Vectơ $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu giá của $\overrightarrow{n}$ vuông góc với (α).
Nêu 2 vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ không cùng phương và giá của chúng song song với một mặt phẳng (α) (hoặc nằm trên (α)) thì vectơ $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right]$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).
Chú ý: Nếu $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) thì $k.\overrightarrow{n}\,\,(k\in \mathbb{R},k\ne 0)$ cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).
Bài tập: Nếu $\overrightarrow{n}=(2;4;6)$là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) thì ${{\overrightarrow{n}}_{1}}=(1;2;3)$ cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α). Trong quá trình tính toán ta nên chọn vectơ đơn giản nhất.
Mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( A;B;C \right)$ có phương trình tổng quát là $A\,(x-{{x}_{0}})+B\,(y-{{y}_{0}})+C\,(z-{{z}_{0}})=0.$
Mỗi mặt phẳng đều có phương trình tổng quát dạng Ax+ By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 > 0.
Ngược lại mỗi phương trình có dạng trên đều là phương trình của một mặt phẳng.
Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì vectơ $\overrightarrow{n}=(A;B;C\text{)}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).
Mặt phẳng (α) không đi qua gốc O, cắt trục Ox tại điểm $A\left( a;0;0 \right)$, cắt trục Oy tại điểm $B\left( 0;b;0 \right)$ và cắt trục Oz tại điểm $C\left( 0;0;c \right)$ có phương trình $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ (abc≠0).
Phương trình này được gọi là phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng (α).
• (P) đi qua ba điểm phân biệt A, B, C thì có vectơ pháp tuyến ${{\overrightarrow{n}}_{p}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]$
• (P) đi qua điểm A và song song với (Q) thì ta chọn cho ${{\overrightarrow{n}}_{p}}={{\overrightarrow{n}}_{Q}}$
• (P) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt (α), (β) thì $\left\{ \begin{array} {} {{\overrightarrow{n}}_{p}}\bot {{\overrightarrow{n}}_{\alpha }} \\ {} {{\overrightarrow{n}}_{p}}\bot {{\overrightarrow{n}}_{\beta }} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}{{\overrightarrow{n}}_{p}}=\left[ {{\overrightarrow{n}}_{\alpha }},\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]$
• (P) đi qua điểm A và song song với hai vectơ thì $\overrightarrow{a},\,\,\overrightarrow{b}$ thì $\left\{ \begin{array} {} {{\overrightarrow{n}}_{p}}\bot \overrightarrow{a} \\ {} {{\overrightarrow{n}}_{p}}\bot \overrightarrow{b} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}{{\overrightarrow{n}}_{p}}=\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right]$
• (P) đi qua điểm A, B và vuông góc với (α) thì $\left\{ \begin{array} {} {{\overrightarrow{n}}_{p}}\bot \overrightarrow{AB} \\ {} {{\overrightarrow{n}}_{p}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \\ \end{array} \right.\to {{\overrightarrow{n}}_{p}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right]$
TOÁN LỚP 12