Cách Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách – bài tập có đáp án chi tiết - Tự Học 365

Cách Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách – bài tập có đáp án chi tiết

Cách Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách – bài tập có đáp án chi tiết

Cách Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách – bài tập có đáp án

Phương pháp giải bài toán viết phương trình đường thẳng

+ Giả sử đường thẳng cần lập có một véc tơ chỉ phương là ud=(a;b;c),a2+b2+c20

+ Đường thẳng d song song với (P) hoặc vuông góc với ∆

Khi đó ta có [ud.n(P)=0ud.uΔ=0F(a;b;c)=0a=f(b;c)

+ Từ các dữ liệu về góc, khoảng cách ta được một phương trình đẳng cấp bậc hai theo các ẩn a, b, c

Thay a = f(b,c) vào phương trình này, giải ra được b = m.c hoặc b = n.c

Chọn c = 1, từ đó tìm được các giá trị tương ứng của a và b phương trình mặt phẳng (P) cần lập.

Chú ý: Phương trình đẳng cấp bậc hai là phương trình có dạng

Ax2+Bxy+Cy2=0A(xy)2+B(xb)+C=0xy=tx=t.y

Bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian có Lời giải chi tiết

Bài tập 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(9;0;0), nằm trong mặt phẳng (P):x+2y2z+9=0 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình (S):x2+y2+z24x+2y4=0

Lời giải chi tiết

Đường thẳng ∆ có véc tơ chỉ phương ud=(a;b;c),(a2+b2+c2>0)

Mặt cầu (S):x2+y2+z24x+2y4=0có tâm I(2;1;0),R=3

Do Δ(P)uΔ.nP=0a+2b2c=0a=2c2buΔ=(2c2b;b;c)

Ta có AI=(11;1;0)[AI,u]=(c;11c;9b+2c)

Điều kiện để ∆ tiếp xúc với (S): d(I;Δ)=|[AI,u]||u|=Rc2+121c2+(9b+2c)2(2c2b)2+b2+c2=3

81b2+36bc+126c2=9(5b28bc+5c2)9c2+12bc+4b2=0(3c+2b)2=03c+2b=0b=3;c=2

Suy ra u=(10;3;2), phương trình đường thẳng ∆ là x+910=y3=z2

Bài tập 2 : Cho hai đường thẳng d:{x=2+3ty=3+tz=42td:x43=y+11=z2. Phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa d và d’ đồng thời cách đều hai đường thẳng đó là

A. x33=y+21=z22  B. x+33=y21=z22

C. x+33=y21=z+22  D. x33=y21=z22

Lời giải chi tiết

Dễ thấy d//d’ , đường thẳng ∆ cần tìm cách đều d và d’ nên ∆//d uΔ=(3;1;2)

Đường thẳng d đi qua điểm A(2;3;4), đường thẳng d’ qua điểm B(4;1;0)

Trung điểm của AB là: I(3;2;2)

Khi đó ∆ qua I(3;2;2)và có VTCP : uΔ=(3;1;2)nên Δ:x33=y+21=z22Chọn A.

Bài tập 3 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho mặt cầu (S):(x+1)2+(y1)2+z2=9và điểm A(1;0;2). Phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A và tạo với trục Ox một góc α sao cho cosα=1310là:

A. Δ:x11=y8=z+25  B. Δ:x11=y8=z+25

C. Δ:x+11=y8=z25  D. Δ:x+11=y8=z25

Lời giải chi tiết

Gọi uΔ=(a;b;c),(a2+b2+c20) là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆

Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;0). Vì đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A nên:

IA(2;1;2)uΔ2ab2c=0b=2a2c (1)

Mặt khác đường thẳng ∆ tạo với trục Ox một góc αvới cosα=1310 nên

|a|a2+b2+c2=1310b2=89a2c2(2)

Từ (1) và (2) ta có phương trình 85a2+8ac5c2=0(3)

Với c = 0, suy ra a = 0, b = 0 (không thỏa mãn)

Với c0, ta có (3) 5(ac)2+8ac5=0ac=15hoặc ac=517

n Với ac=15, ta chọn a=1,c=5b=8. Suy ra phương trình Δ:x11=y8=z+25

n Với ac=517, ta chọn a=5,c=17b=44. Suy ra phương trình Δ:x15=y44=z+217

Chọn A.

Bài tập 4: Trong không gian tọa độ cho mặt cầu (S):(x1)2+(y+2)2+z2=9và điểm M(2;0;2). Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (S) tại M và tạo với mặt phẳng (P):x+y3=0 một góc 30 là :

A. d:{x=2y=tz=2+t B. d:{x=2y=tz=2t              C. d:{x=2y=tz=2+t              D. d:{x=2y=tz=2t

Lời giải chi tiết

Gọi ud=(a;b;c),(a2+b2+c20) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;0). Vì đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M nên:

Ta có: IM=(1;2;2)uda+2b2c=0a=2c2b

Mặt khác đường thẳng d tạo với mặt phẳng (P) một góc 30 nên:

Ta có: sin30=cos(ud;n(P))=|a+b|2a2+b2+c2=|2cb|25b2+5c28bc=12

2(b2c)2=5b2+5c28bc3b2=3c2[b=cb=c

n Với b = c chọn b=c=1;a=0 ta có: d:{x=2y=tz=2+t

n Với b = - c chọn b=1;c=1;a=4ta có: d:{x=2+4uy=uz=2+uChọn A.

Bài tập 5 : Trong không gian tọa độ cho mặt cầu x2+y2+z24x+2y+6z12=0và đường thẳng (d):x=5+2t;y=4;z=7+t. Phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M(5;0;1) và ∆ tạo với d góc φ sao cho cosφ=17là:

A. {x=53ty=5tz=1t B. d:{x=5+3ty=5tz=1t              C. d:{x=5+3ty=5tz=1t              D. d:{x=53ty=5tz=1+t

Lời giải chi tiết

Ta có (S):(x2)2+(y+1)2+(z+3)2=26(S)có tâm I(2;1;3)và bán kính R=26

IM=(3;1;4),u1=(2;0;1)là 1 VTCP của d.

Giả sử u2=(a;b;c) là 1 VTCP của đường thẳng ∆, (a2+b2+c20)

Do ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M IMu23a+b+4c=0b=3a4c (1)

Mà góc giữa đường thẳng ∆ và đường thẳng d bằng φ

|cos(u1,u2)|=cosφ|u1.u2||u1|.|u2|=17|2a+c|a2+b2+c2.5=17 (2)

Thay (1) và (2) ta được 7|2a+c|=5.a2+(3a+4c)2+c2

7(4a2+4ac+c2)=5(a2+9a2+24ac+16c2+c2)22a2+92ac+78c2=0[a=3ca=1311c

Với a=3c, do a2+b2+c20c0. Chọn c=1a=3;b=5Δ:{x=5+3ty=5tz=1t

Với a=1311c chọn c=11a=13;b=5Δ:{x=5+3ty=5tz=111tChọn C.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12