Cách giải dạng bài mạch rlc có tần số f thay đổi

LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM, PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BÀI TẬP MẠCH RLC CÓ TẦN SỐ THAY ĐỔI

Dạng 1: Bài toán cực trị

Phương pháp và hướng dẫn giải

Giả sử có mạch RLC với $\omega $(hay f ) thay đổi. Khảo sát:

a) ${{I}_{\max }},{{U}_{R\max }},{{P}_{\max }}$.

b) ${{U}_{L\max }}$.

c) ${{U}_{C\max }}$.

HD giải: Ta có $I=\frac{U}{Z}=\frac{U}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}\le \frac{U}{R}$

Vậy ${{I}_{\max }}=\frac{U}{R}$ khi xảy ra cộng hưởng điện: ${{Z}_{L}}={{Z}_{C}}\Rightarrow \omega ={{\omega }_{0}}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$.

Khi đó ${{U}_{R\max }}=R.{{I}_{\max }}=U,{{P}_{\max }}=RI_{\max }^{2}=\frac{{{U}^{2}}}{R}$.

b) Ta có: ${{U}_{L}}={{Z}_{L}}.\frac{U}{Z}=L\omega .\frac{U}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( L\omega -\frac{1}{C\omega } \right)}^{2}}}}=\frac{UL}{\sqrt{\frac{{{R}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+{{\left( L-\frac{1}{C{{\omega }^{2}}} \right)}^{2}}}}$.

Xét $y=\frac{{{R}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+{{\left( L-\frac{1}{C{{\omega }^{2}}} \right)}^{2}}=\frac{\frac{1}{{{C}^{2}}}}{{{\omega }^{4}}}-\left( \frac{2L}{C}-{{R}^{2}} \right).\frac{1}{{{\omega }^{2}}}+{{L}^{2}}=f\left( \frac{1}{{{\omega }^{2}}} \right).$

Ta có: $f\left( \frac{1}{{{\omega }^{2}}} \right)$ là tam thức bậc hai có $a=\frac{1}{{{C}^{2}}}>0.$

Khi đó ${{y}_{\min }}$đạt được khi $\frac{1}{{{\omega }^{2}}}=\frac{-b}{2a}=\frac{\frac{2L}{C}-{{R}^{2}}}{\frac{2}{{{C}^{2}}}}\Rightarrow {{\omega }_{L}}=\frac{1}{C}\frac{1}{\sqrt{\frac{L}{C}-\frac{{{R}^{2}}}{2}}}.$

Suy ra ${{y}_{\min }}=\frac{-\Delta }{4a}\Rightarrow {{U}_{L\max }}=\frac{2UL}{R\sqrt{4LC-{{R}^{2}}{{C}^{2}}}}$.

Kết luận: $$

Chú ý: Một số các kết quả quan trọng.

+)$$ (Đây là kết quả quan trọng nhất).

+) Ta có: $Z_{C}^{2}=\frac{L}{C}-\frac{{{R}^{2}}}{2}={{Z}_{L}}{{Z}_{C}}-\frac{{{R}^{2}}}{2}\Rightarrow 2Z_{C}^{2}=2{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}-{{R}^{2}}$

$\Leftrightarrow Z_{L}^{2}={{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}+Z_{C}^{2}\Leftrightarrow Z_{L}^{2}={{Z}^{2}}+Z_{C}^{2}$

Vậy $$ $$

+) Ta có: $Z_{C}^{2}={{Z}_{L}}{{Z}_{C}}-\frac{{{R}^{2}}}{2}\Rightarrow {{Z}_{C}}\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)=\frac{{{R}^{2}}}{2}\Rightarrow \frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R}.\frac{-{{Z}_{C}}}{R}=\frac{-1}{2}$

Vậy: $$ .

d) Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có:

$\omega $thay đổi để ${{U}_{C\max }}$suy ra:$$

Chú ý:Một số các kết quả quan trọng.

+)$$ (Đây là kết quả quan trọng nhất).

+)$$

+)$$ . .

Đặt $X=\sqrt{\frac{L}{C}-\frac{{{R}^{2}}}{2}}=\sqrt{{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}-\frac{{{R}^{2}}}{2}}$

Công thức quan trọng nhất ta cần nhớ khi $\omega $ thay đổi để ${{U}_{L\max }}$ và ${{U}_{C\max }}$lần lượt là:

Khi ${{U}_{L\max }}\Rightarrow X={{Z}_{C}}$ và khi ${{U}_{C\max }}\Rightarrow X={{Z}_{L}}$.

