+ Giả sử đường thẳng cần lập có một véc tơ chỉ phương là →ud=(a;b;c),a2+b2+c2≠0
+ Đường thẳng d song song với (P) hoặc vuông góc với ∆
Khi đó ta có [→ud.→n(P)=0→ud.→uΔ=0⇒F(a;b;c)=0⇒a=f(b;c)
+ Từ các dữ liệu về góc, khoảng cách ta được một phương trình đẳng cấp bậc hai theo các ẩn a, b, c
Thay a = f(b,c) vào phương trình này, giải ra được b = m.c hoặc b = n.c
Chọn c = 1, từ đó tìm được các giá trị tương ứng của a và b ⇒phương trình mặt phẳng (P) cần lập.
Chú ý: Phương trình đẳng cấp bậc hai là phương trình có dạng
Ax2+Bxy+Cy2=0⇔A(xy)2+B(xb)+C=0⇒xy=t⇔x=t.y
Bài tập 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(−9;0;0), nằm trong mặt phẳng (P):x+2y−2z+9=0 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình (S):x2+y2+z2−4x+2y−4=0 |
Lời giải chi tiết
Đường thẳng ∆ có véc tơ chỉ phương →ud=(a;b;c),(a2+b2+c2>0)
Mặt cầu (S):x2+y2+z2−4x+2y−4=0có tâm I(2;−1;0),R=3
Do Δ∈(P)⇔→uΔ.→nP=0⇔a+2b−2c=0⇒a=2c−2b⇒→uΔ=(2c−2b;b;c)
Ta có →AI=(11;−1;0)và [→AI,→u]=(−c;−11c;9b+2c)
Điều kiện để ∆ tiếp xúc với (S): d(I;Δ)=|[→AI,→u]||→u|=R⇔√c2+121c2+(9b+2c)2√(2c−2b)2+b2+c2=3
⇔81b2+36bc+126c2=9(5b2−8bc+5c2)⇔9c2+12bc+4b2=0⇔(3c+2b)2=0⇔3c+2b=0⇒b=3;c=−2
Suy ra →u=(−10;3;−2), phương trình đường thẳng ∆ là x+9−10=y3=z−2
Bài tập 2 : Cho hai đường thẳng d:{x=2+3ty=−3+tz=4−2tvà d′:x−43=y+11=z−2. Phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa d và d’ đồng thời cách đều hai đường thẳng đó là
A. x−33=y+21=z−2−2 B. x+33=y−21=z−2−2 C. x+33=y−21=z+2−2 D. x−33=y−21=z−2−2 |
Lời giải chi tiết
Dễ thấy d//d’ , đường thẳng ∆ cần tìm cách đều d và d’ nên ∆//d ⇒→uΔ=(3;1;−2)
Đường thẳng d đi qua điểm A(2;−3;4), đường thẳng d’ qua điểm B(4;−1;0)
Trung điểm của AB là: I(3;−2;2)
Khi đó ∆ qua I(3;−2;2)và có VTCP : →uΔ=(3;1;−2)nên Δ:x−33=y+21=z−2−2. Chọn A.
Bài tập 3 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho mặt cầu (S):(x+1)2+(y−1)2+z2=9và điểm A(1;0;−2). Phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A và tạo với trục Ox một góc α sao cho cosα=13√10là:
A. Δ:x−11=y−8=z+25 B. Δ:x−11=y8=z+2−5 C. Δ:x+11=y−8=z−25 D. Δ:x+11=y8=z−25 |
Lời giải chi tiết
Gọi →uΔ=(a;b;c),(a2+b2+c2≠0) là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆
Mặt cầu (S) có tâm I(−1;1;0). Vì đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A nên:
→IA(2;−1;−2)⊥→uΔ⇔2a−b−2c=0⇔b=2a−2c (1)
Mặt khác đường thẳng ∆ tạo với trục Ox một góc αvới cosα=13√10 nên
|a|√a2+b2+c2=13√10⇔b2=89a2−c2(2)
Từ (1) và (2) ta có phương trình 85a2+8ac−5c2=0(3)
Với c = 0, suy ra a = 0, b = 0 (không thỏa mãn)
Với c≠0, ta có (3) ⇔5(ac)2+8ac−5=0⇔ac=15hoặc ac=−517
n Với ac=15, ta chọn a=1,c=5⇒b=−8. Suy ra phương trình Δ:x−11=y−8=z+25
n Với ac=−517, ta chọn a=5,c=−17⇒b=44. Suy ra phương trình Δ:x−15=y44=z+2−17
Chọn A.
