Cách xét tính đơn điệu của hàm số bậc 3 trên D có chứa tham số m

Xét tính đơn điệu của hàm số bậc 3 trên D có chứa tham số m

Phương pháp giải bài toán đơn điệu trên D của hàm bậc 3

þ Xét bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số $y=f\left( x;m \right)$ đồng biến hoặc nghịch biến trên D (trong đó D là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng, nửa đoạn).

Phương pháp giải: Xét hàm số $f\left( x;m \right)$ ta tính ${y}'={f}'\left( x;m \right)$. Hàm số đồng biến trên D ⇔ ${y}'\ge 0\text{ }\left( \forall x\in D \right)$. Hàm số nghịch biến trên D ⇔ ${y}'\le 0\text{ }\left( \forall x\in D \right)$. Cô lập tham số m và đưa bất phương trình ${y}'\ge 0$ hoặc ${y}'\le 0$ về dạng $m\ge f\left( x \right)$ hoặc $m\le f\left( x \right)$. Sử dụng tính chất: § Bất phương trình: $m\ge f\left( x \right)\text{ }\forall x\in D\Leftrightarrow m\ge \underset{D}{\mathop{Max}}\,f\left( x \right)$. § Bất phương trình: $m\le f\left( x \right)\text{ }\forall x\in D\Leftrightarrow m\le \underset{D}{\mathop{Min}}\,f\left( x \right)$.

Chú ý: Với hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{ }\left( a\ne 0 \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng $\left( a;b \right)$ thì nó đồng biến trên đoạn $\left[ a;b \right]$.

Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số các bạn xem chủ đề GTLN, GTNN của hàm số.

Lưu ý bất đẳng thức Cosi (AM – GM): Cho các số thực không âm ${{a}_{1}},\text{ }{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$ thì ta có:

${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}>n\sqrt[n]{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}$.

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {{a}_{1}}={{a}_{2}}=...={{a}_{n}}$.

Với hàm số lượng giác $F\left( x \right)=a\operatorname{sinx}+b\cos x+c$ thì $\left\{ \begin{array}  {} MaxF\left( x \right)=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+c \\  {} MinF\left( x \right)=-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+c \\ \end{array} \right.$.

Bài tập xét tính đồng biến nghịch biến của hàm bậc 3 có đáp án

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+1$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty  \right)$.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6x+m$.

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty  \right)$ $\Leftrightarrow {y}'=3{{x}^{2}}-6x+m\ge 0\text{ }\forall x\in \left( 0;+\infty  \right)$

$\Leftrightarrow m\ge -3{{x}^{2}}+6x=g\left( x \right)\left( \forall x\in \left( 0;+\infty  \right) \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)$

Mặt khác ${g}'\left( x \right)=-6x+6=0\Leftrightarrow x=1$. Ta có $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0;\text{ }\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=-\infty ;\text{ }g\left( 1 \right)=3$.

Do vậy $\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=+\infty$. Do đó $m\ge 3$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2: Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3mx-1$. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 0;+\infty  \right)$.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=-3{{x}^{2}}+6x+3m$.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 0;+\infty  \right)$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\text{ }\forall x\subset \left( 0;+\infty  \right)$

$\Leftrightarrow m\le {{x}^{2}}-2x=g\left( x \right)\text{ }\forall x\in \left( 0;+\infty  \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)$

Xét $g\left( x \right)={{x}^{2}}-2x\left( x\in \left( 0;+\infty  \right) \right)$ ta có: ${g}'\left( x \right)=2x-2=0\Leftrightarrow x=1$

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0;\text{ }\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=+\infty ;\text{ }g\left( 1 \right)=-1$ nên $\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=-1$

Do đó $m\le -1$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-mx+1$. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn $\left[ -2;0 \right]$.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'={{x}^{2}}+2x-m$.

Hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn $\left[ -2;0 \right]$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left[ -2;0 \right] \right)$

$\Leftrightarrow m\ge {{x}^{2}}+2x=g\left( x \right)\left( \forall x\in \left[ -2;0 \right] \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ -2;0 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)$

Mặt khác ${g}'\left( x \right)=2x+2=0\Leftrightarrow x=-1$

Lại có $g\left( -2 \right)=0;\text{ }g\left( 0 \right)=0;\text{ }g\left( -1 \right)=-1$. Do vậy $\underset{\left[ -2;0 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=0$

Vậy $m\ge 0$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 4: [Đề thi tham khảo của Bộ GD{}ĐT năm 2019]: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=-{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+\left( 4m-9 \right)x+4$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ là A. $\left( -\infty ;0 \right]$. B. $\left[ -\frac{3}{4};+\infty  \right)$. C. $\left( -\infty ;-\frac{3}{4} \right]$.              D. $\left[ 0;+\infty  \right)$.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=-3{{x}^{2}}-12x+4m-9$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ $\Leftrightarrow {y}'=-3{{x}^{2}}-12x+4m-9\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right) \right)$

$\Leftrightarrow 4m\le 3{{x}^{2}}+12x+9\left( \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right) \right)\Leftrightarrow \frac{4m}{3}\le {{x}^{2}}+4x+3\left( \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right) \right)\left( * \right)$

Xét $g\left( x \right)={{x}^{2}}+4x+3$ trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ ta có: ${g}'\left( x \right)=2x+4=0\Leftrightarrow x=-2$.

Ta tìm được $\underset{\left( -\infty ;-1 \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( -2 \right)=-1\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow \frac{4m}{3}\le -1\Leftrightarrow m\le -\frac{3}{4}$. Chọn C.

Ví dụ 5: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\left( m-2 \right){{x}^{2}}+\left( 2m+3 \right)x$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;3 \right)$?

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'={{x}^{2}}+2\left( m-2 \right)x+2m+3$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;3 \right)$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\left( \forall x\in \left[ 0;3 \right] \right)$ (Do hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ nên ta mở rộng ra đoạn $\left[ 0;3 \right]$).

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+3\le -2m\left( x+1 \right)\left( \forall x\in \left[ 0;3 \right] \right)\Leftrightarrow 2m\le \frac{-{{x}^{2}}+4x-3}{x+1}=g\left( x \right)\left( \forall x\in \left[ 0;3 \right] \right)$

$\Leftrightarrow 2m\le \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)$

Ta có: ${g}'\left( x \right)=\frac{-{{x}^{2}}-7x+7}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=0\xrightarrow{x\in \left[ 0;3 \right]}x=-1+2\sqrt{2}$

Mặt khác $g\left( 2\sqrt{2}-1 \right)=6-4\sqrt{2},\text{ }g\left( 0 \right)=-3,\text{ }g\left( 3 \right)=0$.

Do đó $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=-3\Rightarrow 2m\le -3\Leftrightarrow m\le -\frac{3}{2}$.

Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 20 để hàm số $y={{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+\left( m+2 \right)x+{{m}^{2}}$ đồng biến trên khoảng $\left( -1;+\infty  \right)$. A. 13. B. 14. C. 15. D. 16.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}+12x+m+2$

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -1;+\infty  \right)\Leftrightarrow {y}'\ge 0\left( \forall x\in \left[ -1;+\infty  \right) \right)$ (Do hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ nên ta có thể lấy $x\in \left[ -1;+\infty  \right)$).

$\Leftrightarrow g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+12x+2\ge -m\left( \forall x\in \left[ -1;+\infty  \right) \right)\Leftrightarrow \underset{\left[ -1;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)\ge -m\left( * \right)$

Ta có: ${g}'\left( x \right)=6x+12>0\left( \forall x\in \left[ -1;+\infty  \right) \right),\text{ }g\left( -1 \right)=-7$.

Suy ra $\left( * \right)\Leftrightarrow -7\ge -m\Leftrightarrow m\ge 7$.

Kết hợp $\left\{ \begin{array}  {} m<20 \\  {} m\in \mathbb{Z} \\

\end{array} \right.$ Þ có 13 giá trị của tham số m. Chọn A.

Ví dụ 7: Tìm tham số m để hàm số sau đồng biến trên $\left( 0;+\infty  \right):y={{x}^{3}}+mx-\frac{1}{3x}$. A. $m\le 1$  B. $m\le 0$ C. $m\ge -1$ D. $m\ge -2$

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}+m+\frac{1}{3{{x}^{2}}}$

Hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty  \right)\Leftrightarrow {y}'\ge 0\left( \forall x\in \left( 0;+\infty  \right) \right)\Leftrightarrow g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+\frac{1}{3{{x}^{2}}}\ge -m\left( \forall x\in \left( 0;+\infty  \right) \right)$.