Hệ quả quan trọng khác:

+)$\left\{ \begin{array}{} {{\omega }_{C}}=\frac{1}{L}\sqrt{\frac{L}{C}-\frac{{{R}^{2}}}{2}} \\ {} {{\omega }_{R}}=\frac{1}{\sqrt{LC}} \\ {} {{\omega }_{L}}=\frac{1}{C}\frac{1}{\sqrt{\frac{L}{C}-\frac{{{R}^{2}}}{2}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{\omega }_{L}}.{{\omega }_{C}}=\omega _{R}^{2} \\ {} {{\omega }_{C}}<{{\omega }_{R}}<{{\omega }_{L}} \\ \end{array} \right..$

+) Chứng minh được: ${{U}_{L\max }}={{U}_{C\max }}=\frac{U}{\sqrt{1-{{\left( \frac{{{\omega }_{C}}}{{{\omega }_{L}}} \right)}^{2}}}}$.

VÍ DỤ MINH HỌA DẠNG 1

Ví dụ 1: Cho mạch RLC nối tiếp có $\omega $thay đổi. Biết rằng $R=200\Omega $ ,$L=\frac{2}{\pi }\left( H \right)$và $C=\frac{{{10}^{-4}}}{3\pi }\left( F \right)$. Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều $u=200\sqrt{2}\cos \omega t$(V). Tìm a) ${{I}_{\max }},{{U}_{R\max }},{{P}_{\max }}$ b) Khi ${{U}_{L\max }}$ hãy tìm ${{U}_{L\max }}$, P và $\cos \varphi $ khi đó. c) Khi ${{U}_{C\max }}$ hãy tìm ${{U}_{C\max }}$, P và $\cos \varphi $ khi đó.

HD giải:

a) Khi $\omega $ thay đổi thì: $I=\frac{U}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}\le \frac{U}{R}=1$(A) .

Khi đó ${{U}_{R\max }}=I.R=U=200V,{{P}_{\max }}=R{{I}^{2}}=200.{{I}^{2}}=200W$.

b) Để ${{U}_{L\max }}$ thì ${{Z}_{C}}=X=\sqrt{\frac{L}{C}-\frac{{{R}^{2}}}{2}}=200\Omega \Rightarrow {{\omega }_{L}}=150\pi \left( rad\text{/}s \right)$, suy ra ${{Z}_{L}}=300\Omega $.

Do đó $Z=100\sqrt{5}\Omega \Rightarrow {{U}_{L\max }}=\frac{U}{Z}.{{Z}_{L}}=120\sqrt{5}$V.

Khi đó $P=R{{I}^{2}}=R.{{\left( \frac{U}{Z} \right)}^{2}}=160W,\cos \varphi =\frac{R}{Z}=\frac{2}{\sqrt{5}}$.

c) Để ${{U}_{C\max }}$thì ${{Z}_{L}}=X=\sqrt{\frac{L}{C}-\frac{{{R}^{2}}}{2}}=200\Omega \Rightarrow \omega =100\pi \left( rad\text{/}s \right)\Rightarrow {{Z}_{C}}=300\Omega $.

Khi đó $Z=100\sqrt{5}\Omega \Rightarrow {{U}_{C\max }}=\frac{U}{Z}.{{Z}_{C}}=120\sqrt{5}$(V).

Suy ra $P=R{{I}^{2}}=160W,\cos \varphi =\frac{2}{\sqrt{5}}$.

Ví dụ 2: Cho mạch điện gồm R,L,C mắc nối tiếp. Cho $R=40\Omega $,$L=1\left( H \right)$và $C=625\left( \mu F \right)$. Đặt vào hai đầu mạch điện một điện áp xoay chiều $u=220\cos \omega t$(V),trong đó $\omega $ thay đổi được. Khi $\omega ={{\omega }_{0}}$điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm L đạt giá trị cực đại. ${{\omega }_{0}}$có thể nhận giá trị nào sau đây? A. ${{\omega }_{0}}=56,6$rad/s. B. ${{\omega }_{0}}=40$rad/s. C. ${{\omega }_{0}}=60$rad/s. D. ${{\omega }_{0}}=50,6$rad/s.

HD giải

Khi $\omega $ thay đổi để ${{U}_{L\max }}$ thì ${{Z}_{C}}=X=\sqrt{\frac{L}{C}-\frac{{{R}^{2}}}{2}}=20\sqrt{2}$

$\Rightarrow \omega =\frac{1}{CX}=56,6$rad/s. Chọn A.

