Cách giải Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu – Bài tập có đáp án chi tiết

Cách giải Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu – Bài tập có đáp án

Phương pháp giải bài toán tương gia đường thẳng và mặt cầu

Xét sự tương giao của mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm I và bán kính R và đường thẳng D ta có:

§ D tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)\Leftrightarrow d\left( I;\textΔ \right)=R$.

§ D cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tại 2 điểm phân biệt A, B khi $d\left( I;\textΔ \right)<R$ khi đó hình chiếu vuông góc của điểm I trên D là trung điểm của AB và ${{d}^{2}}\left( I;\textΔ \right)+{{\left( \frac{AB}{2} \right)}^{2}}={{R}^{2}}$.

Bài tập vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Đường thẳng d đi qua điểm $M\left( 1;-5;-15 \right)$ và có vtcp là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;-2 \right);\text{ }\overrightarrow{IM}=\left( -1;-8;-14 \right)$.

Khi đó $d\left( I;d \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\frac{\left| \left( 30;-30;-15 \right) \right|}{\left| 2;1;-2 \right|}=15\Rightarrow R=\sqrt{{{d}^{2}}+{{\left( \frac{AB}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{15}^{2}}+{{8}^{2}}}=17$.

Do đó phương trình mặt cầu cần tìm là: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=289$.

Lời giải chi tiết

Đường thẳng d đi qua $E\left( 1;-2;-2 \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\left( 1;-1;0 \right)$.

Gọi I là tâm mặt cầu suy ra đường thẳng $IM\bot \left( P \right)\Rightarrow IM:\left\{ \begin{array} {} x=1+t \\ {} y=t \\ {} z=-2+t \\ \end{array} \right.$.

Khi đó gọi $I\left( 1+t;t;-2+t \right)\Rightarrow {{d}^{2}}\left( I;d \right)+{{\left( \frac{AB}{2} \right)}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow {{d}^{2}}\left( I;d \right)+2=I{{M}^{2}}$

Trong đó $d\left( I;d \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{IE};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\frac{\left| \left( -t;-t;2t+2 \right) \right|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6{{t}^{2}}+8t+4}}{\sqrt{2}}$ và $I{{M}^{2}}=3{{t}^{2}}$

Suy ra $3{{t}^{2}}+4t+2+2=3{{t}^{2}}\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow I\left( 0;-1;-3 \right);R=IM=\sqrt{3}$.

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là: ${{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=3$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;2;-1 \right)$, gọi H là trung điểm của AB ta có: $IH\bot AB$.

Khi đó $H\left( -1+t;2t;1-t \right)\Rightarrow \overrightarrow{IH}\left( -3+t;2t-1;1-t \right)\Rightarrow \overrightarrow{IH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow -3+t+4t-2+t-1=0$

$\Leftrightarrow t=1\Rightarrow H\left( 0;2;0 \right)$

Tam giác IAB vuông cân tại I nên ta có: $R=\sqrt{2}IH=\sqrt{2}\sqrt{4+1}=\sqrt{10}$

Do đó phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ cần tìm là: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=10$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $I\left( 1;-2;0 \right),R=\sqrt{5}$. Gọi $N\left( 2-t;3+2t;1+t \right)$. Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{\textΔ}}}=\overrightarrow{MN}\left( 1-t;4+2t;1+t \right)$

Mặt khác ${{\left( \frac{AB}{2} \right)}^{2}}+{{d}^{2}}\left( I;\textΔ \right)={{R}^{2}}\Rightarrow d\left( I;\textΔ \right)=1$

$d\left( I;\textΔ \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{MN} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{MN} \right|}=\sqrt{\frac{2{{t}^{2}}+2}{6{{t}^{2}}+16t+18}}=1\Leftrightarrow 4{{t}^{2}}+16t+16=0\Leftrightarrow t=-2$

dVới $t=-2\Rightarrow \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ :}\left\{ \begin{array} {} x=1+3t \\ {} y=-1 \\ {} z=-t \\ \end{array} \right.$là đường thẳng cần tìm.

Lời giải chi tiết

Gọi $I\left( 2+t;t;t+1 \right)\in {{\textΔ}_{1}}$ là tâm của mặt cầu. ${{\textΔ}_{2}}$ xác định qua $M\left( 2;0;-3 \right),\overrightarrow{{{u}_{{{\textΔ}_{2}}}}}=\left( 1;1;4 \right)$

Ta có: $d\left( I;{{\textΔ}_{2}} \right)=d\left( I;\left( P \right) \right)$. Khi đó $d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2+t-2t-2\left( 1+t \right)+10 \right|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{\left| 10-3t \right|}{3}$.