$\Leftrightarrow \underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)\ge -m\left( * \right)$.

Theo BĐT AM – GM ta có: $3{{x}^{2}}+\frac{1}{3{{x}^{2}}}\ge 2\sqrt{3{{x}^{2}}.\frac{1}{3{{x}^{2}}}}=2$

Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow 2\ge -m\Leftrightarrow m\ge -2$. Chọn D.

Ví dụ 8: Tập hợp các giá trị của -m để hàm số $y=-m{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-3x+m-2$ nghịch biến trên $\left( -3;0 \right)$ là A. $\left[ -\frac{1}{3};+\infty  \right)$. B. $\left( -\frac{1}{3};+\infty  \right)$. C. $\left( -\infty ;-\frac{1}{3} \right)$.              D. $\left[ -\frac{1}{3};0 \right)$.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'={{\left( -m{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-3x+m-2 \right)}^{\prime }}=-3m{{x}^{2}}+2x-3$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -3;0 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {y}'\le 0 \\  {} x\in \left( -3;0 \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -3m{{x}^{2}}+2x-3\le 0 \\  {} x\in \left( -3;0 \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\ge \frac{2x-3}{3{{x}^{2}}}=f\left( x \right) \\  {} x\in \left( -3;0 \right) \\ \end{array} \right.$

Ta có ${f}'\left( x \right)={{\left( \frac{2x-3}{3{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{2\left( 3-x \right)}{3{{x}^{3}}}>0\left( \forall x\in \left( -3;0 \right) \right)\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -3;0 \right)$.

Do đó $\underset{\left( -3;0 \right)}{\mathop{f\left( x \right)}}\,<f\left( -3 \right)=-\frac{1}{3}\left( \forall x\in \left( -3;0 \right) \right)\Rightarrow m\ge -\frac{1}{3}\Leftrightarrow m\in \left[ -\frac{1}{3};+\infty  \right)$. Chọn A.

Ví dụ 9: Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\left( m-1 \right){{x}^{2}}-\left( m-3 \right)x+2017m$ đồng biến trên các khoảng $\left( -3;-1 \right)$ và $\left( 0;3 \right)$ là đoạn $T=\left[ a;b \right]$. Tính ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$. A. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=10$. B. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=13$. C. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=8$.              D. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=5$.

Lời giải chi tiết

Ta có ${y}'={{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-\left( m-3 \right)$

Để hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -3;-1 \right)$ và $\left( 0;3 \right)$ thì ${y}'\ge 0$ với mọi $x\in \left( -3;-1 \right)$ và $x\in \left( 0;3 \right)$. Hay ${{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-\left( m-3 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x+3\ge m\left( 2x+1 \right)\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2x+1}\ge m$ với mọi $x\in \left( 0;3 \right)$ và $\frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2x+1}\le m$ với $x\in \left( -3;-1 \right)$.

Xét ${f}'\left( x \right)={{\left( \frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2x+1} \right)}^{\prime }}=\frac{2\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}\to {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=1 \\  {} x=-2 \\ \end{array} \right.$

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$, để $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;3 \right)$ thì $m\le 2$, để $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -3;-1 \right)$ thì $m\ge -1\Rightarrow m\in \left[ -1;2 \right]\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=5$. Chọn D.

Ví dụ 10: Để hàm số $y=-\frac{{{x}^{3}}}{3}+\left( a-1 \right){{x}^{2}}+\left( a+3 \right)x-4$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;3 \right)$ thì giá trị cần tìm của tham số a là A. $a<-3$. B. $a>-3$. C. $-3<a<\frac{12}{7}$. D. $a\ge \frac{12}{7}$.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=-{{x}^{2}}+2\left( a-1 \right)x+a+3$

Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;3 \right)$ thì ${y}'\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;3 \right) \right)$

$\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+2\left( a-1 \right)x+a+3\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;3 \right) \right)$

$\Leftrightarrow 2ax+a\ge {{x}^{2}}+2x-3\Leftrightarrow a\ge \frac{{{x}^{2}}+2x-3}{2x+1}\Leftrightarrow a\ge \underset{\left( 0;3 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\left( * \right)$.

