Cách tính nhanh Góc giữa đường cao và mặt bên – bài tập có đáp án chi tiết
Tính nhanh Góc giữa đường cao và mặt bên – bài tập có đáp án
Phương pháp giải nhanh góc giữa đường cao và mặt bên
Tìm góc giữa đường cao SH và mặt phẳng (SAB).
Dựng HE⊥AB,HF⊥SE.
Ta có: AB⊥SH⇒AB⊥(SHE)⇒AB⊥HF.
Mặt khác HF⊥SE⇒HF⊥(SAB)⇒F là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (SAB).
Vậy ^(SH;SAB)=^(HF;SF)=^HSF.
Bài tập xác định, tính góc giữa đường cao và mặt bên
| Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Cạnh bên SA=a√3 và vuông góc với đáy. Tính góc giữa SA và mặt phẳng (SBC). |
Lời giải chi tiết
Từ A kẻ AK vuông góc với BC tại K.
Ta có : SA⊥BC và AK⊥BC⇒BC⊥(SAK).
Kẻ AH⊥SK,H∈SK. Mà BC⊥AH.
Suy ra AH⊥(SBC)⇒^(SA;(SBC))=^ASH=^ASK.
Tam giác SAK vuông tại A, có SA=AK=a√3.
⇒ tam giác SAK vuông cân tại A nên ASK=45∘.
Vậy ^(SA;(SBC))=45∘.
| Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB=a,AD=2a,SA=2a và SA⊥(ABCD). Tính tan góc giữa SA và các mặt phẳng (SBC), (SBD) và (SCD). |
Lời giải chi tiết
Do {BC⊥ABBC⊥SA⇒BC⊥(SAB).
Dựng AM⊥SB⇒AM⊥(SBC)⇒ M là hình chiếu vuông góc của A trên (SBC).
Khi đó: ^(SA;(SBC))=^ASM=^ASB=α.
Do đó tanα=ABSA=12.
Tương tự ta có: ^(SA;(SCD))=^ASD=β và tanβ=ADSA=1.
Dựng AE⊥BD,AF⊥SE ta có: {BD⊥AEBD⊥SA⇒BD⊥(SAE)⇒BD⊥AF.
Mặt khác AF⊥SE⇒AF⊥(SBD)⇒^(SA;(SBD))=^ASF=^ASE.
Khi đó tan^ASE=AESA, trong đó AE=AB.AD√AB2+AD2=2a√5⇒tan^ASE=AESA=1√5.
| Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B có AD=2AB=2CD=2a và SA⊥(ABCD). Biết rằng SC tạo với đáy một góc 60∘. Tính tan góc giữa SA và các mặt phẳng (SBC), (SCD) và (SBD). |
Lời giải chi tiết
Ta có: AC=√AB2+BC2=a√2
Do SA⊥(ABCD)⇒^(SC;(ABCD))=^SCA=60∘.
Suy ra SA=ACtan60∘=a√6.
Dựng AM⊥SB có {BC⊥SABC⊥AB⇒BC⊥AM.
Do đó AM⊥(SBC)⇒ M là hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC).
Suy ra ^(SA;(SBC))=^ASM=^ASB.
Ta có: tan^ASB=ABSA=aa√6=1√6.
Gọi I là trung điểm của AD ⇒ ABCI là hình vuông cạnh a ⇒CI=AD2=a⇒ΔACD vuông tại C. Khi đó {CD⊥SACD⊥AC⇒CD⊥(SAC).
Dựng AN⊥SC⇒^(SA;(SCD))=^ASN=^ASC. Ta có: tan^ASC=ACSA=a√2a√6=1√3.
Dựng {AE⊥BDAF⊥SE⇒^(SA;(SBD))=^ASF=^ASE.
Mặt khác AE=AB.AD√AB2+AD2=2a√5⇒tan^ASE=AESA=√3015.
| Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là nửa lục giác đều cạnh a, AD=2a. Biết SA⊥(ABCD) và đường thẳng SB tạo với đáy một góc 60°.
a) Tính tan góc tạo bởi SA và (SBC). b) Tính góc tạo bởi SA và (SCD). |
Lời giải chi tiết
a) Gọi O là trung điểm của AD ⇒ OABC là hình thoi cạnh a ⇒CO=a=12AD⇒ΔACD vuông tại C.
Do SA⊥(ABCD)⇒^(SB;(ABCD))=^SBA=60∘.
⇒SA=ABtan60∘=a√3, AC=√AD2−CD2=a√3.
Dựng AE⊥BC, AF⊥SE⇒^(SA;(SBC))=^ASF=^ASE.
Do ^ABE=120∘⇒^ABE=60∘.
Mặt khác AE=ABsin^ABE=ABsin60∘=a√32.
Suy ra tan^(SA;(SBC))=tan^ASE=AESA=12.
b) Do {CD⊥SACD⊥AC⇒CD⊥(SAC). Dựng AK⊥SC⇒AK⊥(SCD)
Khi đó ^(SA;(SCD))=^ASK=^ASC=φ.
Ta có: tanφ=ACSA=a√3a√3=1⇒φ=45∘. Vậy ^(SA;(SCD))=45∘.
| Bài tập 5: Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của B′ lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB, đường cao B′H=3a4. Tính cosin góc giữa đường thẳng B′H và mặt phẳng (BCC′B′). |
Lời giải chi tiết
Dựng HE⊥BC,HF⊥B′E ta có: {BC⊥B′HBC⊥HE suy ra BC⊥HF⇒HF⊥(B′BCC′)⇒^(B′H;(BCC′B′))
=^HB′F=^HB′E.
Ta có: HE=HBsin^HBE=a2sin60∘=a√34
Do đó cos^HB′E=B′HB′E=B′H√B′H2+HE2=√32.
TOÁN LỚP 12