Cách tính độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai vectơ, chứng minh 2 đường thẳng vuông góc – Bài tập có đáp án chi tiết

Tính độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai vectơ, chứng minh 2 đường thẳng vuông góc – Bài tập có đáp án

Phương pháp giải bài toán tính độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai vecto, chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Bài tập về vecto trong không gian có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Do SB = SC = a; $BC=a\sqrt{2}$$\Rightarrow$ $\Delta SBC$vuông cân tại S.

Lấy điểm S làm điểm gốc ta phân tích: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA}$

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SC}=\left( \overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA} \right).\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}$

$={{a}^{2}}.\cos {{90}^{0}}-{{a}^{2}}.\cos {{60}^{0}}=-\frac{{{a}^{2}}}{2}$

Do đó $\cos \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{SC} \right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SC}}{AB.SC}=\frac{-\frac{{{a}^{2}}}{2}}{a.a}=-\frac{1}{2}$

$\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{SC} \right)={{120}^{0}}$

Lời giải chi tiết

a)      Lấy điểm A làm điểm gốc.

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC} \right)+\overrightarrow{AC}\left( \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD} \right)+\overrightarrow{AD}\left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right)=0$

b)     Do $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0$

Mặt khác: $\left\{ \begin{array}  {} AB\bot CD \\  {} AC\bot DB \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0 \\  {} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0$

Do đó $AD\bot BC$

Lời giải chi tiết

a)       Lấy điểm A là điểm gốc ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC} \right)$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}={{a}^{2}}\cos {{60}^{0}}-{{a}^{2}}\cos {{60}^{0}}=0\Rightarrow AB\bot CD$

b)     Ta có: $\overrightarrow{IJ}=\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ} \right)=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} \right)$

Do đó $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{AB}=\left( -\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} \right).\overrightarrow{AB}$

$=-\frac{1}{2}\left( -{{\overrightarrow{AB}}^{2}}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} \right)$

$=-\frac{1}{2}\left( -{{\overrightarrow{a}}^{2}}+{{a}^{2}}\cos {{60}^{0}}+{{a}^{2}}\cos {{60}^{0}} \right)=0\Rightarrow IJ\bot AB$

Lời giải chi tiết

Giả sử $ASB=BSC=CSA=\alpha$và SA = SB = SC = a

Lấy điểm S làm điểm gốc ta có: $\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}.\left( \overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB} \right)$

$=\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}={{a}^{2}}\cos \alpha -{{a}^{2}}\cos \alpha =0$

Tương tự chứng mình trên ta cũng có $SB\bot AC$ và $SC\bot AB$

Lời giải chi tiết

Ta có: $AB\bot AC,AB\bot BD\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0 \\  {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=0 \\ \end{array} \right.$

Lại có: $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AQ}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} \right)$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AB}\left[ -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} \right) \right]$

$=\frac{{{\overrightarrow{AB}}^{2}}}{2}+\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}}{2}=\frac{\overrightarrow{AB}}{2}\left( \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB} \right)=\frac{\overrightarrow{AB}}{2}.\overrightarrow{BD}=0$

Do đó $AB\bot PQ$

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|}^{2}}={{\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)}^{2}}={{\overrightarrow{a}}^{2}}+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{{\overrightarrow{b}}^{2}}={{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}+2\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|\cos \left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right)+\left| \overrightarrow{b} \right|={{3}^{2}}+2.3.5.\cos {{120}^{0}}+{{5}^{2}}=19$

Do đó $\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|=\sqrt{19}$

Lại có: ${{\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|}^{2}}={{\left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right)}^{2}}={{\overrightarrow{a}}^{2}}-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{{\overrightarrow{b}}^{2}}={{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}-2\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|\cos \left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right)+\left| \overrightarrow{b} \right|={{3}^{2}}-2.3.5.\cos {{120}^{0}}+{{5}^{2}}=49$

Do đó $\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|=7$

Lời giải chi tiết

Ta có: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{DA'}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DD'}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}$

Đặt $AB=a\Rightarrow AC=a\sqrt{2}=DA'$

Mặt khác $\overrightarrow{AC'}.\overrightarrow{DA'}=\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \right)\left( -\overrightarrow{AD'}+\overrightarrow{AA'} \right)=-A{{D}^{2}}=-{{a}^{2}}$

Suy ra $\cos \left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{DA'} \right)=\frac{-{{a}^{2}}}{2{{a}^{2}}}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{DA'} \right)=-{{120}^{0}}$