Cách Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA = MB và điểm M thỏa mãn điều kiện K cho trước - Tự Học 365

Cách Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA = MB và điểm M thỏa mãn điều kiện K cho trước

Cách Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA = MB và điểm M thỏa mãn điều kiện K cho trước

Cách Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA = MB và điểm M thỏa mãn điều kiện K cho trước

Phương pháp xác định điểm M trên mặt phẳng P sao cho MA=MB

Cách 1: Do MA=MBđiểm M thuộc mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của AB (mặt phẳng qua trung điểm của AB và vuông góc với AB).

Khi đó Md=(P)(Q), ta tham số hóa điểm M theo ẩn t và thế vào điều kiện K để tìm tọa độ điểm M.

Để viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q) ta có thể cho x=t và tìm yz theo ẩn t.

Cách 2: Gọi tọa độ M(x;y;z) giải hệ phương trình 3 ẩn 3 phương trình M(P);M(Q)và điều kiện K để tìm tọa độ điểm M.

Bài tập trắc nghiệm tìm điểm m trong tọa độ không gian oxyz

Bài tập 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;0;1),B(0;2;3) và mặt phẳng

(P):2xyz+4=0.Tìm điểm M trên (P) sao cho MA=MB=3.

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của AB đi qua I(1;1;2) và có VTPT là

n=AB=(2;2;2)suy ra (Q):x+yz+2=0M(P)(Q).

Cho x=t{y+z=2t+4yz=t2{y=12t+1z=32t+3M(t;t2+1;3t2+3)

Ta có: MA2=(t2)2+(t2+1)2+(3t2+2)2=972t2+3t=0[t=0M(0;1;3)t=67M(67;47;127).

Bài tập 2: Cho ba điểm A(3;1;2),B(1;1;0),C(0;1;2) và mặt phẳng (P):3x+2z5=0. Tìm điểm M trên (P) sao cho MA=MBMC=11.

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của AB đi qua I(1;1;1) có VTPT:

n=AB=(4;0;2)=2(2;0;1)(Q):2x+z3=0.

Khi đó điểm M=(P)(Q):{3x+2z5=02x+z3=0{x=1y=tz=1M(1;t;1)

Lại có: MC2=1+(t1)2+9=11(t1)2=1[t=0M(1;0;1)t=2M(1;2;1).

Bài tập 3: Cho ba điểm A(1;0;2),B(1;2;4),C(4;5;3) và mặt phẳng (P):x+y+3z10=0.

Tìm điểm M trên (P) sao cho MA=MBMBMC.

Lời giải chi tiết:

Trung điểm của AB là I(0;1;1)AB=(2;2;6)=2(1;1;3)

Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là: (Q):xy3z+4=0

Khi đó điểm M=(P)(Q). Cho z=t{x+y=3t+10xy=3t4{x=3y=3t+7M(3;3t+7;t)

Mặt khác MBMCMB.MC=0(4;3t5;t+4)(1;3t2;3t)=0

4+(3t5)(3t2)+(4t)(3t)=010t228t+18=0[t=1M(3;4;1)t=95M(3;85;95).

Bài tập 4: Cho hai điểm A(2;1;1);B(0;3;3) và mặt phẳng (P):2xz=0.

Điểm M(a;b;c)trên (P) thỏa mãn MA=MB=310. Biết xM>0, tính giá trị của biểu thức T=a+b+c.

A. T=9. B. T=14. C. T=12. D. T=9.

Lời giải chi tiết:

Trung điểm của AB là I(1;1;2)AB=(2;4;2)=2(1;2;1)

Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là: (Q):x2yz+3=0

Khi đó điểm M=(P)(Q). Cho x=t{t=z2y=xz+3{z=2ty=t+32(với xM=t>0)

Suy ra M(t;t2+32;2t), lại có: MA2=(t2)2+(t2+52)2+(2t1)2=90

214t2212t3154=0[t=5t=3t>0t=5M(5;1;10)

Vậy a+b+c=14. Chọn B.

Bài tập 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(3;5;4),B(3;1;4)và mặt phẳng

(P):xyz1=0. Điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng 217. Biết điểm C có cao độ dương. Độ dài OC bằng:

A. OC=5. B. OC=8. C. OC=67. D. OC=65.

Lời giải chi tiết:

AB=(0;4;0), gọi I(3;3;4)là trung điểm của AB thì CIAB(do tam giác ABC cân tại C).

Do CA=CBCthuộc mặt phẳng trung trực (Q) của AB có phương trình (Q):y=3.

Gọi C(P)(Q):{y=3xyz1=0{y=3xz=4

Gọi C(t;3;t4)ta có: SABC=12.CI.AB=12(t3)2+(t8)2.4=217(t3)2+(t8)2=17

2t222t+56=9[t=4t=7C(7;3;3),C(4;3;0).

zC>0C(7;3;3)OC=67. Chọn C.

Bài tập 6: Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;7;3);B(4;5;3) và mặt phẳng

(P):xyz=4. Điểm C trên (P) sao cho tam giác ABC đều. Tính P=OCmax.

A. P=66. B. P=30. C. P=76. D. P=23.

Lời giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của AB ta có M(3;6;3);AB(2;2;0)

Do CA = CB nên C thuộc mặt phẳng trung trực của AB có phương trình (Q):xy=3

Do tam giác ABC đều nên BC=ABBC2=AB2(x4)2+(y5)2+(z3)2=8.

Giải hệ phương phương trình

{xyz=4xy=3(x4)2+(y5)2+(z3)2=8{z=1x+3=y(x4)2+(x2)2=4{z=1,x=2,y=5z=1,x=4,y=7

Vậy C(2;5;1),C(4;7;1)là các điểm cần tìm suy ra OCmax=66. Chọn A.

Bài tập 7: Cho hai điểm A(0;1;1);B(2;3;1) và mặt phẳng (P):2x+yz+4=0.

Điểm M có hoành độ nguyên nằm trên (P) sao cho tam giác MAB cân tại M và có diện tích bằng46. Tính P = OM.

A. P=25. B. P=21. C. P=221. D. P=27.

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của AB ta có I(1;2;0);AB=(2;2;2)=2(1;1;1){MIABAB=23

Do MA = MB nên M thuộc mặt phẳng trung trực của AB có phương trình (Q):x+y+z3=0.

Khi đó M=(P)(Q), cho x=t{yz=2t4y+z=t+3{y=32t12z=t2+72M(t;32t12;t2+72)

Lại có: SABC=12MI.AB=12MI.23=46MI=42

(t1)2+(3t252)2+(t2+72)2=327t22+9t252=0[t=1t=257

Do M có hoành độ nguyên nên M(1;2;4)OM=21. Chọn B.

Bài tập 8: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x2yz5=0và các điểm

A(3;1;3);B(5;1;1). Điểm C thuộc (P) sao cho mặt phẳng (ABC) vuông góc với (P) và diện tích tam giác ABC bằng3. Tính P=OCmax

A. P=5. B. P=26. C. P=13. D. P=5.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng (Q) chứa AB vuông góc với (P) nên có VTPT là: nQ=[AB;nP]=(1;1;1)

Do đó phương trình mặt phẳng (Q) là: x+yz5=0C(Q)C=(P)(Q).

Phương trình giao tuyến của (Q) và (P) xét hệ {x+yz5=0x2yz5=0. Cho x=t{x=ty=0z=5+t

Gọi C(t;0;t5). Ta có SABC=12|[AB;AC]|=123(2t8)2=3|t4|=3[t=5t=3

Vậy [C(5;0;0)C(3;0;2)[OC=5OC=13P=OCmax=5. Chọn A.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12