Cách tính độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai vectơ, chứng minh 2 đường thẳng vuông góc – Bài tập có đáp án chi tiết - Tự Học 365

Cách tính độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai vectơ, chứng minh 2 đường thẳng vuông góc – Bài tập có đáp án chi tiết

Cách tính độ dài đoạn thẳng

Tính độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai vectơ, chứng minh 2 đường thẳng vuông góc – Bài tập có đáp án

Phương pháp giải bài toán tính độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai vecto, chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Để tính độ dài đoạn thằng AB ta sử dụng công thức: $AB=\left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{{{\overrightarrow{AB}}^{2}}}$, để tính độ dài vectơ $\overrightarrow{u}$ ta sử dung công thức$\left| \overrightarrow{u} \right|=\sqrt{{{\overrightarrow{u}}^{2}}}$

Để tính góc giữa 2 vectơ ta sử dụng công thức: $\cos \left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}$

Để chứng minh 2 đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau ta chứng minh: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0$

Bài tập về vecto trong không gian có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và $BC=a\sqrt{2}$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{SC}$.

Lời giải chi tiết

Do SB = SC = a; $BC=a\sqrt{2}$$\Rightarrow $ $\Delta SBC$vuông cân tại S.

Lấy điểm S làm điểm gốc ta phân tích: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA}$

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SC}=\left( \overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA} \right).\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}$

$={{a}^{2}}.\cos {{90}^{0}}-{{a}^{2}}.\cos {{60}^{0}}=-\frac{{{a}^{2}}}{2}$

Do đó $\cos \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{SC} \right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SC}}{AB.SC}=\frac{-\frac{{{a}^{2}}}{2}}{a.a}=-\frac{1}{2}$

$\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{SC} \right)={{120}^{0}}$

Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD.

a)      Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0$

b)     Từ đẳng thức trên hãy suy ra nếu tứ diện ABCD có $AB\bot CD$ và $AC\bot DB$ thì $AD\bot BC$

Lời giải chi tiết

a)      Lấy điểm A làm điểm gốc.

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC} \right)+\overrightarrow{AC}\left( \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD} \right)+\overrightarrow{AD}\left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right)=0$

b)     Do $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0$

Mặt khác: $\left\{ \begin{array}  {} AB\bot CD \\  {} AC\bot DB \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0 \\  {} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0$

Do đó $AD\bot BC$

Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và góc BAC = 600, góc BAD = 600, góc CAD = 900. Chứng minh rằng:

a)      $AB\bot CD$

b)     Nếu I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì $IJ\bot AB$

Lời giải chi tiết

a)       Lấy điểm A là điểm gốc ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC} \right)$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}={{a}^{2}}\cos {{60}^{0}}-{{a}^{2}}\cos {{60}^{0}}=0\Rightarrow AB\bot CD$

b)     Ta có: $\overrightarrow{IJ}=\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ} \right)=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} \right)$

Do đó $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{AB}=\left( -\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} \right).\overrightarrow{AB}$

$=-\frac{1}{2}\left( -{{\overrightarrow{AB}}^{2}}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} \right)$

$=-\frac{1}{2}\left( -{{\overrightarrow{a}}^{2}}+{{a}^{2}}\cos {{60}^{0}}+{{a}^{2}}\cos {{60}^{0}} \right)=0\Rightarrow IJ\bot AB$

Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và ASB = BSC = CSA. Chứng minh rằng $SA\bot BC$, $SB\bot AC$ và $SC\bot AB$

Lời giải chi tiết

Giả sử $ASB=BSC=CSA=\alpha $và SA = SB = SC = a

Lấy điểm S làm điểm gốc ta có: $\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}.\left( \overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB} \right)$

$=\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}={{a}^{2}}\cos \alpha -{{a}^{2}}\cos \alpha =0$

Tương tự chứng mình trên ta cũng có $SB\bot AC$ và $SC\bot AB$

Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Biết rằng $AB\bot AC$, $AB\bot BD$. Chứng minh rằng AB và PQ vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết

Ta có: $AB\bot AC,AB\bot BD\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0 \\  {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=0 \\ \end{array} \right.$

Lại có: $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AQ}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} \right)$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AB}\left[ -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} \right) \right]$

$=\frac{{{\overrightarrow{AB}}^{2}}}{2}+\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}}{2}=\frac{\overrightarrow{AB}}{2}\left( \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB} \right)=\frac{\overrightarrow{AB}}{2}.\overrightarrow{BD}=0$

Do đó $AB\bot PQ$

Bài tập 6: Trong không gian cho 2 vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ tạo với nhau một góc ${{120}^{0}}$. Biết rằng $\left| \overrightarrow{a} \right|=3$ và $\left| \overrightarrow{b} \right|=5$. Tính $\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|$và $\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|$

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|}^{2}}={{\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)}^{2}}={{\overrightarrow{a}}^{2}}+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{{\overrightarrow{b}}^{2}}={{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}+2\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|\cos \left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right)+\left| \overrightarrow{b} \right|={{3}^{2}}+2.3.5.\cos {{120}^{0}}+{{5}^{2}}=19$

Do đó $\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|=\sqrt{19}$

Lại có: ${{\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|}^{2}}={{\left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right)}^{2}}={{\overrightarrow{a}}^{2}}-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{{\overrightarrow{b}}^{2}}={{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}-2\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|\cos \left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right)+\left| \overrightarrow{b} \right|={{3}^{2}}-2.3.5.\cos {{120}^{0}}+{{5}^{2}}=49$

Do đó $\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|=7$

Bài tập 7: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính góc giữa hai vectơ AC và DA'.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{DA'}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DD'}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}$

Đặt $AB=a\Rightarrow AC=a\sqrt{2}=DA'$

Mặt khác $\overrightarrow{AC'}.\overrightarrow{DA'}=\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \right)\left( -\overrightarrow{AD'}+\overrightarrow{AA'} \right)=-A{{D}^{2}}=-{{a}^{2}}$

Suy ra $\cos \left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{DA'} \right)=\frac{-{{a}^{2}}}{2{{a}^{2}}}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{DA'} \right)=-{{120}^{0}}$

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12