Cách xác định điểm thuộc đồ thị hàm số liên quan đến yếu tố độ dài, khoảng cách - Tự Học 365

Cách xác định điểm thuộc đồ thị hàm số liên quan đến yếu tố độ dài, khoảng cách

Cách xác định điểm thuộc đồ thị hàm số liên quan đến yếu tố độ dài

Xác định điểm thuộc đồ thị hàm số: liên quan đến yếu tố độ dài, khoảng cách

Phương pháp giải bài toán xác định điểm thuộc đồ thị hàm số

Điểm M thuộc đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)\Rightarrow M\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)$.

§ Khoảng cách từ điểm M đến trục $Ox$ bằng: $d\left( M;Ox \right)=\left| f\left( {{x}_{0}} \right) \right|$.

§ Khoảng cách từ điểm M đến trục $Oy$ bằng: $d\left( M;Oy \right)=\left| {{x}_{0}} \right|$.

§ Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta :ax+by+c=0$ là: $d\left( M;\Delta \right)=\frac{\left| a{{x}_{0}}+b.f\left( {{x}_{0}} \right)+C \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$.

§ Khoảng cách giữa hai điểm MN bằng $\sqrt{{{\left( {{x}_{M}}-{{x}_{N}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{M}}-{{y}_{N}} \right)}^{2}}}$.

Bài tập trắc nghiệm đồ thị hàm số có đáp án

Bài tập 1: Cho hàm số: $y=\frac{x+2}{x-1}\left( C \right)$. Tìm điểm M thuộc $\left( C \right)$ sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng $y=-x$ bằng $\sqrt{2}$.

Lời giải chi tiết

Gọi $M\left( a;\frac{a+2}{a-1} \right)\in \left( C \right),\,\left( a\ne 1 \right).$

Khoảng cách từ M đến đường thẳng $y=-x$ là: $d=\frac{\left| a+\frac{a+2}{a-1} \right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| {{a}^{2}}+2 \right|=2\left| a-1 \right|$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} {{a}^{2}}-2a+4=0 \\ {{a}^{2}}+2a=0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2a=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=0\Rightarrow M\left( 0;-2 \right) \\ a=-2\Rightarrow M\left( -2;0 \right) \\\end{array} \right.$

Vậy tọa độ điểm M cần tìm là $M\left( 0;-2 \right)$ hoặc $M\left( -2;0 \right)$.

Bài tập 2: Cho hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}\left( C \right)$. Gọi M là điểm nằm trên đồ thị $\left( C \right)$ và $H,K$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các trục $Ox$ và $Oy$. Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn tứ giác $MHOK$ có diện tích bằng 2.

A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.

Lời giải chi tiết

Gọi $M\left( a;\frac{2a+1}{a-1} \right)\in \left( C \right)\,\left( a\ne 1 \right)$. Tứ giác $MHOK$ là hình chữ nhật.

Ta có: ${{S}_{MHOK}}=MH.MK=d\left( M;Ox \right).d\left( M;Oy \right)$

$=\left| a \right|.\left| \frac{2a+1}{a-1} \right|=\left| \frac{2{{a}^{2}}+a}{a-1} \right|=2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 2{{a}^{2}}+a=2a-2 \\ 2{{a}^{2}}+a=-2a+2 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 2{{a}^{2}}-a+2=0 \\ 2{{a}^{2}}+3a-2=0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=\frac{1}{2} \\ a=-2 \\\end{array} \right.$

Vậy $M\left( \frac{1}{2};4 \right)$ hoặc $M\left( -2:1 \right)$. Chọn C.

Bài tập 3: Cho hàm số $y=\frac{-x-1}{x-1}\left( C \right)$. Có bao nhiêu điểm $M\in \left( C \right)$ để khoảng cách từ M đến đường thẳng $\Delta :y=2x-1$ bằng $\frac{3}{\sqrt{5}}$.

A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.

Lời giải chi tiết

Gọi $M\left( a;\frac{-a-1}{a-1} \right)\in \left( C \right)\,\left( a\ne 1 \right)$. Ta có: $\Delta :2x-y-1=0\Rightarrow d\left( M;\Delta \right)=\frac{\left| 2a+\frac{a+1}{a-1}-1 \right|}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow \left| 2{{a}^{2}}-2a+2 \right|=3\left| a-1 \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 2{{a}^{2}}-2a+2=3a-3 \\ 2{{a}^{2}}-2a+2=-3a+3 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 2{{a}^{2}}-5a+5=0 \\ 2{{a}^{2}}+a-1=0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=\frac{1}{2} \\ a=-1 \\\end{array} \right.$

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.