Xét hàm số $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x-3}{2x+1}$ trên $\left( 0;3 \right)$.

Ta có: ${f}'\left( x \right)=\frac{2{{x}^{2}}+2x+8}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}>0\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;3 \right) \right)\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;3 \right)$.

Vậy $f\left( x \right)<f\left( 3 \right)=\frac{12}{7}$. Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow a\ge \frac{12}{7}$. Chọn D.

Ví dụ 11: Giá trị của tham số m sao cho hàm số $y={{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+1$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$ là A. $m\ge -1$. B. $m\le \frac{11}{9}$. C. $m\ge \frac{11}{9}$. D. $m\le -1$.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-4mx-m-1$

Hàm số nghịch biến biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-4mx-m-1\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left[ 0;2 \right] \right)$

$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-1\le m\left( 4x+1 \right)\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;2 \right) \right)\Leftrightarrow \frac{3{{x}^{2}}-1}{4x+1}\le m\left( \forall x\in \left[ 0;2 \right] \right)$.

Xét hàm số $g\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}-1}{4x+1}\text{ }\left( x\in \left[ 0;2 \right] \right)$.

Ta có: ${g}'\left( x \right)=\frac{6x\left( 4x+1 \right)-4\left( 3{{x}^{2}}-1 \right)}{{{\left( 4x+1 \right)}^{2}}}=\frac{12{{x}^{2}}+6x+4}{{{\left( 4x+1 \right)}^{2}}}>0\left( \forall x\in \left[ 0;2 \right] \right)$

$\Rightarrow g\left( x \right)$ đồng biến trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$

Ta có: $g\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}-1}{4x+1}\le \text{m }\left( \forall x\in \left[ 0;2 \right] \right)\Leftrightarrow m\ge g\left( 2 \right)=\frac{11}{9}$. Chọn C.

Ví dụ 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=2{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+2x$ đồng biến trên khoảng $\left( -2;0 \right)$. A. $m\ge -2\sqrt{3}$. B. $m\le 2\sqrt{3}$. C. $m\ge -\frac{13}{2}$. D. $m\ge \frac{13}{2}$.

Lời giải chi tiết

Cách 1: Ta có: ${y}'=6{{x}^{2}}-2mx+2$

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -2;0 \right)\Leftrightarrow {y}'\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -2;0 \right) \right)$.

$\Leftrightarrow mx\le 3{{x}^{2}}+1\text{ }\left( \forall x\in \left( -2;0 \right) \right)\Leftrightarrow m\ge 3x+\frac{1}{x}\text{ }\left( \forall x\in \left( -2;0 \right) \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( -2;0 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)$

Xét $f\left( x \right)=3x+\frac{1}{x}\text{ }\left( x\in \left( -2;0 \right) \right)$ ta có ${f}'\left( x \right)=3-\frac{1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{ }\left( loai \right) \\  {} x=-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \end{array} \right.$

Lại có $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty ;\underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{-13}{2},f\left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)=-2\sqrt{3}$

Vậy $m\ge -2\sqrt{3}$. Chọn A.

Cách 2: $f\left( x \right)=3x+\frac{1}{x}=-\left[ 3\left( -x \right)+\frac{1}{\left( -x \right)} \right]\le -2\sqrt{3}\Rightarrow \underset{\left( -2;0 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=-2\sqrt{3}$ khi $x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Ví dụ 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số $y={{x}^{3}}+mx-\frac{1}{5{{x}^{5}}}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty  \right)$? A. 5. B. 3. C. 0. D. 4.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}+m+\frac{1}{{{x}^{6}}}$

Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty  \right)\Leftrightarrow {y}'\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;+\infty  \right) \right)$

$\Leftrightarrow g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{6}}}\ge -m\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;+\infty  \right) \right)\Leftrightarrow \underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)\ge -m\left( * \right)$

Lại có: $g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{6}}}={{x}^{2}}+{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{6}}}\ge 4\sqrt[4]{{{x}^{2}}.{{x}^{2}}.{{x}^{2}}.\frac{1}{{{x}^{6}}}}=4$ (Bất đẳng thức AM – GM)

Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow -m\le 4\Leftrightarrow m\ge -4$.

