- Đường thẳng Δ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.
- Đường thẳng vuông góc chung Δ cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt tại M và N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Cho 2 đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (β) là mặt phẳng chứa b và song song với a, a’ là hình chiếu vuông góc của a trên ⇒CD⊥(SHC)⇒⌢SCH=60∘.
Vì a//(β) nên a//a′. Gọi N=a′∩b và (α) là mặt phẳng chứa a và a’. Dựng đường thẳng Δ qua N và vuông góc chung và MN là đoạn vuông góc chung của a và b.
Nhận xét:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
Phương pháp giải: Dựng đường vuông góc chung. Khảo sát khối chóp đỉnh S có đường cao SH, yêu cầu tính khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau d (thuộc mặt đáy) và đường thẳng SC thuộc bên khối chóp trong trường hợp d⊥SC.
Dựng hình: Hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng đáy là HC
Mặt khác: {SC⊥dSH⊥d⇒d⊥(SHC)
Gọi M=d∩HC, dựng MK⊥SC khi đó MK là đoạn vuông góc chung của AC và SC
Cách tính: Dựng HE⊥SC khi đó MKHE=MCHC⇒MK=MCHC.HE
Xét tam giác vuông SHC ta có: 1HE2=1SH2+1HC2⇒HE=MK=d(d;SC)
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA⊥(ABCD). Biết rằng SC tạo với mặt đáy một góc 60∘
a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và SD b) Tính khoảng cách giữa BD và SC. |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: AC=a√2. Do SA⊥(ABCD) và SC tạo với đáy góc 60∘ nên ^SCA=60∘
Khi đó SA=ACtan60∘=a√6
Do {AB⊥ADAB⊥SA⇒AB⊥(SAD)
Dựng AH⊥SD suy ra AH là đoạn vuông góc chung của AB và SD
Ta có: SA.AB√SA2+AB2=a√427
b) Ta có: BD⊥SC tại O và BD⊥SA⇒BD⊥(SAC)
Dựng OK⊥SC⇒OK⊥BD nên OK là đoạn vuông góc chung của BD và SC
Do đó d(BD;SC)=OK=OCsin^OCK=a√22sin60∘=a√64
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, gọi I là trung điểm của AB. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm CI. Biết chiều cao của khối chóp là h=a√3. Tính khoảng cách d giữa đường thẳng AB và SC. |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: {CI⊥ABSH⊥AB⇒AB⊥(SIC)
Dựng IF⊥SC khi đó IF là đoạn vuông góc chung của AB và SC. Dựng HE⊥SC ta có: HE=12IF
Lại có CI=a√32⇒CH=a√34
Khi đó HE=SH.HC√SH2+HC2=a√5117⇒IF=2a√5117
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD cạnh a và SA⊥(ABCD). Biết mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60∘
a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và CD. b) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng BD và SC. |
Lời giải chi tiết
a) Do:{BC⊥ABBC⊥SA⇒BC⊥(SAB)⇒BC⊥SB⇒BC là đoạn vuông góc chung của SB và CD.
Ta có: d(SB;CD)=BC=a
c) Mặt khác BC⊥(SAB)
Do đó ^((SBC);(ABCD))=^SBA=60∘
Suy ra SA=ABtan60∘=a√3
Gọi O là tâm hình vuông ABCD ta có {BD⊥ACBD⊥SA⇒BD⊥(SAC)
Dựng OM⊥SC khi đó OM là đường vuông góc chung của BD và SC
Ta có ΔCAS∼ΔCMO(g−g)⇒SCCO=SAMO⇒OM=SA.OCSC=a√3.a√22√SA2+AC2=a√62√5=a√3010
Cách 2: Dựng AN⊥SC⇒OM=12AN. Mặt khác 1AN2=1SA2+1AC2⇒AN=a√305
Khi đó d=OM=12AN=a√3010
Bài tập 4: Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, tam giác SBC là tam giác đều cạnh a và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d giữa 2 đường thẳng SA và BC. |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của BC khi đó SH⊥BC
Mặt khác (SBC)⊥(ABC) do đó SH⊥(ABC)
Ta có: SH=a√32 và AB=AC=a√2;AH=BC2=a2
Do {BC⊥AHBC⊥SH⇒BC⊥(SHA). Dựng HK⊥SA khi đó
HK là đoạn vuông góc chung của BC và SA.
Lại có: HK=SH.AH√SH2+HA2=a√34
Bài tập 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân AB = BC = 3a, hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (ABB’A’) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60°. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và B’C. |
Lời giải chi tiết
Dựng CI⊥AB⇒I là trung điểm của AB.
Ta có: (B′GI)⊥AB⇒⌢B′IG=60∘
Lại có: CI=12AB=3a√22⇒GI=a√22
⇒B′G=GItan60∘=a√62
Dựng IH⊥B′C⇒d(AB;B′C)=IH=B′G.CIB′C
Ta có: B′C=√B′G2+GC2=a√142⇒IH=3a√4214
Do đó d(AB;B′C)=IH=3a√4214
Hoặc dựng : GK//IH⇒IH=32GK=32.B′G.GC√B′G2+GC2
TOÁN LỚP 12