Cách Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách – bài tập có đáp án chi tiết

Cách Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách – bài tập có đáp án

Phương pháp giải bài toán viết phương trình đường thẳng

+ Giả sử đường thẳng cần lập có một véc tơ chỉ phương là ${{\overrightarrow{u}}_{d}}=(a;b;c),{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0$

+ Đường thẳng d song song với (P) hoặc vuông góc với ∆

Khi đó ta có $\left[ \begin{array}  {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=0 \\  {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow F(a;b;c)=0\Rightarrow a=f(b;c)$

+ Từ các dữ liệu về góc, khoảng cách ta được một phương trình đẳng cấp bậc hai theo các ẩn a, b, c

Thay a = f(b,c) vào phương trình này, giải ra được b = m.c hoặc b = n.c

Chọn c = 1, từ đó tìm được các giá trị tương ứng của a và b $\Rightarrow $phương trình mặt phẳng (P) cần lập.

Chú ý: Phương trình đẳng cấp bậc hai là phương trình có dạng

$A{{x}^{2}}+Bxy+C{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow A{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+B\left( \frac{x}{b} \right)+C=0\Rightarrow \frac{x}{y}=t\Leftrightarrow x=t.y$

Bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian có Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết

Đường thẳng ∆ có véc tơ chỉ phương ${{\overrightarrow{u}}_{d}}=(a;b;c),({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0)$

Mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y-4=0$có tâm $I(2;-1;0),R=3$

Do $\Delta \in (P)\Leftrightarrow {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}.{{\overrightarrow{n}}_{P}}=0\Leftrightarrow a+2b-2c=0\Rightarrow a=2c-2b\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=(2c-2b;b;c)$

Ta có $\overrightarrow{AI}=(11;-1;0)$và $\left[ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{u} \right]=(-c;-11c;9b+2c)$

Điều kiện để ∆ tiếp xúc với (S): $d(I;\Delta )=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=R\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{{c}^{2}}+121{{c}^{2}}+{{(9b+2c)}^{2}}}}{\sqrt{{{(2c-2b)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=3$

$\begin{array}  {} \Leftrightarrow 81{{b}^{2}}+36bc+126{{c}^{2}}=9(5{{b}^{2}}-8bc+5{{c}^{2}}) \\  {} \Leftrightarrow 9{{c}^{2}}+12bc+4{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow {{(3c+2b)}^{2}}=0\Leftrightarrow 3c+2b=0\Rightarrow b=3;c=-2 \\ \end{array}$

Suy ra $\overrightarrow{u}=(-10;3;-2)$, phương trình đường thẳng ∆ là $\frac{x+9}{-10}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-2}$

Lời giải chi tiết

Dễ thấy d//d’ , đường thẳng ∆ cần tìm cách đều d và d’ nên ∆//d $\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=(3;1;-2)$

Đường thẳng d đi qua điểm $A(2;-3;4)$, đường thẳng d’ qua điểm $B(4;-1;0)$

Trung điểm của AB là: $I(3;-2;2)$

Khi đó ∆ qua $I(3;-2;2)$và có VTCP : ${{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=(3;1;-2)$nên $\Delta :\frac{x-3}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-2}{-2}$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi ${{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=(a;b;c),({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆

Mặt cầu (S) có tâm $I(-1;1;0)$. Vì đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A nên:

$\overrightarrow{IA}(2;-1;-2)\bot \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\Leftrightarrow 2a-b-2c=0\Leftrightarrow b=2a-2c$ (1)

Mặt khác đường thẳng ∆ tạo với trục Ox một góc $\alpha $với $cos\alpha =\frac{1}{3\sqrt{10}}$ nên

$\frac{\left| a \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{1}{3\sqrt{10}}\Leftrightarrow {{b}^{2}}=89{{a}^{2}}-{{c}^{2}}$(2)

Từ (1) và (2) ta có phương trình $85{{a}^{2}}+8ac-5{{c}^{2}}=0$(3)

Với c = 0, suy ra a = 0, b = 0 (không thỏa mãn)