Theo bài ta có $m\in \left\{ -4;-3;-2;-1 \right\}$. Chọn D.

Ví dụ 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y={{x}^{4}}-2\left( m-1 \right){{x}^{2}}+m-2$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)$. A. $m\le 1$. B. $m<1$. C. $m\le 2$. D. $m<2$.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-4\left( m-1 \right)x$

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-4\left( m-1 \right)x\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left[ 1;3 \right] \right)$ (Do hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ nên ta có thể lấy x trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$)

$\Leftrightarrow g\left( x \right)={{x}^{2}}\ge m-1\text{ }\left( \forall x\in \left[ 1;3 \right] \right)\Leftrightarrow \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)\ge m-1\Leftrightarrow 1\ge m-1\Leftrightarrow m\le 2$. Chọn C.

Ví dụ 15: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y={{x}^{4}}-{{m}^{2}}{{x}^{2}}+m$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;4 \right)$. A. $m\in \left( -2;2 \right)$. B. $m\in \left( 0;2 \right)$. C. $m\in \varnothing$.              D. $m\in \left\{ 0 \right\}$.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-2{{m}^{2}}x$

Do hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ nên nó đồng biến trên khoảng $\left( 0;4 \right)\Leftrightarrow {y}'\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left[ 0;4 \right] \right)$

$\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-2{{m}^{2}}x\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left[ 0;4 \right] \right)\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}\ge {{m}^{2}}\text{ }\left( \forall x\in \left[ 0;4 \right] \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}\le 0\Leftrightarrow m=0$. Chọn D.

Ví dụ 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\frac{2}{3}{{x}^{3}}-\left( 2m-3 \right){{x}^{2}}+2\left( {{m}^{2}}-3m \right)x+1$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)$? A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=2{{x}^{2}}-2\left( 2m-3 \right)x+2\left( {{m}^{2}}-3m \right)=2\left( x-m \right)\left[ x-\left( m-3 \right) \right]<0\Leftrightarrow m-3<x<m$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)\Leftrightarrow m-3\le 1\le 3\le m\Leftrightarrow 3\le m\le 4$.

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số $m=\left\{ 3;4 \right\}$. Chọn C.

Lời giải

Ta có ${y}'={{x}^{2}}-\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-m-2=\left[ x-\left( m-2 \right) \right]\left[ x-\left( m+1 \right) \right]$ .

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)\Leftrightarrow {y}'\le 0,\text{ }\forall x\in \left( 1;2 \right)\Leftrightarrow \left[ x-\left( m-2 \right) \right]\left[ x-\left( m+1 \right) \right]\le 0$.

$\Leftrightarrow m-2\le x\le m+1$

Với $x\in \left( 1;2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} x\ge 1\Rightarrow m-2\le 1\Leftrightarrow m\le 3 \\  {} x\le 2\Rightarrow m+1\ge 2\Leftrightarrow m\ge 1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow 1\le m\le 3$.

Suy ra có ba giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng
. Chọn D.

Ví dụ 18: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+4mx+4{{m}^{2}}+3}$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;2 \right)$. A. $m\le -1$. B. $m>-1$. C. $m\le 2$. D. $m>2$.

Lời giải

Hàm số xác định $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4mx+4{{m}^{2}}+3\ge 0\Leftrightarrow {{\left( x+2m \right)}^{2}}+3\ge 0$ (Luôn đúng).

Ta có ${f}'\left( x \right)={{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+4mx+4{{m}^{2}}+3} \right)}^{\prime }}=\frac{x+2m}{\sqrt{{{x}^{2}}+4mx+4{{m}^{2}}+3}}$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;2 \right)$, khi đó

${y}'\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;2 \right) \right)\Leftrightarrow \frac{x+2m}{\sqrt{{{x}^{2}}+4mx+4{{m}^{2}}+3}}\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;2 \right) \right)$

Suy ra $x+2m\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;2 \right) \right)\Leftrightarrow m\le -\frac{x}{2}\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;2 \right) \right)\Leftrightarrow m\le \frac{-2}{2}=-1$. Chọn A.

