Cách xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số phân thức chứa tham số m

Xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số phân thức chứa tham số m

Phương pháp giải bài toán tính đồng biến ngịch biến của hàm phân thức có m

Xét hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$. TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{-d}{c} \right\}$.

Ta có $y=\frac{ax+b}{cx+d}\Rightarrow {y}'=\frac{ad-bc}{{{\left( cx+d \right)}^{2}}}$.

Nếu $ad=bc$ thì hàm số đã cho suy biến thành hàm hằng. Do đó:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó $\Leftrightarrow ad-bc>0$.

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó $\Leftrightarrow ad-bc<0$.

Hàm số đồng biến trên miền $D=\left( i;j \right)\Leftrightarrow {y}'>0\text{ }\forall x\in \left( i;j \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} ad-bc>0 \\  {} \frac{-d}{c}\notin \left( i;j \right) \\ \end{array} \right.$.

Hàm số nghịch biến trên miền $D=\left( i;j \right)\Leftrightarrow {y}'<0\text{ }\forall x\in \left( i;j \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} ad-bc<0 \\  {} \frac{-d}{c}\notin \left( i;j \right) \\ \end{array} \right.$.

Bài tập xét tính đơn điệu của hàm số phân thức chứa tham số m có đáp án

Lời giải

a) TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2m \right\}$. Ta có: ${y}'=\frac{-2m-1}{{{\left( x-2m \right)}^{2}}}$

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định khi ${y}'>0\text{ }\left( \forall x\in D \right)\Leftrightarrow -2m-1>0$

$\Leftrightarrow -2m>1\Leftrightarrow m<-\frac{1}{2}$.

b) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;-10 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m<-\frac{1}{2} \\  {} 2m\ge -10 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -5\le m<-\frac{1}{2}$.

Lời giải

a) TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$. Ta có: ${y}'=\frac{-m-m+2}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}=\frac{-2m+2}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}$

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định khi $-2m+2<0\Leftrightarrow 2m>2\Leftrightarrow m>1$

b) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 5;+\infty  \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m>1 \\  {} m\le 5 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow 1<m\le 5$.

Lời giải

Ta có: ${y}'=\frac{{{m}^{2}}-4m}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}$. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng xác định $\Leftrightarrow {y}'<0\text{ }\left( \forall x\ne -m \right)$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m<0\Leftrightarrow 0<m<4\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m=1,\text{ }m=2,\text{ }m=3$. Chọn D.

Lời giải

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$. Ta có: ${y}'=\frac{-{{m}^{2}}+16}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}$. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định

$\Leftrightarrow {y}'>0\text{ }\left( \forall x\in D \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}+16>0\text{ }\left( \forall x\subset D \right)\Leftrightarrow -4<m<4$.

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -3;-2;-1;0;1;2;3 \right\}\Rightarrow $ có 7 giá trị của tham số m. Chọn B.

Lời giải

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{m}{2} \right\}$. Ta có: ${y}'=\frac{-{{m}^{2}}+8}{{{\left( 2x-m \right)}^{2}}}$. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định

$\Leftrightarrow {y}'>0\text{ }\left( \forall x\in D \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}+8>0\text{ }\Leftrightarrow -2\sqrt{2}<m<2\sqrt{2}.$

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}\Rightarrow $ có 5 giá trị của tham số m. Chọn D.

Lời giải

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -m \right\}$. Ta có: ${y}'=\frac{m\left( m+1 \right)-20}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}$.

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $\Leftrightarrow {y}'>0\text{ }\left( \forall x\in D \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-20>0\Leftrightarrow -5<m<4$.

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -4;-3;-2;-1;0;1;2;3 \right\}\Rightarrow $ có 8 giá trị của tham số m. Chọn A.

Lời giải

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$. Ta có: ${y}'=\frac{-{{m}^{2}}+5m-4}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}$.

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $\Leftrightarrow {y}'<0\text{ }\left( \forall x\in D \right)\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+5m-4<0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m>4 \\  {} m<1 \\ \end{array} \right.$.Kết hợp  .

