Cách Viết phương trình mặt phẳng khi biết vectơ pháp tuyến

Cách Viết phương trình mặt phẳng khi biết vectơ pháp tuyến

Một số cách xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng hay gặp:

• $\left( P \right)$đi qua ba điểm phân biệt A, B, C thì có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]$
• $\left( P \right)$đi qua điểm A và song song với $\left( Q \right)$thì ta chọn cho $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\overrightarrow{{{n}_{Q}}}$
• $\left( P \right)$vuông góc với hai mặt phăng phân biệt $(\alpha ),(\beta )$thì $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \\ {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}};\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]$
• $\left( P \right)$song song với hai véc tơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$thì $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{a} \\ {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{b} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right]$
• $\left( P \right)$đi qua điểm A,B và vuông góc với $\left( \alpha \right)$ thì $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{AB} \\ {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right]$
• $\left( P \right)$song song với hai đường thẳng ${{d}_{1}};{{d}_{2}}$ thì $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d1}}} \\ {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d2}}} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d1}}};\overrightarrow{{{u}_{d2}}} \right]$
• $\left( P \right)$chứa đường thẳng d và vuông góc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thì $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right]$
• $\left( P \right)$chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng $\Delta $ thì $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]$

Các dạng bài tập trắc nghiệm viết phương trình mặt phẳng oxyz có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng cần tìm ta có: $\left( P \right)\bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 3;-2;1 \right).$

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$qua $M\left( 3;-1;1 \right)$ và có VTPT $\overrightarrow{n}\left( 3;-2;1 \right)$ là:

$\left( P \right):3\left( x-3 \right)2\left( y+1 \right)+1\left( z-1 \right)=0$hay $3x-2y+z12=0$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng cần tìm thì$\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\overrightarrow{BC}=\left( 3;-2;-3 \right)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A\left( 1;0;-2 \right)$ và có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=(3;-2;-3)\Rightarrow (P):3x-2y-3z-9=0$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng cần tìm ta có: $\left( P \right)//\left( \alpha \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\overrightarrow{{{n}_{(\alpha )}}}=\left( 3;-1;2 \right).$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $M\left( 3;-1;-2 \right)$ và có VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;-1;2)$ có phương trình là: $3x-y+2z-6=0$. Chọn A

Lời giải chi tiết

Ta có:$\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9\Rightarrow \left( S \right)$có tâm $I\left( 3;-2;1 \right)$ và bán kính $R=3$

VTCP của d là $\overrightarrow{u}=\left( 1;1;-5 \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua I và nhận $\overrightarrow{u}$ làm VTPT.

Phương trình $\left( P \right)$ là: $\left( P \right):1(x-3)+1(y+2)-5(z-1)=0$hay $\left( P \right):x+y-5z+4$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Gọi giao điểm của ${{d}_{1}}$ và $\left( P \right)$ là $M\left( 1+3t;-2+t;2 \right)\in {{d}_{1}}.$

Do $M\in \left( P \right)\Rightarrow 2+6t-4+2t-6=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow M(4;-1;2)$

Mặt phẳng $\left( Q \right)$cần tìm có: $\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=\left( 2;-1;2 \right)$

Do đó phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$là: $2x-y+2z-13=0$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có : $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;1;1 \right);\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 2;-1;4 \right)$

Do $\left\{ \begin{array} {} \left( \alpha \right)\bot \left( P \right) \\ {} \left( \alpha \right)\bot \left( Q \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \\ {} \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right]=(-3;6;-3)=-3(1;-2;1).$

Khi đó$\left( \alpha \right)$qua$A\left( 1;0;-4 \right)$ và có VTPT$(1;-2;1)\Rightarrow \left( \alpha \right):x-2y+z+3=0$ . Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có : $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;1;0 \right);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;-4;-3 \right)$

Do $\left\{ \begin{array} {} \left( \alpha \right)\bot \left( P \right) \\ {} \left( \alpha \right)//d \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \\ {} \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( -3;3;-6 \right)=-3(1;-1;2)$

Khi đó$\left( \alpha \right)$ qua $A\left( 1;2;0 \right)$và có VTPT$\left( 1;-1;2 \right)=>\left( \alpha \right):x-y+2z+1=0$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có : $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\overrightarrow{{{u}_{\left( {{d}_{1}} \right)}}}=\left( 1;1;1 \right);\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\overrightarrow{{{u}_{\left( {{d}_{2}} \right)}}}=\left( 1;-3;2 \right)$

Do $\left\{ \begin{array} {} \left( \alpha \right)\bot {{d}_{1}} \\ {} \left( \alpha \right)//{{d}_{2}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{u}_{1}}} \\ {} \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{u}_{2}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( 2;-6;4 \right)=2(1;-3;2).$

Khi đó$\left( \alpha \right)$qua $O\left( 0;0;0 \right)$ và có VTPT$\left( 1;-3;2 \right)\Rightarrow \left( \alpha \right):x-3y+2z=0.$Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có:$\overrightarrow{AB}=\left( 3;3;-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]=\left( 0;-8;-12 \right)=-4(0;2;3)$

Mặt phẳng$\left( \alpha \right)$ cần tìm đi qua $A\left( 2;4;1 \right)$và có VTPT $\overrightarrow{n}\left( 0;2;3 \right)\Rightarrow (\alpha ):2y+3z-11=0.$ Chọn C.

Lời giải chi tiết

Gọi mặt phẳng cần tìm là $\left( Q \right)$ta có: $\left\{ \begin{array} {} \left( P \right)\bot \left( Q \right) \\ {} \left( Q \right)//\Delta \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]=(1;2;1)$

$\Rightarrow \left( Q \right):x+2y+z=0.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng$\left( \alpha \right)$ nhận$\left[ \overrightarrow{OM};\overrightarrow{{{u}_{Ox}}} \right]$ là một VTPT.

Mà $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{OM}=\left( 1;0;-1 \right) \\ {} \overrightarrow{{{u}_{Ox}}}=(1;0;0) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{OM};\overrightarrow{{{u}_{Ox}}} \right]=(0;-1;0).$

Kết hợp với $\left( \alpha \right)$đi qua $M(1;0;-1)\Rightarrow \left( \alpha \right):-\left( y-0 \right)=0\Leftrightarrow y=0.$Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;4;-2)$và $\overrightarrow{{{u}_{\left( Ox \right)}}}=\left( 1;0;0 \right)$ suy ra $\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{{{u}_{\left( Ox \right)}}} \right]=(0;-2;-4)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 0;1;2 \right).$

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua A và có $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}$ là $y-1+2(z-1)=0\Leftrightarrow y+2z-3=0$.Chọn C.

Lời giải chi tiết

VTPT của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 1;1;-1 \right),$VTPT của mặt phẳng $\left( Q \right)$là $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 1;3;0 \right)$.

Gọi $d'=(P)\cap \left( Q \right).$ Khi đó vtcp của $d'$ là $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=\left( 3;-1;2 \right)$ cũng là vtcp của $d\Rightarrow d//d'\text{ }$

$A(1;-2;-1)\in d;B(0;4;2)\in d'.$

Ta có: $\overrightarrow{AB}(-1;6;3).$ VTPT của $\left( R \right)$ là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{u} \right]=\left( 15;11;-17 \right)$

Phương trình mặt phẳng $\left( R \right)$ là:

$(R):15\left( x-0 \right)+11\left( y-4 \right)-17\left( z-2 \right)=0$ hay $\left( R \right):15x+11y-17z-10=0.$ Chọn D.