Ví dụ 19: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( 2m-1 \right)x+1$ nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2? A. $m=0,\text{ }m=2$. B. $m=1$. C. $m=0$. D. $m=2$.

Lời giải

Ta có ${y}'={{\left[ {{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( 2m-1 \right)x+1 \right]}^{\prime }}=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( 2m-1 \right)$.

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2  PT ${y}'=0$ là hai nghiệm ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2$.

Hàm số có hai cực trị, khi đó $\text{Δ'}\left( {{y}'} \right)>0\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-9\left( 2m-1 \right)>0\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 1$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}\text{+ }{{x}_{2}}=2m \\  {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=2m-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=4$

$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=4\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4\left( 2m-1 \right)=4\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-8m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=0 \\  {} m=2 \\ \end{array} \right.$. Chọn A.

Ví dụ 20: Tổng các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện để hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( 3-2m \right)x+m$ nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng $2\sqrt{5}$ là: A. $T=2$. B. $T=-2$. C. $T=-4$. D. $T=4$.

Lời giải

Ta có: ${y}'={{x}^{2}}-2mx+3-2m$.

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng $2\sqrt{5}$ khi phương trình ${{x}^{2}}-2mx+3-2m=0\left( * \right)$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2\sqrt{5}$

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khi $\text{Δ'}={{m}^{2}}+2m-3>0$

Theo định lí Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\  {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=3-2m \\ \end{array} \right.$

Ta có: $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=20\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=20\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+8m-12=20\left( t/m \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=-4 \\  {} m=2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow T=-2$. Chọn B.

Ví dụ 21: Xác định giá trị của b để hàm số $f\left( x \right)=\sin x-bx+c$ nghịch biến trên toàn trục số. A. $b\le 1$. B. $b<1$. C. $b>1$. D. $b\ge 1$.

Lời giải

Ta có: ${y}'=\cos x-b$. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \cos x-b\le 0\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow b\ge \cos x\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow b\ge 1$.

Chọn D.

Ví dụ 22: : Xác định giá trị của m để hàm số $f\left( x \right)=\sin 2x+mx+c$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. A. $m\ge 2$. B. $-2\le m\le 2$. C. $m>2$. D. $m\ge -2$.

Lời giải

Ta có: ${y}'=2\cos 2x+m$.

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,{y}'=-2+m\ge 0\Leftrightarrow m\ge 2$. Chọn A.

Ví dụ 23: Xác định giá trị của m để hàm số $y=m\sin x+\cos x+\left( m+1 \right)x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. A. $m\ge 0$. B. $-1\le m\le 1$. C. $m>1$. D. $m\ge -1$.

Lời giải

Ta có: ${y}'=m\cos x-\sin x+m+1$.Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$.

$\Leftrightarrow \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,{y}'=-\sqrt{{{m}^{2}}+1}+m+1\ge 0\Leftrightarrow m+1\ge \sqrt{{{m}^{2}}+1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\ge -1 \\  {} {{m}^{2}}+2m+1\ge {{m}^{2}}+1 \\ \end{array} \right.$

. Chọn A.

Ví dụ 24: Xác định giá trị của tham số m để hàm số $y=\left( m-3 \right)x-\left( 2m+1 \right)\cos x$ luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$. A. $-4\le m\le \frac{2}{3}$. B. $-4\le m\le 3$. C. $-1\le m\le \frac{2}{3}$. D. $-1\le m\le 3$.

Lời giải

Ta có: ${y}'=m-3+\left( 2m+1 \right)\sin x$. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$

$\Leftrightarrow \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,{y}'=m-3+\left| 2m+1 \right|\le 0\Leftrightarrow 3-m\ge \left| 2m+1 \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\le 3 \\  {} {{\left( 3-m \right)}^{2}}\ge {{\left( 2m+1 \right)}^{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\le 3 \\  {} 3{{m}^{2}}+10m-8\le 0 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow -4\le m\le \frac{2}{3}$. Chọn A.