Bài tập 4: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-2x+1$. Tìm tất cả các điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến trục tung bằng 1.

A. $M\left( 1;0 \right)$ hoặc $M\left( -1;2 \right)$. B. $M\left( 0;1 \right)$ hoặc $M\left( 2;-1 \right)$.

C. $M\left( 1;0 \right)$. D. $M\left( 2;-1 \right)$.

Lời giải chi tiết

Khoảng cách từ M đến trục tung bằng 1, suy ra $\left[ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{M}}=1\Rightarrow {{y}_{M}}=0 \\ {{x}_{M}}=-1\Rightarrow {{y}_{M}}=2 \\\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} M\left( 1;0 \right) \\ M\left( -1;2 \right) \\\end{array} \right.$

Chọn A.

Bài tập 5: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3x$ có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $K\left( 1;-3 \right)$. Biết điểm $M\left( x;y \right)$ trên $\left( C \right)$ thỏa mãn ${{x}_{M}}\ge -1$ và độ dài $KM$ nhỏ nhất. Tìm phương trình đường thẳng $OM$.

A. $y=2x.$ B. $y=-x.$ C. $y=\sqrt{3}x.$ D. $y=-2x.$

Lời giải chi tiết

Điểm $M\left( x;y \right)\in \left( C \right)\Rightarrow M\left( x;{{x}^{3}}-3x \right)$ với $x\ge -1$.

Ta có $\overline{KM}=\left( x-1;{{x}^{3}}-3x+3 \right)\Rightarrow KM=\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{x}^{3}}-3x+3 \right)}^{2}}}$. Đặt $f\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{x}^{3}}-3x+3 \right)}^{2}}.$

Xét hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -1;+\infty \right)$, ta có ${f}'\left( x \right)=2\left( x-1 \right)+6\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{3}}-3x+3 \right);\,\forall x\ge -1.$

Phương trình ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left( x-1 \right).\underbrace{\left[ 1+3\left( x+1 \right)\left( {{x}^{3}}-3x+3 \right) \right]}_{g\left( x \right)}=0\Leftrightarrow x=1$ vì $g\left( x \right)\ge 0;\,\forall x\ge -1.$

Giá trị nhỏ nhất của $f\left( x \right)$ bằng 1. Dấu$''=''$ xảy ra khi $x=1\Rightarrow M\left( 1;-2 \right)\Rightarrow \left( OM \right):y=-2x.$

Chọn D.

Bài tập 6: Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}\,\left( C \right)$. Tổng khoảng cách từ một điểm M trên $\left( C \right)$ đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

A. $2\sqrt{3}.$ B. $2.$ C. $4.$ D. $4\sqrt{3}.$

Lời giải chi tiết

Gọi điểm $M\left( a;\frac{2a-1}{a+1} \right)\in \left( C \right)$. Hai đường tiệm cận của $\left( C \right)$ là $x=-1$ và $y=2.$

Suy ra khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{d}_{1}}=d\left( M,x=-1 \right)=\left| a+1 \right| \\ {{d}_{2}}=d\left( M,y=2 \right)=\frac{3}{\left| a+1 \right|} \\\end{array}. \right.$

Khi đó tổng khoảng cách sẽ bằng $d={{d}_{1}}+{{d}_{2}}=\left| a+1 \right|+\frac{3}{\left| a+1 \right|}\ge 2\sqrt{\left| a+1 \right|.\frac{3}{\left| a+1 \right|}}=2\sqrt{3}.$

Chọn A.

Bài tập 7: Tìm tất cả những điểm thuộc trục hoành cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$.

A. $M\left( -1;0 \right).$ B. $M\left( 1;0 \right).$ C. $M\left( 2;0 \right).$ D. $M\left( 1;0 \right).$

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} x=0\Rightarrow y=2 \\ x=2\Rightarrow y=-2 \\\end{array} \right.\Rightarrow A\left( 0;2 \right);B\left( 2;-2 \right)$. Gọi $M\left( t;0 \right)$

Khi đó $M{{A}^{2}}=M{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{t}^{2}}+4={{\left( t-2 \right)}^{2}}+4\Leftrightarrow t=1\Rightarrow M\left( 1;0 \right)$.

Chọn D.

