Chú thích ${{V}_{1}}=$Thể tích cũ, ${{V}_{2}}=$Thể tích mới (dùng cho kỹ thuật chuyển đỉnh và đáy).
${{V}_{1}}={{V}_{2}}=\frac{1}{3}Bh.$
$\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{\frac{1}{3}.d\left( A;\left( P \right) \right).{{S}_{}}}{\frac{1}{3}.d\left( B;\left( P \right) \right).{{S}_{}}}=\frac{d\left( A;\left( P \right) \right)}{d\left( B;\left( P \right) \right)}=\frac{IB}{IA}.$
Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi)
$$;với ${{S}_{1}}$ là diện tích đáy cũ; ${{S}_{2}}$ là diện tích đáy mới
Chú ý:
$\frac{{{S}_{\Delta AMN}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\frac{\frac{1}{2}.AM.AN.\sin A}{\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A}=\frac{AM}{AB}.\frac{AN}{AC}.$
Công thức: $$
Lưu ý: Công thức chỉ áp dụng với khối chóp có đáy là tam giác nên trong nhiều trường hợp ta cần chia nhỏ các khối đa diện thành các hình chóp tam giác khác nhau rồi mới áp dụng.
Tỉ số thể tích của khối chóp tứ giác
Khi đó $$; với $\frac{S{A}'}{SA}.\frac{S{B}'}{SB}.\frac{S{C}'}{SC}=\frac{S{D}'}{SD}=k$.
Chú ý: Công thức trên đúng với đáy n giác.
Trường hợp đáy là hình bình hành (hay gặp)
Bài toán: Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt các cạnh $SA,SB,SC,SD$lần lượt tại ${A}',{B}',{C}',{D}'$sao cho $\frac{S{A}'}{SA}=x;\frac{S{B}'}{SB}=y;\frac{S{C}'}{SC}=z;\frac{S{D}'}{SD}=t.$
Khi đó $$ và $$
þ Kết quả 1:
Gọi V là thể tích khối lăng trụ, ${{V}_{1}}$ là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ, ${{V}_{2}}$ là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó: $$
Bài tập: Hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'\xrightarrow{{}}{{V}_{{A}'{B}'BC}}=\frac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}};{{V}_{{A}'{B}'ABC}}=\frac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$
þ Kết quả 2:
Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$cắt các đường thẳng $A{A}',B{B}',C{C}'$lần lượt tại $M,N,P$ (tham khảo hình vẽ bên). Tính tỉ số $\frac{{{V}_{ABC.MNP}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}$.
HD: Ta có ${{V}_{ABC.MNP}}={{V}_{M.ABC}}+{{V}_{A.BNPC}}$
Lại có ${{V}_{M.ABC}}=\frac{1}{3}.d\left( M;\left( ABC \right) \right).{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{AM}{A{A}'}.d\left( {A}';\left( ABC \right) \right).{{S}_{\Delta ABC}}$
$=\frac{1}{3}.\frac{AM}{A{A}'}.{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}\xrightarrow[{}]{}{{V}_{M.ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{AM}{A{A}'}.{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$
Và ${{S}_{BNPC}}=\frac{h}{2}.\left( BN+CP \right);$${{S}_{BC{C}'{B}'}}=\frac{h}{2}.\left( B{B}'+C{C}' \right)=h.B{B}'$
$\Rightarrow \frac{{{S}_{BNPC}}}{{{S}_{BC{C}'{B}'}}}=\frac{\frac{h}{2}.\left( BN+CP \right)}{h.B{B}'}=\frac{1}{2}\left( \frac{BN+CP}{B{B}'} \right)=\frac{1}{2}\left( \frac{BN}{B{B}'}+\frac{CP}{C{C}'} \right).$