Ví dụ 25: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y={{x}^{3}}-\left( 3m+6 \right){{x}^{2}}+\left( 3{{m}^{2}}+12m \right)x+{{m}^{2}}-m$ nghịch biến trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$. A. $0\le m\le 1$. B. $\left[ \begin{array}  {} m\ge 1 \\  {} m\le 0 \\ \end{array} \right.$. C. $-1\le m\le 1$.              D. $\left[ \begin{array}  {} m\ge 1 \\  {} m\le -1 \\ \end{array} \right.$..

Lời giải

Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6\left( m+2 \right)x+3\left( {{m}^{2}}+4m \right)=3\left( x-m \right)\left( x-m-4 \right);\text{ }{y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=m \\  {} x=m+4 \\ \end{array} \right.$.

Do đó phương trình ${y}'=0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt

Bảng biến thiên

Để hàm số nghịch biến trên $\left[ 1;3 \right]$ thì $\left\{ \begin{array}  {} m\le 1 \\  {} m+4\ge 3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\le 1 \\  {} m\ge -1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -1\le m\le 1$. Chọn C.

Ví dụ 26: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y={{x}^{3}}-6m{{x}^{2}}+\left( 12{{m}^{2}}-3 \right)x+m+3$ nghịch biến trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$. A. $-1\le m\le 1$. B. $\left[ \begin{array}  {} m\ge 1 \\  {} m\le -1 \\ \end{array} \right.$. C. $\left[ \begin{array}  {} m\ge \frac{1}{2} \\  {} m\le 0 \\ \end{array} \right.$. D. $0\le m\le \frac{1}{2}$.

Lời giải

Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-12mx+12{{m}^{2}}-3=3\left( x-2m+1 \right)\left( x-2m-1 \right);\text{ }{y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=2m+1 \\  {} x=2m-1 \\ \end{array} \right.$.

Do đó phương trình
 luôn có 2 nghiệm phân biệt

Bảng biến thiên

Để hàm số nghịch biến trên $\left[ 0;1 \right]$ thì $\left\{ \begin{array}  {} 2m-1\le 0 \\  {} 2m+1\ge 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\le \frac{1}{2} \\  {} m\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0\le m\le \frac{1}{2}$. Chọn D.

Ví dụ 27: Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ -20;20 \right]$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3\left( m-1 \right){{x}^{2}}-\left( 9{{m}^{2}}-6m \right)x+2m+1$ nghịch biến trên khoảng $\left( 2;4 \right)$ là: A. 17. B. 36. C. 19. D. 41.

Lời giải

Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6\left( m-1 \right)x-3m\left( 3m-2 \right)=3\left( x+m \right)\left[ x-\left( 3m-2 \right) \right]<0$

Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 2;4 \right)$ thì:

TH1: $-m\le 2<4\le 3m-2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\ge -2 \\  {} m\ge 2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\ge 2$.

TH2: $3m-2\le 2<4\le -m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\le -4 \\  {} m\le \frac{4}{3} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\le -4$.

Kết hợp $\left\{ \begin{array}  {} m\in \mathbb{Z} \\  {} m\in \left[ -20;20 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow$có 36 giá trị nguyên của m. Chọn B.

Ví dụ 28: Cho hàm số $y=2{{x}^{3}}-3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+6mx$. Số giá trị nguyên dương của m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty  \right)$ là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow {y}'=6\left( {{x}^{2}}-m\left( x+1 \right)x+m \right)\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 2;+\infty  \right) \right)$

$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x-m \right)\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 2;+\infty  \right) \right)\Leftrightarrow x\ge m\text{ }\left( \forall x\in \left( 2;+\infty  \right) \right)\Leftrightarrow 2\ge m$.

Kết hợp $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow m=\left\{ 1;2 \right\}$. Chọn B.

Ví dụ 29: Cho hàm số $y=2{{x}^{3}}-3\left( m+2 \right){{x}^{2}}+12mx+1$. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của $m\in \left[ -10;10 \right]$ để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( 3;+\infty  \right)$. Số phần tử của tập hợp S là A. 13. B. 14. C. 15. D. 16.

Lời giải

Ta có: ${y}'=6{{x}^{2}}-6\left( m+2 \right)x+12m\ge 0\text{ }\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x+2m\ge 0$.

