Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc 3 chứa tham số m - Tự Học 365

Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc 3 chứa tham số m

Cách xét tính đồng biến

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc 3 chứa tham số m trên R

Phương pháp giải bài toán đồng biến nghịch biến của hàm bậc 3 chứa tham số m

Xét tam thức bậc 2: $y=a{{x}^{2}}+bx+c\left( a\ne 0 \right)$ ta đã biết ở lớp 10

$y\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow a{{x}^{2}}+bx+c\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a>0 \\  {} \textΔ\le 0 \\ \end{array} \right.$.

$y\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow a{{x}^{2}}+bx+c\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a<0 \\  {} \textΔ\le 0 \\ \end{array} \right.$.

þ Xét bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số $y=a{{x}^{2}}+bx+c\left( a\ne 0 \right)$ đồng biến hoặc nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Ta có:

- Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow 3a{{x}^{2}}+2bx+c\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 3a>0 \\  {} {{{{\Delta }'}}_{{{y}'}}}\le 0 \\ \end{array} \right.$.

- Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow 3a{{x}^{2}}+2bx+c\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 3a<0 \\  {} {{{{\Delta }'}}_{{{y}'}}}\le 0 \\ \end{array} \right.$.

Chú ý:

§ Trong trường hợp hệ số a có chứa tham số m ví dụ: $y=\left( m-1 \right){{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+2x-3$ ta cần xét $a=0$ trước.

§ Số giá trị nguyên trên đoạn $\left[ a;b \right]$ bằng $b-a+1$.

Bài tập xét tính đơn điệu của hàm số bậc 3 có chứa tham số m đáp án chi tiết

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=2{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+6mx+2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=6{{x}^{2}}-6mx+6m$.

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=6>0 \\  {} \text{Δ'}=9{{m}^{2}}-36m\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0\le m\le 4$.

Kết hợp $m\in \mathbb{R}$ Þ có 5 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn C.

Ví dụ 2: [Trích đề thi THPT Quốc gia 2017] Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( 4m+9 \right)x+5$ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty  \right)$?

A. 4. B. 6. C. 7. D. 5.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=-3{{x}^{2}}-2mx+4m+9$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty  \right)$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$.$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{a}_{{{y}'}}}=-3<0 \\  {} {{{\text{Δ'}}}_{{{y}'}}}={{m}^{2}}+3\left( 4m+9 \right)\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -9\le m\le -3$.

Kết hợp $m\in \mathbb{R}$ Þ có 7 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn C.

Ví dụ 3: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x+2$. Số giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -20;20 \right]$ để hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ là:

A. 20. B. 19. C. 21. D. 23.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'={{x}^{2}}+4x+m+3$.

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=1>0 \\  {} {{{\text{Δ'}}}_{{{y}'}}}=4-\left( m+3 \right)<0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\ge 1$.

Kết hợp $\left\{ \begin{array}  {} m\in \mathbb{R} \\  {} m\in \left[ -20;20 \right] \\ \end{array} \right.$ Þ có 20 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn A.

Ví dụ 4: Số giá trị nguyên của tham số m đề hàm số $y=-2{{x}^{3}}-6\left( m+3 \right){{x}^{2}}+24mx+2$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là:

A. Vô số. B. 11. C. 7. D. 9.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=-6{{x}^{2}}-12\left( m+3 \right)x+24m=6\left[ -{{x}^{2}}-2\left( m+3 \right)+4m \right]$.

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=-1<0 \\  {} \text{Δ'}={{\left( m+3 \right)}^{2}}+4m\le 0 \\ \end{array} \right.$.

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+10m+9\le 0\Leftrightarrow -9\le m\le -1$

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ Þ có 9 giá trị của tham số m thỏa mãn đề bài. Chọn D.

Ví dụ 5: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số để hàm số $y=\frac{-1}{3}{{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}-2\left( m+6 \right)x+2$ nghịch biến trên tập xác định của nó. Tính tổng các phần tử của tập hợp S.