Bài tập 8: Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$ mà khoảng cách từ M đến trục $Oy$bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục $Ox$?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải chi tiết

Gọi $M\left( a;\frac{a+2}{a-1} \right)\left( a\ne 1 \right)\in $ đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $d\left( M;Oy \right)=\left| a \right|;d\left( M;Ox \right)=\left| \frac{a+2}{a-1} \right|$

Theo giả thiết ta có: $\left| \frac{a+2}{a-1} \right|=2\left| a \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{a+2}{a-1}=2a \\ \frac{a+2}{a-1}=-2a \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 2{{a}^{2}}-3a-2=0 \\ -2{{a}^{2}}+a-2=0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow a=2;a=-\frac{1}{2}$

Vậy có 2 điểm $A\left( 2;4 \right)$ và $B\left( -\frac{1}{2};-1 \right)$. Chọn C.

Bài tập 9: Tìm trên đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ những điểm $M$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận ngang của đồ thị.

A. $M\left( -4;\frac{7}{5} \right)$ hoặc $M\left( 2;5 \right)$. B. $M\left( 4;3 \right)$ hoặc $M\left( -2;1 \right).$

C. $M\left( 4;3 \right)$ hoặc $M\left( 2;5 \right).$ D. $M\left( -4;\frac{7}{5} \right)$ hoặc $M\left( -2;1 \right)$.

Lời giải chi tiết

Tiệm cận đứng: $x=1$. Tiệm cận ngang $y=2$. Gọi $M\left( a;\frac{2a+1}{a-1} \right)$

Khi đó: $d\left( M;TCN \right)=\left| \frac{2a+1}{a-1}-2 \right|=\frac{3}{\left| a-1 \right|},\,d\left( M;TCD \right)=\left| a-1 \right|.$

Theo bài ra ta có: $\left| a-1 \right|=3.\frac{3}{\left| a-1 \right|}\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=4\Rightarrow M\left( 4;3 \right) \\ a=-2\Rightarrow M\left( -2;1 \right) \\\end{array} \right..$

Chọn B.

Bài tập 10: Giả sử đường thẳng $d:x=a,a>0$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ tại một điểm duy nhất, biết khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng 1; ký hiệu $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tọa độ của điểm đó. Tìm ${{y}_{0}}$.

A. ${{y}_{0}}=-1.$ B. ${{y}_{0}}=5.$ C. ${{y}_{0}}=1.$ D. ${{y}_{0}}=2.$

Lời giải chi tiết

Gọi $M\left( a;\frac{2a+1}{a-1} \right)\,\left( a>0 \right)$ là điểm cần tìm. TCĐ của đồ thị hàm số đã cho là: $x=1$

Khi đó $d\left( M;x=1 \right)=1\Leftrightarrow \left| a-1 \right|=1\xrightarrow{a>0}a=2\Rightarrow {{y}_{0}}=\frac{2a+1}{a-1}=5$.

Chọn B.

Bài tập 11: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}\left( C \right)$. Gọi $M$ là điểm thuộc $\left( C \right)$ sao cho tích khoảng cách từ điểm $M$ đến trục $Ox$ và đến đường tiệm cận ngang bằng 6. Tổng hoành độ các điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng

A. $-1.$ B. $\frac{9}{2}.$ C. $8.$ D. $4.$

Lời giải chi tiết

Gọi $M\left( a;\frac{a+1}{a-2} \right)\left( a\ne 2 \right)$. TCĐ: $x=2$ và TCN: $y=1$

a) Ta có: $d\left( M;Ox \right)=\left| \frac{a+1}{a-2} \right|={{d}_{1}}$; $d\left( M;TCN:y=1 \right)=\left| \frac{a+1}{a-2}-1 \right|=\frac{3}{\left| a-2 \right|}={{d}_{2}}$

Theo bài ra ta có: ${{d}_{1}}{{d}_{2}}=\left| \frac{3\left( a+1 \right)}{{{\left( a-2 \right)}^{2}}} \right|=6\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{a+1}{{{\left( a-2 \right)}^{2}}}=2 \\ \frac{a+1}{{{\left( a-2 \right)}^{2}}}=-2 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 2{{a}^{2}}-9a+7=0 \\ 2{{a}^{2}}-7a+9=0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=1\Rightarrow M\left( 1;-2 \right) \\ a=\frac{7}{2}\Rightarrow M\left( \frac{7}{2};3 \right) \\\end{array} \right.$

Vậy $M\left( 1;-2 \right)$ hoặc $M\left( \frac{7}{2};3 \right)$ là các điểm cần tìm. Chọn B.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12