Tổng các phần tử của tập hợp S bằng  . Chọn B.

Lời giải

Với $m=0\Rightarrow y=\frac{-1}{2}$ không thỏa mãn yêu cầu.

Với $m\ne 0$. TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{2}{m} \right\}$. Ta có: ${y}'=\frac{-3m}{{{\left( mx-2 \right)}^{2}}}$.

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $\Leftrightarrow {y}'<0\text{ }\forall x\in D\Leftrightarrow -3m<0\Leftrightarrow m>0$.

Vậy có 10 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu. Chọn A.

Lời giải

Với $m=0\Rightarrow y=\frac{x+1}{2}$ (thỏa mãn đồng biến trên khoảng xác định).

Với $m\ne 0$ khi đó TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{-2}{m} \right\}$. Ta có: ${y}'=\frac{2-m\left( m+1 \right)}{{{\left( mx+2 \right)}^{2}}}$.

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định $\Leftrightarrow {y}'>0\text{ }\left( \forall x\in D \right)\Leftrightarrow -{{m}^{2}}-m+2>0\Leftrightarrow -2<m<1$.

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ -1;0 \right\}$. Chọn A.

Lời giải

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;-10 \right)$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {y}'=\frac{5m-2}{{{\left( x+5m \right)}^{2}}}>0 \\  {} -5m\ge -10 \\ \end{array} \right.\left( \forall x\in \left( -\infty ;-10 \right) \right)$

$\Leftrightarrow \frac{2}{5}<m\le 2$. Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 1;2 \right\}$.

Vậy có hai giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.

Ví dụ 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số   nghịch biến trên khoảng  ? A. 3. B. Vô số. C. 4. D. 5..

Lời giải

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 10;+\infty  \right)$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {y}'=\frac{5m-6}{{{\left( x+5m \right)}^{2}}}<0 \\  {} -5m\le 10 \\ \end{array} \right.\left( \forall x\in \left( 10;+\infty  \right) \right)$

$\Leftrightarrow -2<m\le \frac{6}{5}$. Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ -2;-1;0;1 \right\}$.

Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.

Lời giải

Ta có: ${y}'=\frac{{{m}^{2}}-m-12}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{m}^{2}}-m-12<0 \\  {} -m\notin \left( -\infty ;0 \right) \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -3<m<4 \\  {} -m\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -3<m\le 0$. Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ -2;-1;0 \right\}$.

Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.

Lời giải

Ta có: ${y}'=\frac{{{m}^{2}}-m-20}{{{\left( x+m-1 \right)}^{2}}}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;+\infty  \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{m}^{2}}-m-20<0 \\  {} \left( 1-m \right)\notin \left( 0;+\infty  \right) \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -4<m<5 \\  {} 1-m\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 1\le m<5$. Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 1;2;3;4 \right\}$.

Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.

Lời giải

Ta có: ${y}'=\frac{-2m-7}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 2;+\infty  \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -2m-7<0 \\  {} m\notin \left( 2;+\infty  \right) \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m>\frac{-7}{2} \\  {} m\le 2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \frac{-7}{2}<m\le 2$.

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ -3;-2;-1;0;1;2 \right\}$$\Rightarrow $ có 6 giá trị nguyên của tham số m. Chọn D.

Lời giải

HD: Điều kiện: $x\ne -\frac{1}{2m}$. Ta có: ${y}'=\frac{{{m}^{2}}-10m}{{{\left( 2mx+1 \right)}^{2}}}$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 3;+\infty  \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {y}'<0 \\  {} -\frac{1}{2m}\le 3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{m}^{2}}-10m<0 \\  {} \frac{6m+1}{2m}\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 0<m<10 \\  {} \left[ \begin{array}  {} m>0 \\  {} m\le -\frac{1}{6} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0<m<10$

Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 \right\}\Rightarrow $Tổng các số nguyên là 45. Chọn D.