A. 4. B. 3. C. 0. D. 2.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=-{{x}^{2}}+4mx+2m+12$.

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=-1<0 \\  {} \text{Δ'}=4{{m}^{2}}-2m-12\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -\frac{3}{2}\le m\le 2$.

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -1;0;1;2 \right\}$ Þ Tổng các phần tử của tập hợp S là 2. Chọn D.

Ví dụ 6: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số để hàm số $y={{x}^{3}}-3\left( m-2 \right){{x}^{2}}+12x+1$ đồng biến trên tập xác định của nó. Tính tổng các phần tử của tập hợp S là:

A. 5. B. 10. C. 15. D. 6.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6\left( m-2 \right)x+12$.

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=3>0 \\  {} {{{\text{Δ'}}}_{{{y}'}}}=9{{\left( m-2 \right)}^{2}}-36\le 0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow 0\le m\le 4$.

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2;3;4 \right\}$ Þ Tổng các phần tử của tập hợp S là 10. Chọn B.

Ví dụ 7: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số để hàm số  $y=\frac{{{x}^{3}}}{3}+m{{x}^{2}}+4x+3$ luôn tăng trên $\mathbb{R}$. Số phần tử của tập hợp S là:

A. 0. B. 3. C. 4. D. 5.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'={{x}^{2}}+2mx+4$.

.Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=1>0 \\  {} {{{\text{Δ'}}}_{{{y}'}}}={{m}^{2}}-4\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -2\le m\le 2$.

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}$ Þ Số phần tử của tập hợp S là 5. Chọn D.

Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=\frac{1}{3}\left( m+2 \right){{x}^{3}}-\left( m+2 \right){{x}^{2}}+\left( m-8 \right)x+{{m}^{2}}-1$ luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

A. $-2<m<1$. B. $m<-2$. C. $m\le 1$. D. $m\le -2$.

Lời giải chi tiết

Với $m=-2$ ta có $y=-10x+3$ (hàm số này luôn nghịch  biến trên $\mathbb{R}$).

Với $m\ne -2$ ta có ${y}'=\left( m+2 \right){{x}^{2}}-2\left( m+2 \right)x+m-8$.

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m+2<0 \\  {} {{{\text{Δ'}}}_{{{y}'}}}={{\left( m+2 \right)}^{2}}-\left( m+2 \right)\left( m-8 \right)\le 0 \\ \end{array} \right.$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m<-2 \\  {} \left( m+2 \right)\left( 9-m \right)\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m<-2$

Kết hợp cả hai trường hợp.  Chọn D.

Ví dụ 9: [Đề thi tham khảo Bộ GD{}ĐT năm 2017] Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số $y=\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}-x+4$  nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty  \right)$?

A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.

Lời giải chi tiết

Với $m=1\Rightarrow y=-x+4$ hàm số nghịch  biến trên $\left( -\infty ;+\infty  \right)$.

Với $m=-1\Rightarrow y=-2{{x}^{2}}-x+4$ không thỏa mãn nghịch biến trên $\left( -\infty ;+\infty  \right)$.

Với $m\ne \pm 1\Rightarrow {y}'=3\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-1$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;+\infty  \right)$

$\Leftrightarrow {y}'\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left( {{m}^{2}}-1 \right)<0 \\  {} {{{\text{Δ'}}}_{{{y}'}}}={{\left( m-1 \right)}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)\le 0 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -1<m<1 \\  {} 2\left( m-1 \right)\left( 2m+1 \right)\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -\frac{1}{2}\le m\le 1$

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=0,\text{ }m=1$. Chọn A.

.Ví dụ 10: Hàm số $y=\frac{m}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x+m$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì giá trị m nhỏ nhất là

A. $m=1$. B. $m=-2$. C. $m=-4$. D. $m=0$.

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $y=\frac{m}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x+m$ với $x\in \mathbb{R}$, ta có ${y}'=m{{x}^{2}}-4x+m+3$.

Để hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=m>0 \\  {} {{{\text{Δ'}}}_{{{y}'}}}\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m>0 \\  {} 4-m\left( m+3 \right)\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\ge 1$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của m là 1. Chọn A.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12