Cách 1: Do MA=MB⇒điểm M thuộc mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của AB (mặt phẳng qua trung điểm của AB và vuông góc với AB).
Khi đó M∈d=(P)∩(Q), ta tham số hóa điểm M theo ẩn t và thế vào điều kiện K để tìm tọa độ điểm M.
Để viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q) ta có thể cho x=t và tìm y và z theo ẩn t.
Cách 2: Gọi tọa độ M(x;y;z) giải hệ phương trình 3 ẩn 3 phương trình M∈(P);M∈(Q)và điều kiện K để tìm tọa độ điểm M.
Bài tập 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;0;1),B(0;−2;3) và mặt phẳng (P):2x−y−z+4=0.Tìm điểm M trên (P) sao cho MA=MB=3. |
Lời giải chi tiết:
Phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của AB đi qua I(1;−1;2) và có VTPT là
→n=→AB=(−2;−2;2)suy ra (Q):x+y−z+2=0⇒M∈(P)∩(Q).
Cho x=t⇒{y+z=2t+4y−z=−t−2⇔{y=12t+1z=32t+3⇒M(t;t2+1;3t2+3)
Ta có: MA2=(t−2)2+(t2+1)2+(3t2+2)2=9⇔72t2+3t=0⇔[t=0⇒M(0;1;3)t=−67⇒M(−67;47;127).
Bài tập 2: Cho ba điểm A(3;1;2),B(−1;1;0),C(0;1;−2) và mặt phẳng (P):3x+2z−5=0. Tìm điểm M trên (P) sao cho MA=MBvà MC=√11. |
Lời giải chi tiết:
Phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của AB đi qua I(1;1;1) có VTPT:
→n=→AB=(−4;0;−2)=−2(2;0;1)⇒(Q):2x+z−3=0.
Khi đó điểm M=(P)∩(Q):{3x+2z−5=02x+z−3=0⇔{x=1y=tz=1⇒M(1;t;1)
Lại có: MC2=1+(t−1)2+9=11⇔(t−1)2=1⇔[t=0⇒M(1;0;1)t=2⇒M(1;2;1).
Bài tập 3: Cho ba điểm A(1;0;−2),B(−1;2;4),C(4;5;3) và mặt phẳng (P):x+y+3z−10=0. Tìm điểm M trên (P) sao cho MA=MBvà MB⊥MC. |
Lời giải chi tiết:
Trung điểm của AB là I(0;1;1) và →AB=(−2;2;6)=−2(1;−1;−3)
Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là: (Q):x−y−3z+4=0
Khi đó điểm M=(P)∩(Q). Cho z=t⇒{x+y=−3t+10x−y=3t−4⇔{x=3y=−3t+7⇒M(3;−3t+7;t)
Mặt khác MB⊥MC⇒→MB.→MC=0⇔(−4;3t−5;−t+4)(1;3t−2;3−t)=0
⇔−4+(3t−5)(3t−2)+(4−t)(3−t)=0⇔10t2−28t+18=0⇔[t=1⇒M(3;4;1)t=95⇒M(3;85;95).
Bài tập 4: Cho hai điểm A(2;−1;1);B(0;3;3) và mặt phẳng (P):2x−z=0. Điểm M(a;b;c)trên (P) thỏa mãn MA=MB=3√10. Biết xM>0, tính giá trị của biểu thức T=a+b+c. A. T=−9. B. T=14. C. T=−12. D. T=9. |
Lời giải chi tiết:
Trung điểm của AB là I(1;1;2) và →AB=(−2;4;2)=−2(1;−2;−1)
Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là: (Q):x−2y−z+3=0
Khi đó điểm M=(P)∩(Q). Cho x=t⇒{t=z2y=x−z+3⇔{z=2ty=−t+32(với xM=t>0)
Suy ra M(t;−t2+32;2t), lại có: MA2=(t−2)2+(−t2+52)2+(2t−1)2=90
⇔214t2−212t−3154=0⇔[t=5t=−3t>0→t=5⇒M(5;−1;10)
Vậy a+b+c=14. Chọn B.