Giả thiết $\Leftrightarrow \left( x-m \right)\left( x-2 \right)\ge 0\text{ }\left( \forall x>3 \right)\Leftrightarrow x-m\ge 0\text{ }\left( \forall x>3 \right)\Leftrightarrow x\ge m\text{ }\left( \forall x>3 \right)\Leftrightarrow 3\ge m$.

Kết hợp $\left\{ \begin{array}  {} m\in \mathbb{Z} \\  {} m\in \left[ -10;10 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow$có 14 giá trị của m. Chọn B.

Ví dụ 30: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x+1$. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của $m\in \left[ -20;20 \right]$ để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty  \right)$. Số phần tử của tập hợp S là A. 22. B. 19. C. 21. D. 20.

Lời giải

Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)$. Ta có: ${y}'\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+\left( {{m}^{2}}-1 \right)\ge 0$

$\Leftrightarrow \left( x-m-1 \right)\left( x-m+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x\ge m+1 \\  {} x\le m-1 \\ \end{array} \right.$.

Do vậy hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;m-1 \right]$ và $\left[ m+1;+\infty  \right)$

Để hàm số đã cho đồng biến trên x$\left( 0;+\infty  \right)\Leftrightarrow m+1\le 0\Leftrightarrow m\le -1$

.Kết hợp $\left\{ \begin{array}  {} m\in \mathbb{Z} \\  {} m\in \left[ -20;20 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow$có 20 giá trị nguyên của m. Chọn D.

Ví dụ 31: Cho hàm số $y=-{{x}^{4}}+4\left( 3m-2 \right){{x}^{2}}+2m+1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ -20;20 \right]$ để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$ A. 22. B. 23. C. 21. D. 20.

Lời giải

Ta có: ${y}'=-4{{x}^{3}}+8\left( 3m-2 \right)x$. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$.

$\Leftrightarrow -4{{x}^{3}}+8\left( 3m-2 \right)x\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;-2 \right) \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( 3m-2 \right)\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;-2 \right) \right)$

(Do $-4x\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;-2 \right) \right)$)

$\Leftrightarrow 2\left( 3m-2 \right)\le {{x}^{2}}\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;-2 \right) \right)\Leftrightarrow 2\left( 3m-2 \right)\le \underset{\left( -\infty ;-2 \right)}{\mathop{\min }}\,{{x}^{2}}=4\Leftrightarrow 3m-2\le 2\Leftrightarrow m\le \frac{4}{3}$.

Kết hợp $\left\{ \begin{array}  {} m\in \mathbb{Z} \\  {} m\in \left[ -20;20 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow$có 22 giá trị của m. Chọn A.

Ví dụ 32: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2\left( 2m+3 \right){{x}^{2}}+m-1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ -10;10 \right]$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;3 \right)$. A. 8. B. 7. C. 6. D. 5.

Lời giải

Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-4\left( 2m+3 \right)x$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;3 \right)$.

$\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-4\left( 2m+3 \right)x\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;3 \right) \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( 2m+3 \right)\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;3 \right) \right)$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le 2m+3\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;3 \right) \right)\Leftrightarrow 2m+3\ge 9\Leftrightarrow m\ge 3$

Kết hợp $\left\{ \begin{array}  {} m\in \mathbb{Z} \\  {} m\in \left[ -10;10 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow$có 8 giá trị của m. Chọn A.

Ví dụ 33: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-8\left( {{m}^{2}}-5 \right){{x}^{2}}+3m-1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ -10;10 \right]$ để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 3;+\infty  \right)$. A. 4. B. 5. C. 6. D. 7..

Lời giải

Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-8\left( {{m}^{2}}-5 \right)x$. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 3;+\infty  \right)$.

$\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-8\left( {{m}^{2}}-5 \right)x\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 3;+\infty  \right) \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}-5 \right)\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 3;+\infty  \right) \right)$.

$\Leftrightarrow 2\left( {{m}^{2}}-5 \right)\le {{x}^{2}}\text{ }\left( \forall x\in \left( 3;+\infty  \right) \right)\Leftrightarrow 2\left( {{m}^{2}}-5 \right)\le 9\Leftrightarrow {{m}^{2}}\le \frac{19}{2}$.

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 0;\pm 1;\pm 2;\pm 3 \right\}$. Chọn D.