Điểm M thuộc đồ thị hàm số y=f(x)⇒M(x0;f(x0)).
§ Khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng: d(M;Ox)=|f(x0)|.
§ Khoảng cách từ điểm M đến trục Oy bằng: d(M;Oy)=|x0|.
§ Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ:ax+by+c=0 là: d(M;Δ)=|ax0+b.f(x0)+C|√a2+b2.
§ Khoảng cách giữa hai điểm MN bằng √(xM−xN)2+(yM−yN)2.
Bài tập 1: Cho hàm số: y=x+2x−1(C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y=−x bằng √2. |
Lời giải chi tiết
Gọi M(a;a+2a−1)∈(C),(a≠1).
Khoảng cách từ M đến đường thẳng y=−x là: d=|a+a+2a−1|√2=√2⇔|a2+2|=2|a−1|
⇔[a2−2a+4=0a2+2a=0⇔a2+2a=0⇔[a=0⇒M(0;−2)a=−2⇒M(−2;0)
Vậy tọa độ điểm M cần tìm là M(0;−2) hoặc M(−2;0).
Bài tập 2: Cho hàm số y=2x+1x−1(C). Gọi M là điểm nằm trên đồ thị (C) và H,K tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các trục Ox và Oy. Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn tứ giác MHOK có diện tích bằng 2. A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. |
Lời giải chi tiết
Gọi M(a;2a+1a−1)∈(C)(a≠1). Tứ giác MHOK là hình chữ nhật.
Ta có: SMHOK=MH.MK=d(M;Ox).d(M;Oy)
=|a|.|2a+1a−1|=|2a2+aa−1|=2⇔[2a2+a=2a−22a2+a=−2a+2⇔[2a2−a+2=02a2+3a−2=0⇔[a=12a=−2
Vậy M(12;4) hoặc M(−2:1). Chọn C.
Bài tập 3: Cho hàm số y=−x−1x−1(C). Có bao nhiêu điểm M∈(C) để khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ:y=2x−1 bằng 3√5. A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. |
Lời giải chi tiết
Gọi M(a;−a−1a−1)∈(C)(a≠1). Ta có: Δ:2x−y−1=0⇒d(M;Δ)=|2a+a+1a−1−1|√5=3√5
⇔|2a2−2a+2|=3|a−1|⇔[2a2−2a+2=3a−32a2−2a+2=−3a+3⇔[2a2−5a+5=02a2+a−1=0⇔[a=12a=−1
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.
Bài tập 4: Cho hàm số y=x3−2x+1. Tìm tất cả các điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến trục tung bằng 1. A. M(1;0) hoặc M(−1;2). B. M(0;1) hoặc M(2;−1). C. M(1;0). D. M(2;−1). |
Lời giải chi tiết
Khoảng cách từ M đến trục tung bằng 1, suy ra [xM=1⇒yM=0xM=−1⇒yM=2⇒[M(1;0)M(−1;2)
Chọn A.
Bài tập 5: Cho hàm số y=x3−3x có đồ thị (C) và điểm K(1;−3). Biết điểm M(x;y) trên (C) thỏa mãn xM≥−1 và độ dài KM nhỏ nhất. Tìm phương trình đường thẳng OM. A. y=2x. B. y=−x. C. y=√3x. D. y=−2x. |
Lời giải chi tiết
Điểm M(x;y)∈(C)⇒M(x;x3−3x) với x≥−1.
Ta có ¯KM=(x−1;x3−3x+3)⇒KM=√(x−1)2+(x3−3x+3)2. Đặt f(x)=(x−1)2+(x3−3x+3)2.
Xét hàm số f(x) trên đoạn [−1;+∞), ta có f′(x)=2(x−1)+6(x2−1)(x3−3x+3);∀x≥−1.
Phương trình f′(x)=0⇔(x−1).[1+3(x+1)(x3−3x+3)]⏟g(x)=0⇔x=1 vì g(x)≥0;∀x≥−1.
Giá trị nhỏ nhất của f(x) bằng 1. Dấu″=″ xảy ra khi x=1⇒M(1;−2)⇒(OM):y=−2x.
Chọn D.
