Công thức cực trị của hàm bậc 4 - hàm trùng phương

CÔNG THỨC CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG GIẢI NHANH

Một số công thức tính cực đại cực tiểu hàm trùng phương

R Xét hàm số trùng phương $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ với hệ số $a\ne 0$.

Ta có: $y'=4a{{x}^{3}}+2bx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0\text{ } \\ {{x}^{2}}=\frac{-b}{2a} \\\end{matrix}. \right.$ Khi đó:

Hàm số có một cực trị $\Leftrightarrow \frac{-b}{2a}\ge 0\Leftrightarrow ab\ge 0.$

Hàm số có ba cực trị $\Leftrightarrow \frac{-b}{2a}<0\Leftrightarrow ab<0.$

Hàm số có một cực trị và cực trị là cực tiểu $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a>0 \\ b\ge 0 \\\end{matrix} \right..$

Hàm số có một cực trị và cực trị là cực đại $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a>0 \\ b\le 0 \\\end{matrix} \right..$

Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a>0 \\ b<0 \\\end{matrix} \right..$

Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a>0 \\ b>0 \\\end{matrix} \right..$

R Bài toán hàm trùng phương có ba cực trị tạo tam giác ABC (rất hay gặp)

Tìm điều kiện tồn tại ba điểm cực trị: $\frac{-b}{2a}>0\left( * \right)$

Với điều kiện (*) ta có \[y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0={{x}_{A}}\xrightarrow{{}}{{y}_{A}}\text{ } \\ {{x}_{2}}=\sqrt{\frac{-b}{2a}}={{x}_{B}}\xrightarrow{{}}{{y}_{B}} \\ {{x}_{3}}=-\sqrt{\frac{-b}{2a}}={{x}_{C}}\xrightarrow{{}}{{y}_{C}} \\\end{matrix} \right.,\] từ đó

\[A\left( 0;{{y}_{A}} \right);B\left( \sqrt{\frac{-b}{2a}};{{y}_{B}} \right);C\left( -\sqrt{\frac{-b}{2a}};{{y}_{C}} \right)\]

Do hàm chẵn với x nên các điểm B, C có ${{y}_{B}}={{y}_{C}}.$

Nhận xét: $A\in Oy,B;C$ đối xứng nhau qua Oy nên tam giác ABC luôn là tam giác cân tại A.

Ta xét một số tính chất cơ bản thường gặp của hàm số:

Tính chất 1: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

Tính chất 2: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.

Do tam giác ABC đã cân tại A nên chỉ có thể vuông cân tại đỉnh A. Khi đó ta có điều kiện $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0,(1)$ với $\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{\frac{-b}{2a}};{{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right);\overrightarrow{AC}=\left( -\sqrt{\frac{-b}{2a}};{{y}_{C}}-{{y}_{A}} \right)$

Từ đó (1)$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow \frac{b}{2a}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}=0$

Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán.

Ngoài ra ta cũng có thể dùng điều kiện Pitago cho tam giác cân ABC: $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\Leftrightarrow 2A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}$

Tính chất 3: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng ${{120}^{0}}.$

Tam giác ABC cân tại A nên $\overset\frown{BAC}={{120}^{0}}.$ Gọi H là trung điểm của $BC\Rightarrow H\left( 0;{{y}_{B}} \right).$

Ta có $\cos \overset\frown{HAB}=\frac{AH}{AB}\Leftrightarrow \cos {{60}^{0}}=\frac{AH}{AB}\Leftrightarrow AB=2AH\Leftrightarrow A{{B}^{2}}=4A{{H}^{2}},(3)$

với $\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{\frac{-b}{2a}};{{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right);\overrightarrow{AH}=\left( 0;{{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)$, từ đó (3) $\Leftrightarrow \frac{-b}{2a}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}=4{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}$

Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán.

Tính chất 4: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích $S={{S}_{o}}$ cho trước.

Gọi H là trung điểm của $BC\Rightarrow H\left( 0;{{y}_{B}} \right).$ Khi đó

${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AH.BC\Leftrightarrow 2{{S}_{o}}=AH.BC\Leftrightarrow 4S_{o}^{2}=A{{H}^{2}}.B{{C}^{2}},(4)$

với $\overrightarrow{BC}=\left( -2\sqrt{\frac{-b}{2a}};0 \right);\overrightarrow{AH}=\left( 0;{{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)$, từ đó (4) $\Leftrightarrow 4S_{o}^{2}={{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}.4\left( \frac{-b}{2a} \right)$

Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán.

Tính chất 5: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R cho trước.

Sử dụng công thức diện tích tam giác $S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}\Leftrightarrow R=\frac{AB.AC.BC}{4.\frac{1}{2}.AH.BC}\Leftrightarrow R=\frac{A{{B}^{2}}}{2AH}$

Giải phương trình trên ta được giá trị của m, đối chiếu với (*) cho ta kết luận cuối cùng.

Tính chất 6: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm $G\left( 0;\alpha \right)$ cho trước.

Ta có điều kiện trong trường hợp này là $\alpha =\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3}\Leftrightarrow {{y}_{A}}+2{{y}_{B}}=3\alpha $

Tính chất 7: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r cho trước.

Sử dụng công thức diện tích tam giác $S=p.r\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{1}{2}AH.BC}{\frac{AB+AC+BC}{2}}=\frac{AH.BC}{2AB+BC}$

Giải phương trình trên ta được giá trị của m, đối chiếu với (*) cho ta kết luận cuối cùng.

R Một số công thức tính nhanh liên quan đến cực trị của hàm trùng phương (tham khảo)

Xét hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ với $a\ne 0$ và hàm số có ba điểm cực trị.

Khi đó gọi $A\left( 0;c \right);B\left( \sqrt{\frac{-b}{2a}};-\frac{\Delta }{4a} \right);C\left( -\sqrt{\frac{-b}{2a}};-\frac{\Delta }{4a} \right)$ lần lượt là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $\Rightarrow AB=AC=\sqrt{\frac{{{b}^{4}}}{16{{a}^{2}}}-\frac{b}{2a}};BC=2\sqrt{-\frac{b}{2a}}$ với $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$.

Xét $\Delta ABC$ cân, đặt $\overset\frown{BAC}=\alpha $ ta có ${{\tan }^{2}}\frac{\alpha }{2}=-\frac{8a}{{{b}^{3}}}.$

Và diện tích $S=\frac{1}{4}.\frac{{{b}^{2}}}{\left| a \right|}.\sqrt{\frac{-b}{2a}}\Rightarrow {{S}^{2}}=\frac{-{{b}^{5}}}{32{{a}^{3}}},$ phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-\left( c+n \right)x+c.n=0$ với $n=\frac{2}{b}-\frac{\Delta }{4a}$.

Đồ thị hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\text{ }\left( ab<0 \right)$ có ba điểm cực trị $A\in Oy,B,C$ tạo thành

Bảng công tính nhanh tính đơn điệu của hàm số