Công thức nguyên hàm từng phần – giải nhanh bài toán tìm nguyên hàm

Công thức nguyên hàm từng phần – giải nhanh bài toán tìm nguyên hàm

Nguyên hàm từng phần là gì?

Cho hai hàm số $u=u\left( x \right)$ và $v=v\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $K$ ta có công thức nguyên hàm từng phần: $\int{udv=uv-\int{vdu.}}$

Chú ý: Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần nếu nguyên hàm có dạng $I=\int{f\left( x \right).g\left( x \right)dx,}$ trong đó $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ.

Để tính nguyên hàm $\int{f\left( x \right).g\left( x \right)dx}$ từng phần ta làm như sau:

– Bước 1. Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=f\left( x \right) \\  {} dv=g\left( x \right)dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} du=f'\left( x \right)dx \\  {} v=G\left( x \right) \\ \end{array} \right.$ (trong đó $G\left( x \right)$ là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số $g\left( x \right)$)

– Bước 2. Khi đó theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

$\int{f\left( x \right).g\left( x \right)dx=f\left( x \right).G\left( x \right)-\int{G\left( x \right).f'\left( x \right)dx.}}$

Chú ý: Khi $I=\int{f\left( x \right).g\left( x \right)dx}$ và $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ ta đặt theo quy tắc đặt $u.$

Nhất log (hàm log, ln) – Nhì đa (hàm đa thức)

Tam lượng (hàm lượng giác) – Tứ mũ (hàm mũ)

Tức là hàm số nào đứng trước trong câu nói trên ta sẽ đặt $u$ bằng hàm đó. Bài tập:

• Nếu $f\left( x \right)$ là hàm log, $g\left( x \right)$ là một trong 3 hàm còn lại, ta sẽ đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=f\left( x \right) \\  {} dv=g\left( x \right)dx \\ \end{array} \right..$
• Tương tự nếu $f\left( x \right)$ là hàm mũ, $g\left( x \right)$ là hàm đa thức, ta sẽ đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=g\left( x \right) \\  {} dv=f\left( x \right)dx \\ \end{array} \right.$

Một số dạng nguyên hàm từng phần thường gặp.

@ Dạng 1: $I=\int{P\left( x \right)\ln \left( mx+n \right)dx,}$ trong đó $P\left( x \right)$ là đa thức.

Theo quy tắc ta đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=\ln \left( mx+n \right) \\  {} dv=P\left( x \right)dx \\ \end{array} \right..$

@ Dạng 2: $I=\int{P\left( x \right)\left[ \begin{array}  {} \sin x \\  {} \cos x \\ \end{array} \right]dx,}$ trong đó $P\left( x \right)$ là đa thức.

Theo quy tắc ta đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=P\left( x \right) \\  {} dv=\left[ \begin{array}  {} \sin x \\  {} \cos x \\ \end{array} \right]dx \\ \end{array} \right..$

@ Dạng 3: $I=\int{P\left( x \right){{e}^{ax+b}}dx,}$ trong đó $P\left( x \right)$ là đa thức

Theo quy tắc ta đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=P\left( x \right) \\  {} dv={{a}^{ax+b}}dx \\ \end{array} \right..$

@ Dạng 4: $I=\int{\left[ \begin{array}  {} \sin x \\  {} \cos x \\ \end{array} \right]{{e}^{x}}dx.}$

Theo quy tắc ta đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=\left[ \begin{array}  {} \sin x \\  {} \cos x \\ \end{array} \right] \\  {} dv={{e}^{x}}dx \\ \end{array} \right..$