b$

-  $\left\{ \begin{array}  {} a\bot (P) \\  {} b\bot (P) \\  {} a\ne b \\ \end{array} \right.\Rightarrow a//b$

Tính chất 4:

a) Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại.

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Tính chất 4 được viết gọn là:

– $\left\{ \begin{array}  {} (P)//(Q) \\  {} a\bot (P) \\ \end{array} \right.\Rightarrow a\bot (Q)$

– $\left\{ \begin{array}  {} a\bot (P) \\  {} b\bot (P) \\  {} (P)\ne (Q) \\ \end{array} \right.\Rightarrow (P)//(Q)$

Tính chất 5:

a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (P) thì cũng song song với a.

b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

Tính chất 5 được viết gọn là:

– $\left\{ \begin{array}  {} a//(P) \\  {} b\bot (P) \\ \end{array} \right.\Rightarrow a\bot b$

– $\left\{ \begin{array}  {} a\not\subset (P) \\  {} a\bot b \\  {} (P)\bot b \\ \end{array} \right.\Rightarrow a//(P)$

III. Định lý ba đường vuông góc

Định lý ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).

IV. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

 Định nghĩa: Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 90° (hình 1).

Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) (hình 2).

Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 90°.