Công thức tính chu kì tần số con lắc lò xo

LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Con lắc lò xo nằm ngang:

þ Xét một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ

cứng k, một đầu gắn chặt, đầu còn lại gắn vào vật nhỏ có

khối lượng m. Vật m có thể trượt trên mặt phẳng nằm

ngang không có ma sát.

Vị trí cân bằng của vật là vị trí của lò xo không biến dạng.

Kích thước cho vật dao động với biên độ A bằng cách kéo hoặc đẩy vậy ra vị trí cân bằng một đoạn nhỏ rồi buông tay. Tại thời điểm t bất kì, vật ở vi trí có li độ x như hình vẽ. Bỏ qua mọi ma sát, theo phương thẳng đứng thì trọng lực $\overrightarrow{P}$ và phản lực $\overrightarrow{N}$của mặt phẳng tác dụng vào vật bằng nhau, phương ngang chỉ còn lực đàn hồi của lò xo, lực này tác dụng vào vật làm cho vật chuyển động với gia tốc $a=x'',$theo định luật II của Niutơn ta có phương trình :

$F=-kx=ma=mx''=x''=-\frac{k}{m}x.$

Đặt $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$, ta được :$x''=-\frac{k}{m}x=-{{\omega }^{2}}x.$

Phương trình trên có nghiệm là :$x=Acos\left( \omega t+\varphi \right)$hoặc $x=A\sin \left( \omega t+\varphi \right)$

Do vậy dao động của vật trong con lắc lò xo là một dao động điều hòa.

Tần số góc của dao động là $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$.

Chu kì dao động : $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$và tần số dao động f $=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}.$

Các giá trị $\omega $, T, f chỉ phu thuộc vào khối lượng và độ cứng của lò xo, nó

không phụ thuộc vào cách kích thích và việc chọn gốc thời gian, mà sự

kích thích mạnh yếu khác nhau chỉ làm thay đổi biên độ A, việc chọn gốc

thời gian chỉ ảnh hưởng đến giá trị pha ban đầu $\varphi $.

1. Con lắc lò xo treo thẳng đứng :

þ Xét con lắc lò xo treo thẳng đứng

Độ biến dạng của lò xo ở vị trí cân bằng (VTCB) :$\Rho ={{F}_{dh}}\Rightarrow \Delta {{\ell }_{{}^\circ }}=\frac{mg}{k}$

Tần số góc :$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{g}{\Delta {{\ell }_{{}^\circ }}}}$

$\Rightarrow \Tau =2\pi \sqrt{\frac{k}{m}}=2\pi \sqrt{\frac{\Delta {{\ell }_{{}^\circ }}}{g}}$ ; f $=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{\Delta {{\ell }_{{}^\circ }}}}$

2. Con lắc lò xo treo nằm góc α

þ Xét con lắc lò xo được treo nằm góc α :$\Tau =2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{\Delta \ell }{g\sin \alpha }}$.

Với $\Delta \ell =\left| {{\ell }_{cb}}-{{\ell }_{{}^\circ }} \right|$( trong đó ${{\ell }_{{}^\circ }}$là chiều dài tự nhiên của con lắc lò xo).

þ Bài toán :

+) Nếu k không đổi thì $\left\{ \begin{array}{} \omega \sim \frac{1}{\sqrt{m}}\Rightarrow \frac{{{\omega }_{1}}}{{{\omega }_{2}}}=\sqrt{\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}} \\ {} \Tau \sim \sqrt{m}\Rightarrow \frac{{{\Tau }_{1}}}{{{\Tau }_{2}}}=\sqrt{\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}}=\frac{{{f}_{2}}}{{{f}_{1}}} \\ \end{array} \right.$

CLLX 1 có (k, m₁) $\Rightarrow $dao động với T₁, f₁

CLLX 2 có (k, m₂) $\Rightarrow $dao động với T₂, f₂

Ta có : CLLX 3 có $\left( k,{{m}_{1}}\pm {{m}_{2}} \right)\Rightarrow {{\Tau }^{2}}=\Tau _{1}^{2}\pm \Tau _{2}^{2};\frac{1}{{{f}^{2}}}=\frac{1}{f_{1}^{2}}+\frac{1}{f_{2}^{2}}.$

Tổng quát :$m=\alpha {{m}_{1}}+\beta {{m}_{2}}\Rightarrow {{\Tau }^{2}}=\alpha \Tau _{1}^{2}+\beta \Tau _{2}^{2}$

+) Nếu m không đổi thì : $\omega \sim \sqrt{k}\sim \frac{1}{\Tau }\sim f$hay $k\sim {{\omega }^{2}}\sim {{f}^{2}}\sim \frac{1}{{{\Tau }^{2}}}$

Nếu có : $k=\alpha {{k}_{1}}+\beta {{k}_{2}}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{f}^{2}}=\alpha f_{1}^{2}+\beta f_{2}^{2} \\ {} \frac{1}{{{\Tau }^{2}}}=\alpha \frac{1}{\Tau _{1}^{2}}+\beta \frac{1}{\Tau _{2}^{2}} \\ \end{array} \right..$