Bài tập 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(3;5;4),B(3;1;4)và mặt phẳng (P):x−y−z−1=0. Điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng 2√17. Biết điểm C có cao độ dương. Độ dài OC bằng: A. OC=5. B. OC=8. C. OC=√67. D. OC=√65. |
Lời giải chi tiết:
→AB=(0;−4;0), gọi I(3;3;4)là trung điểm của AB thì CI⊥AB(do tam giác ABC cân tại C).
Do CA=CB⇒Cthuộc mặt phẳng trung trực (Q) của AB có phương trình (Q):y=3.
Gọi C∈(P)∩(Q):{y=3x−y−z−1=0⇔{y=3x−z=4
Gọi C(t;3;t−4)ta có: SABC=12.CI.AB=12√(t−3)2+(t−8)2.4=2√17⇔(t−3)2+(t−8)2=17
⇔2t2−22t+56=9⇔[t=4t=7⇒C(7;3;3),C(4;3;0).
Vì zC>0⇒C(7;3;3)⇒OC=√67. Chọn C.
Bài tập 6: Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;7;3);B(4;5;3) và mặt phẳng (P):x−y−z=−4. Điểm C trên (P) sao cho tam giác ABC đều. Tính P=OCmax. A. P=√66. B. P=√30. C. P=√76. D. P=2√3. |
Lời giải chi tiết:
Gọi M là trung điểm của AB ta có M(3;6;3);→AB(2;−2;0)
Do CA = CB nên C thuộc mặt phẳng trung trực của AB có phương trình (Q):x−y=−3
Do tam giác ABC đều nên BC=AB⇒BC2=AB2⇔(x−4)2+(y−5)2+(z−3)2=8.
Giải hệ phương phương trình
{x−y−z=−4x−y=−3(x−4)2+(y−5)2+(z−3)2=8⇒{z=1x+3=y(x−4)2+(x−2)2=4⇔{z=1,x=2,y=5z=1,x=4,y=7
Vậy C(2;5;1),C(4;7;1)là các điểm cần tìm suy ra OCmax=√66. Chọn A.
Bài tập 7: Cho hai điểm A(0;1;−1);B(2;3;1) và mặt phẳng (P):2x+y−z+4=0. Điểm M có hoành độ nguyên nằm trên (P) sao cho tam giác MAB cân tại M và có diện tích bằng4√6. Tính P = OM. A. P=2√5. B. P=√21. C. P=2√21. D. P=2√7. |
Lời giải chi tiết:
Gọi I là trung điểm của AB ta có I(1;2;0);→AB=(2;2;2)=2(1;1;1)⇒{MI⊥ABAB=2√3
Do MA = MB nên M thuộc mặt phẳng trung trực của AB có phương trình (Q):x+y+z−3=0.
Khi đó M=(P)∩(Q), cho x=t⇒{y−z=−2t−4y+z=−t+3⇒{y=−32t−12z=t2+72⇒M(t;−32t−12;t2+72)
Lại có: SABC=12MI.AB=12MI.2√3=4√6⇒MI=4√2
⇔(t−1)2+(−3t2−52)2+(t2+72)2=32⇔7t22+9t−252=0⇔[t=1t=−257
Do M có hoành độ nguyên nên M(1;−2;4)⇒OM=√21. Chọn B.
Bài tập 8: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x−2y−z−5=0và các điểm A(3;−1;−3);B(5;1;1). Điểm C thuộc (P) sao cho mặt phẳng (ABC) vuông góc với (P) và diện tích tam giác ABC bằng√3. Tính P=OCmax A. P=5. B. P=√26. C. P=√13. D. P=√5. |
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng (Q) chứa AB vuông góc với (P) nên có VTPT là: →nQ=[→AB;→nP]=(1;1;−1)
Do đó phương trình mặt phẳng (Q) là: x+y−z−5=0⇒C∈(Q)⇒C=(P)∩(Q).
Phương trình giao tuyến của (Q) và (P) xét hệ {x+y−z−5=0x−2y−z−5=0. Cho x=t⇒{x=ty=0z=−5+t
Gọi C(t;0;t−5). Ta có SABC=12|[→AB;→AC]|=12√3(2t−8)2=√3|t−4|=√3⇔[t=5t=3
Vậy [C(5;0;0)C(3;0;−2)⇒[OC=5OC=√13⇒P=OCmax=5. Chọn A.
TOÁN LỚP 12