Cách Viết phương trình đường thẳng khi biết cặp vectơ pháp tuyến- Bài tập có đáp án chi tiết

Cách Viết phương trình đường thẳng khi biết cặp vectơ pháp tuyến- Bài tập có đáp án

Nếu đường thẳng d có cặp vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$ tức là $\left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{a} \\  {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{b} \\ \end{array} \right.$thì $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right]$.

Một số các trường hợp thường gặp – phương pháp viết ptdt khi biết vtpt:

n Đường thẳng d vuông góc hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂, suy ra $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{{{\Delta }_{1}}}}};\overrightarrow{{{u}_{{{\Delta }_{2}}}}} \right]$.

n Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và (Q), suy ra $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]$.

n Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với thường thẳng ∆, suy ra $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]$

n Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và song song với mặt phẳng (Q), suy ra $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]$.

n Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆, suy ra $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]$.

Bài tập viết phương trình đường thẳng trong oxyz có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Do $\left\{ \begin{array}  {} \Delta //(P) \\  {} \Delta \bot d \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \\  {} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=(2;5;-3)$

Suy ra phương trình đường thẳng ∆ là $\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+2}{-3}$.

Lời giải chi tiết

Đường thẳng cần tìm song song với (P) và (Q) nên $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(p)}}};\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}} \right]=2(1;0;-1)$.

Do đó d: $\left\{ \begin{array}  {} x=-1+t \\  {} y=2 \\  {} z=-3-t \\ \end{array} \right.$ . Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có  $\left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}=(2;-3;6) \\  {} \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=(1;1;-2) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=(0;10;5)$

Đường thẳng d qua A(-1;0;2) và nhận $\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=(0;10;5)$là một VTCP

$\Rightarrow d:\left\{ \begin{array}  {} x=-1 \\  {} y=2t \\  {} z=2+t \\ \end{array} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2;-2;1);\overrightarrow{{{n}_{(p)}}}=(4;-1;-1)$. Suy ra $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=(3;6;6)=3(1;2;2)$

Do vậy $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{2}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Giả sử $G({{x}_{G}};{{y}_{G}};{{z}_{G}})$. Khi đó: $\left\{ \begin{array}  {} {{x}_{G}}=\frac{1+1+1}{3}=1 \\  {} {{y}_{G}}=\frac{3+2+1}{3}=2\Rightarrow G(1;2;2) \\  {} {{z}_{G}}=\frac{2+1+3}{3}=2 \\ \end{array} \right.$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(0;-1;-1);\overrightarrow{AC}=(0;-2;1)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=(-3;0;0)=-3(1;0;0)$

Đường thẳng qua G và nhận $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}$là vtcp $\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array}  {} x=1-3t \\  {} y=2 \\  {} z=2 \\ \end{array} \right.$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Các vtcp của ∆ và ∆’ lần lượt là: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(3;2;1);\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(1;3;-2)\Rightarrow$vtcp của đường thẳng cần tìm là: $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=(-7;7;7)=7(-1;1;1)$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Các vtpt của (P) và (Q) là : $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=(1;1;1);\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(1;-1;1)$, vtcp của đường thẳng cần tìm là: $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=(2;0;-2)=2(1;0;-1)$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Gọi d là đường thẳng cần tìm. Ta có: $\left\{ \begin{array}  {} d\bot {{d}_{1}} \\  {} d\bot {{d}_{2}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{{{d}_{1}}}}} \\  {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \\ \end{array} \right.$

Khi đó $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}};\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \right]=(3;-6;12)=3(1;-2;4)\Rightarrow d:\frac{x+2}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z}{4}$. Chọn D.