Bài tập 6: Cho hàm số y=2x−1x+1(C). Tổng khoảng cách từ một điểm M trên (C) đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? A. 2√3. B. 2. C. 4. D. 4√3. |
Lời giải chi tiết
Gọi điểm M(a;2a−1a+1)∈(C). Hai đường tiệm cận của (C) là x=−1 và y=2.
Suy ra khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng {d1=d(M,x=−1)=|a+1|d2=d(M,y=2)=3|a+1|.
Khi đó tổng khoảng cách sẽ bằng d=d1+d2=|a+1|+3|a+1|≥2√|a+1|.3|a+1|=2√3.
Chọn A.
Bài tập 7: Tìm tất cả những điểm thuộc trục hoành cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x3−3x2+2. A. M(−1;0). B. M(1;0). C. M(2;0). D. M(1;0). |
Lời giải chi tiết
Ta có: y′=3x2−6x=0⇔[x=0⇒y=2x=2⇒y=−2⇒A(0;2);B(2;−2). Gọi M(t;0)
Khi đó MA2=MB2⇔t2+4=(t−2)2+4⇔t=1⇒M(1;0).
Chọn D.
Bài tập 8: Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số y=x+2x−1 mà khoảng cách từ M đến trục Oybằng hai lần khoảng cách từ M đến trục Ox? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. |
Lời giải chi tiết
Gọi M(a;a+2a−1)(a≠1)∈ đồ thị hàm số đã cho.
Ta có: d(M;Oy)=|a|;d(M;Ox)=|a+2a−1|
Theo giả thiết ta có: |a+2a−1|=2|a|⇔[a+2a−1=2aa+2a−1=−2a⇔[2a2−3a−2=0−2a2+a−2=0⇔a=2;a=−12
Vậy có 2 điểm A(2;4) và B(−12;−1). Chọn C.
Bài tập 9: Tìm trên đồ thị hàm số y=2x+1x−1 những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của đồ thị. A. M(−4;75) hoặc M(2;5). B. M(4;3) hoặc M(−2;1). C. M(4;3) hoặc M(2;5). D. M(−4;75) hoặc M(−2;1). |
Lời giải chi tiết
Tiệm cận đứng: x=1. Tiệm cận ngang y=2. Gọi M(a;2a+1a−1)
Khi đó: d(M;TCN)=|2a+1a−1−2|=3|a−1|,d(M;TCD)=|a−1|.
Theo bài ra ta có: |a−1|=3.3|a−1|⇔(a−1)2=9⇔[a=4⇒M(4;3)a=−2⇒M(−2;1).
Chọn B.
Bài tập 10: Giả sử đường thẳng d:x=a,a>0 cắt đồ thị hàm số y=2x+1x−1 tại một điểm duy nhất, biết khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng 1; ký hiệu (x0;y0) là tọa độ của điểm đó. Tìm y0. A. y0=−1. B. y0=5. C. y0=1. D. y0=2. |
Lời giải chi tiết
Gọi M(a;2a+1a−1)(a>0) là điểm cần tìm. TCĐ của đồ thị hàm số đã cho là: x=1
Khi đó d(M;x=1)=1⇔|a−1|=1a>0→a=2⇒y0=2a+1a−1=5.
Chọn B.
Bài tập 11: Cho hàm số y=x+1x−2(C). Gọi M là điểm thuộc (C) sao cho tích khoảng cách từ điểm M đến trục Ox và đến đường tiệm cận ngang bằng 6. Tổng hoành độ các điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng A. −1. B. 92. C. 8. D. 4. |
Lời giải chi tiết
Gọi M(a;a+1a−2)(a≠2). TCĐ: x=2 và TCN: y=1
a) Ta có: d(M;Ox)=|a+1a−2|=d1; d(M;TCN:y=1)=|a+1a−2−1|=3|a−2|=d2
Theo bài ra ta có: d1d2=|3(a+1)(a−2)2|=6⇔[a+1(a−2)2=2a+1(a−2)2=−2⇔[2a2−9a+7=02a2−7a+9=0⇔[a=1⇒M(1;−2)a=72⇒M(72;3)
Vậy M(1;−2) hoặc M(72;3) là các điểm cần tìm. Chọn B.
TOÁN LỚP 12