Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau - Tự Học 365

Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Đường vuông góc chung và đoạn vuông góc chung hai đường chéo nhau.

- Đường thẳng  Δ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.

- Đường thẳng vuông góc chung Δ cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt tại M và N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Cách xác định đoạn vuông góc chung của 2 đường chéo nhau.

Cho 2 đường thẳng chéo nhau  a và b. Gọi (β) là mặt phẳng chứa b và song song với aa’ là hình chiếu vuông góc của a trên CD(SHC)SCH=60.

a//(β) nên a//a. Gọi N=ab(α) là mặt phẳng chứa a và a’. Dựng đường thẳng Δ qua N và vuông góc chung và MN là đoạn vuông góc chung của a và b.

Nhận xét:

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.

Phương pháp Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau.

Phương pháp giải: Dựng đường vuông góc chung. Khảo sát khối chóp đỉnh S có đường cao SH, yêu cầu tính khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau d (thuộc mặt đáy) và đường thẳng SC thuộc bên khối chóp trong trường hợp dSC.

Dựng hình: Hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng đáy là HC

Mặt khác: {SCdSHdd(SHC)

Gọi M=dHC, dựng MKSC khi đó MK là đoạn vuông góc chung của AC và SC

Cách tính: Dựng HESC khi đó MKHE=MCHCMK=MCHC.HE

Xét tam giác vuông SHC ta có: 1HE2=1SH2+1HC2HE=MK=d(d;SC) 

 Bài tập tính khoảng cách giữa 2 đường thăng vuông góc với nhau và chéo nhau

Bài tập 1: Cho hình chóp  S.ABCD  có đáy là hình vuông cạnh  a và SA(ABCD). Biết rằng SC tạo với mặt đáy một góc 60

a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và SD

b) Tính khoảng cách giữa BD và SC.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: AC=a2. Do SA(ABCD) và SC tạo với đáy góc 60 nên ^SCA=60

Khi đó SA=ACtan60=a6

Do {ABADABSAAB(SAD)

Dựng AHSD suy ra AH là đoạn vuông góc chung của AB và SD

Ta có: SA.ABSA2+AB2=a427

b) Ta có: BDSC tại O và BDSABD(SAC)

Dựng OKSCOKBD nên OK là đoạn vuông góc chung của BD và SC

Do đó d(BD;SC)=OK=OCsin^OCK=a22sin60=a64

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, gọi I là trung điểm của AB. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm CI. Biết chiều cao của khối chóp là h=a3. Tính khoảng cách d giữa đường thẳng AB và SC.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: {CIABSHABAB(SIC)

Dựng IFSC khi đó IF là đoạn vuông góc chung của AB và SC. Dựng HESC ta có: HE=12IF

Lại có CI=a32CH=a34

Khi đó HE=SH.HCSH2+HC2=a5117IF=2a5117

Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD cạnh a và SA(ABCD). Biết mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60

a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và CD.

b) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng BD và SC.

Lời giải chi tiết

a) Do:{BCABBCSABC(SAB)BCSBBC là đoạn vuông góc chung của SB và CD.

Ta có: d(SB;CD)=BC=a

c) Mặt khác BC(SAB)

Do đó ^((SBC);(ABCD))=^SBA=60

Suy ra SA=ABtan60=a3

Gọi O là tâm hình vuông ABCD ta có {BDACBDSABD(SAC)

Dựng OMSC khi đó OM là đường vuông góc chung của BD và SC

Ta có ΔCASΔCMO(gg)SCCO=SAMOOM=SA.OCSC=a3.a22SA2+AC2=a625=a3010

Cách 2: Dựng ANSCOM=12AN. Mặt khác 1AN2=1SA2+1AC2AN=a305

Khi đó d=OM=12AN=a3010

Bài tập 4: Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, tam giác SBC là tam giác đều cạnh a và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC.

Lời giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của BC khi đó SHBC

Mặt khác (SBC)(ABC) do đó SH(ABC)

Ta có: SH=a32AB=AC=a2;AH=BC2=a2

Do {BCAHBCSHBC(SHA). Dựng HKSA khi đó

HK là đoạn vuông góc chung của BC và SA.

Lại có: HK=SH.AHSH2+HA2=a34

 

Bài tập 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân AB = BC = 3a, hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (ABB’A’) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60°. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và B’C.

Lời giải chi tiết

Dựng CIABI là trung điểm của AB.

Ta có: (BGI)ABBIG=60

Lại có: CI=12AB=3a22GI=a22

BG=GItan60=a62

Dựng IHBCd(AB;BC)=IH=BG.CIBC

Ta có: BC=BG2+GC2=a142IH=3a4214

Do đó d(AB;BC)=IH=3a4214

Hoặc dựng : GK//IHIH=32GK=32.BG.GCBG2+GC2

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12