Suy ra ${{V}_{A.BNPC}}=\frac{1}{3}.d\left( A;\left( BC{C}'{B}' \right) \right).{{S}_{BNPC}}$
$=\frac{1}{3}.d\left( A;\left( BC{C}'{B}' \right) \right).\frac{1}{2}\left( \frac{BN}{B{B}'}+\frac{CP}{C{C}'} \right).{{S}_{BC{C}'{B}'}}=\frac{1}{2}\left( \frac{BN}{B{B}'}+\frac{CP}{C{C}'} \right).{{V}_{A.BC{C}'{B}'}}$
Mà ${{V}_{A.BC{C}'{B}'}}=\frac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}\Rightarrow {{V}_{A.BNPC}}=\frac{1}{3}.\left( \frac{BN}{B{B}'}+\frac{CP}{C{C}'} \right).{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$
Vậy ${{V}_{ABC.MNP}}=\frac{1}{3}.\frac{AM}{A{A}'}.{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}+\frac{1}{3}.\left( \frac{BN}{B{B}'}+\frac{CP}{C{C}'} \right).{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}\Rightarrow \frac{{{V}_{ABC.MNP}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}=\frac{1}{3}\left( \frac{AM}{A{A}'}+\frac{BN}{B{B}'}+\frac{CP}{C{C}'} \right)$
Công thức tính nhanh $$
þ Kết quả 1:
Gọi V là thể tích khối hộp, ${{V}_{1}}$ là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp gồm hai đường chéo của hai mặt song song, ${{V}_{2}}$ là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp ở các trường hợp còn lại. Khi đó: $$
Bài tập: Hình hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\xrightarrow{{}}{{V}_{{A}'C'BD}}=\frac{1}{3}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}};{{V}_{{A}'{C}'{D}'D}}=\frac{1}{6}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}$
þ Kết quả 2:
Cho hình lăng trụ tam giác $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$cắt các đường thẳng $A{A}',B{B}',C{C}',D{D}'$lần lượt tại $M,N,P,Q$ (tham khảo hình vẽ bên).
Chứng minh rằng $\frac{AM}{A{A}'}+\frac{CP}{C{C}'}=\frac{BN}{B{B}'}+\frac{DQ}{D{D}'}$
và $\frac{{{V}_{ABCD.MNPQ}}}{{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}}=\frac{1}{2}\left( \frac{AM}{A{A}'}+\frac{CP}{C{C}'} \right)=\frac{1}{2}\left( \frac{BN}{B{B}'}+\frac{DQ}{D{D}'} \right)$
Gọi I là tâm hình vuông ABCD; ${I}'$ là tâm hình vuông ${A}'{B}'{C}'{D}'$.
Ta có: $\frac{AM}{A{A}'}+\frac{CP}{C{C}'}=\frac{AM+PC}{A{A}'}=\frac{2OI}{A{A}'};$
$\frac{BN}{B{B}'}+\frac{DQ}{D{D}'}=\frac{BN+DQ}{B{B}'}=\frac{2O{I}'}{B{B}'}\Rightarrow \frac{AM}{A{A}'}+\frac{CP}{C{C}'}=\frac{BN}{B{B}'}+\frac{DQ}{D{D}'}.$
Chia khối đa diện $ABCD.MNPQ$thành hai khối đa diện $ABC.MNP$ và $ACD.MPQ$;
Làm tương tự với thể tích khối lăng trụ tam giác;
Cộng thể tích hai khối đa diện $\Rightarrow \frac{{{V}_{ABC.MNP}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}=\frac{1}{4}\left( \frac{AM}{A{A}'}+\frac{CP}{C{C}'}+\frac{BN}{B{B}'}+\frac{DQ}{D{D}'} \right)$
Mà $\frac{AM}{A{A}'}+\frac{CP}{C{C}'}=\frac{BN}{B{B}'}+\frac{DQ}{D{D}'}\Rightarrow \frac{{{V}_{ABCD.MNPQ}}}{{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}}=\frac{1}{2}\left( \frac{AM}{A{A}'}+\frac{CP}{C{C}'} \right)=\frac{1}{2}\left( \frac{BN}{B{B}'}+\frac{DQ}{D{D}'} \right)$
Công thức tính nhanh
$$
TOÁN LỚP 12