$\overrightarrow{IM}\left( -t;-t;-4-t \right)\Rightarrow d\left( I;{{\textΔ}_{2}} \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{{{u}_{{{\textΔ}_{2}}}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{{{\textΔ}_{2}}}}} \right|}=\frac{\sqrt{2{{\left( 3t-4 \right)}^{2}}}}{\sqrt{1+1+16}}=\frac{\left| 3t-4 \right|}{3}$

Cho $\frac{\left| 10-3t \right|}{3}=\frac{\left| 3t-4 \right|}{3}\Leftrightarrow t=\frac{7}{3}\Rightarrow I\left( \frac{13}{3};\frac{7}{3};\frac{10}{3} \right)$

Vậy phương trình mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-\frac{13}{3} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{7}{3} \right)}^{2}}+{{\left( z-\frac{10}{3} \right)}^{2}}=1$.

Lời giải chi tiết

Gọi $H\left( 0;0;5 \right)$ là hình chiếu vuông góc của A xuống trục Oz.

Khi đó tam giác OHB vuông cân tại H suy ra $OH=\frac{R}{\sqrt{2}}\Rightarrow R=OH\sqrt{2}=2\sqrt{10}$.

Suy ra $\left( S \right):{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=40$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d $\Rightarrow H\left( 2t+2;2t+1;-t-1 \right)$. Đường thẳng d có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;2;-1 \right)$. Sử dụng $\overrightarrow{IH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow t=-\frac{2}{3}\Leftrightarrow H\left( \frac{2}{3};-\frac{1}{3};-\frac{1}{3} \right)\Rightarrow IH=2$.

Hoặc ta có $IH=d\left( I;d \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{I{{M}_{0}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=2$.

Tam giác IAB vuông cân tại I nên $R=IA=\sqrt{2}.IH=2\sqrt{2}$.

Suy ra phương trình mặt cầu là: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=8$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Gọi $I\left( t;-6+t;2-t \right)$ là tâm của mặt cầu và R là bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$.

Ta có $R=d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| t+3\left( -6+t \right)-\left( 2-t \right)-1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=\frac{\left| 5t-21 \right|}{\sqrt{11}}\text{ }\left( 1 \right)$.

Điểm $A\left( 5;1;-1 \right)\in \left( \textΔ \right)\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\left( t-5;t-7;3-t \right)$ suy ra VTCP của $\textΔ$ là $u=\left( 2;1;-1 \right)$.

Mặt khác $R=d\left( I;\left( \textΔ \right) \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{AI} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\frac{\sqrt{2{{t}^{2}}-20t+98}}{\sqrt{6}}\text{ }\left( 2 \right)$.

Từ (1), (2) ta được $\frac{\left| 5t-21 \right|}{\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{2{{t}^{2}}-20t+98}}{\sqrt{6}}\Rightarrow t=2\Rightarrow {{x}_{I}}=2\Rightarrow {{y}_{I}}=-4$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm là $I\left( -1;-1;-1 \right)$, bán kính $R=3$.

Ta có: $\overrightarrow{IA}=\left( 3;4;0 \right)\Rightarrow IA=5$.

Vì AM là tiếp tuyến của mặt cầu nên ta có: $AM\bot IM\Rightarrow AM=\sqrt{I{{A}^{2}}-I{{M}^{2}}}=4$.

Gọi $\left( {{S}'} \right)$ là mặt cầu tâm A, bán kính ${R}'=4$.

Ta có phương trình mặt cầu $\left( {{S}'} \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=16$

Vì $AM=4$ nên điểm M luôn thuộc mặt cầu $\left( S \right)$

Vậy $M\in \left( S \right)\cap \left( {{S}'} \right)\Rightarrow$ tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

$\left\{ \begin{array} {} {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9\text{ }\left( 1 \right) \\ {} {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=16\text{ }\left( 2 \right) \\ \end{array} \right.\xrightarrow{\left( 1 \right)-\left( 2 \right)}6x+8y-11=-7\text{ hay }M\in \left( P \right):3x+4y-2=0$. Chọn C.