Với $c\ne 0$, ta có (3) $\Leftrightarrow 5{{\left( \frac{a}{c} \right)}^{2}}+8\frac{a}{c}-5=0\Leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{1}{5}$hoặc $\frac{a}{c}=-\frac{5}{17}$

n Với $\frac{a}{c}=\frac{1}{5}$, ta chọn $a=1,c=5\Rightarrow b=-8$. Suy ra phương trình $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-8}=\frac{z+2}{5}$

n Với $\frac{a}{c}=-\frac{5}{17}$, ta chọn $a=5,c=-17\Rightarrow b=44$. Suy ra phương trình $\Delta :\frac{x-1}{5}=\frac{y}{44}=\frac{z+2}{-17}$

Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi ${{\overrightarrow{u}}_{d}}=(a;b;c),({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d

Mặt cầu (S) có tâm $I(1;-2;0)$. Vì đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M nên:

Ta có: $\overrightarrow{IM}=(1;2;-2)\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}\Leftrightarrow a+2b-2c=0\Leftrightarrow a=2c-2b$

Mặt khác đường thẳng d tạo với mặt phẳng (P) một góc ${{30}^{\circ }}$ nên:

Ta có: $\sin {{30}^{\circ }}=cos\left( \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \right)=\frac{\left| a+b \right|}{\sqrt{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\left| 2c-b \right|}{\sqrt{2}\sqrt{5{{b}^{2}}+5{{c}^{2}}-8bc}}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2{{(b-2c)}^{2}}=5{{b}^{2}}+5{{c}^{2}}-8bc\Leftrightarrow 3{{b}^{2}}=3{{c}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} b=c \\  {} b=-c \\ \end{array} \right.$

n Với b = c chọn $b=c=1;a=0$ ta có: $d:\left\{ \begin{array}  {} x=2 \\  {} y=t \\  {} z=-2+t \\ \end{array} \right.$

n Với b = - c chọn $b=-1;c=1;a=4$ta có: $d:\left\{ \begin{array}  {} x=2+4u \\  {} y=-u \\  {} z=-2+u \\ \end{array} \right.$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có $(S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z+3)}^{2}}=26\Rightarrow (S)$có tâm $I(2;-1;-3)$và bán kính $R=\sqrt{26}$

$\overrightarrow{IM}=(3;1;4),\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(2;0;1)$là 1 VTCP của d.

Giả sử ${{\overrightarrow{u}}_{2}}=(a;b;c)$ là 1 VTCP của đường thẳng ∆, $({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0)$

Do ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M $\Rightarrow \overrightarrow{IM}\bot \overrightarrow{{{u}_{2}}}\Leftrightarrow 3a+b+4c=0\Leftrightarrow b=-3a-4c$ (1)

Mà góc giữa đường thẳng ∆ và đường thẳng d bằng $\varphi $

$\Rightarrow \left| cos\left( \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=cos\varphi \Leftrightarrow \frac{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}=\frac{1}{\sqrt{7}}\Leftrightarrow \frac{\left| 2a+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{7}}$ (2)

Thay (1) và (2) ta được $\sqrt{7}\left| 2a+c \right|=\sqrt{5}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{(3a+4c)}^{2}}+{{c}^{2}}}$

$\Leftrightarrow 7(4{{a}^{2}}+4ac+{{c}^{2}})=5({{a}^{2}}+9{{a}^{2}}+24ac+16{{c}^{2}}+{{c}^{2}})\Leftrightarrow 22{{a}^{2}}+92ac+78{{c}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} a=-3c \\  {} a=-\frac{13}{11}c \\ \end{array} \right.$

Với $a=-3c$, do ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0\Rightarrow c\ne 0$. Chọn $c=-1\Rightarrow a=3;b=-5\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array}  {} x=5+3t \\  {} y=-5t \\  {} z=1-t \\ \end{array} \right.$

Với $a=-\frac{13}{11}c$ chọn $c=-11\Rightarrow a=13;b=5\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array}  {} x=5+3t \\  {} y=5t \\  {} z=1-11t \\ \end{array} \right.$. Chọn C.