Bài tập 4: Trong không gian tọa độ cho mặt cầu (S):(x−1)2+(y+2)2+z2=9và điểm M(2;0;−2). Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (S) tại M và tạo với mặt phẳng (P):x+y−3=0 một góc 30∘ là :
A. d:{x=2y=tz=−2+t B. d:{x=2y=tz=−2−t C. d:{x=2y=−tz=−2+t D. d:{x=2y=−tz=−2−t |
Lời giải chi tiết
Gọi →ud=(a;b;c),(a2+b2+c2≠0) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d
Mặt cầu (S) có tâm I(1;−2;0). Vì đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M nên:
Ta có: →IM=(1;2;−2)⊥→ud⇔a+2b−2c=0⇔a=2c−2b
Mặt khác đường thẳng d tạo với mặt phẳng (P) một góc 30∘ nên:
Ta có: sin30∘=cos(→ud;→n(P))=|a+b|√2√a2+b2+c2=|2c−b|√2√5b2+5c2−8bc=12
⇔2(b−2c)2=5b2+5c2−8bc⇔3b2=3c2⇔[b=cb=−c
n Với b = c chọn b=c=1;a=0 ta có: d:{x=2y=tz=−2+t
n Với b = - c chọn b=−1;c=1;a=4ta có: d:{x=2+4uy=−uz=−2+u. Chọn A.
Bài tập 5 : Trong không gian tọa độ cho mặt cầu x2+y2+z2−4x+2y+6z−12=0và đường thẳng (d):x=5+2t;y=4;z=7+t. Phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M(5;0;1) và ∆ tạo với d góc φ sao cho cosφ=1√7là:
A. {x=5−3ty=−5tz=1−t B. d:{x=5+3ty=5tz=1−t C. d:{x=5+3ty=−5tz=1−t D. d:{x=5−3ty=−5tz=1+t |
Lời giải chi tiết
Ta có (S):(x−2)2+(y+1)2+(z+3)2=26⇒(S)có tâm I(2;−1;−3)và bán kính R=√26
→IM=(3;1;4),→u1=(2;0;1)là 1 VTCP của d.
Giả sử →u2=(a;b;c) là 1 VTCP của đường thẳng ∆, (a2+b2+c2≠0)
Do ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M ⇒→IM⊥→u2⇔3a+b+4c=0⇔b=−3a−4c (1)
Mà góc giữa đường thẳng ∆ và đường thẳng d bằng φ
⇒|cos(→u1,→u2)|=cosφ⇔|→u1.→u2||→u1|.|→u2|=1√7⇔|2a+c|√a2+b2+c2.√5=1√7 (2)
Thay (1) và (2) ta được √7|2a+c|=√5.√a2+(3a+4c)2+c2
⇔7(4a2+4ac+c2)=5(a2+9a2+24ac+16c2+c2)⇔22a2+92ac+78c2=0⇔[a=−3ca=−1311c
Với a=−3c, do a2+b2+c2≠0⇒c≠0. Chọn c=−1⇒a=3;b=−5⇒Δ:{x=5+3ty=−5tz=1−t
Với a=−1311c chọn c=−11⇒a=13;b=5⇒Δ:{x=5+3ty=5tz=1−11t. Chọn C.
TOÁN LỚP 12