Ví dụ 3: Cho mạch RLC nối tiếp có $\omega $thay đổi. Biết rằng $C{{R}^{2}}<2L$và khi ${{U}_{C\max }}$thì $2{{U}_{L}}={{U}_{R}}$. Tính $\cos \varphi $ khi đó: A. $\cos \varphi =\frac{1}{\sqrt{2}}$. B. $\cos \varphi =-1$. C. $\cos \varphi =\frac{-1}{\sqrt{2}}$. D. $\cos \varphi =\frac{1}{2}$.

HD giải

Khi ${{U}_{C\max }}$ thì $\tan \varphi .\tan {{\varphi }_{RL}}=\frac{-1}{2}$.

Mặt khác $\tan {{\varphi }_{RL}}=\frac{{{Z}_{L}}}{R}=\frac{{{U}_{L}}}{{{U}_{R}}}=0,5\Rightarrow \tan \varphi =-1\Rightarrow \varphi =-\frac{\pi }{4}\Rightarrow \cos \varphi =\frac{1}{\sqrt{2}}$. Chọn A.

Ví dụ 4: Một mạch điện xoay chiều AB gồm điện trở thuần R, cuộn dây thuần cảm L, tụ điện C theo thứ tự mắc nối tiếp , với $C{{R}^{2}}<2L$. Gọi M là điểm nối giữa cuộn dây L và tụ điện C. Đặt vào 2 đầu đoạn mạch 1 điện áp xoay chiều có biểu thức $u={{U}_{0}}\cos \omega t$ với $\omega $thay đổi được. Thay đổi $\omega $để điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ đạt giá trị cực đại khi đó ${{U}_{C\max }}=1,25U$. Hệ số công suất của đoạn mạch AM là: A. $\frac{1}{\sqrt{3}}$. B. $\frac{2}{\sqrt{5}}$. C. $\frac{1}{\sqrt{7}}$. D. $\frac{2}{\sqrt{7}}$.

HD HDLời giải

Khi ${{U}_{C\max }}$ta có: $U_{C}^{2}={{U}^{2}}+U_{L}^{2}\Rightarrow {{U}_{L}}=0,75U$.

Lại có: ${{U}^{2}}=U_{R}^{2}+{{\left( {{U}_{L}}-{{U}_{C}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{U}_{R}}=\frac{\sqrt{3}}{2}U$.

Do đó $\cos {{\varphi }_{AM}}=\frac{{{U}_{R}}}{\sqrt{U_{R}^{2}+U_{L}^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{7}}$. Chọn D.

Ví dụ 5: Cho mạch điện xoay chiều không phân nhánh RLC có tần số dòng điện thay đổi được. Biết rằng $C{{R}^{2}}<2L$, gọi${{f}_{1,}}{{f}_{2}},{{f}_{3}}$ lần lượt là các giá trị của tần số dòng điện làm cho ${{U}_{R\max }},{{U}_{L\max }},{{U}_{C\max }}$. Ta có biểu thức: A. $f_{1}^{2}={{f}_{2}}{{f}_{3}}$. B. ${{f}_{1}}=\frac{{{f}_{2}}{{f}_{3}}}{{{f}_{2}}+{{f}_{3}}}$. C. ${{f}_{1}}={{f}_{2}}+{{f}_{3}}$. D. $f_{1}^{2}=\frac{1}{2}\left( f_{2}^{2}+f_{3}^{2} \right)$.

HD giải

Ta có: $\left\{ \begin{array}{} {{\omega }_{C}}=\frac{1}{L}\sqrt{\frac{L}{C}-\frac{{{R}^{2}}}{2}} \\{} {{\omega }_{R}}=\frac{1}{\sqrt{LC}} \\ {} {{\omega }_{L}}=\frac{1}{C}.\frac{1}{\sqrt{\frac{L}{C}-\frac{{{R}^{2}}}{2}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{\omega }_{L}}.{{\omega }_{C}}=\omega _{R}^{2}\Rightarrow f_{1}^{2}={{f}_{2}}{{f}_{3}}$. Chọn A.

Ví dụ 6: Đặt một điện áp $u={{U}_{0}}\cos \omega t$(${{U}_{0}}$không đổi, tần số f thay đổi được) vào 2 đầu đoạn mạch gồm R,L,C mắc nối tiếp thỏa mãn điều kiện:$C{{R}^{2}}<2L$. Gọi ${{V}_{1}},{{V}_{2}},{{V}_{3}}$ lần lượt là các vôn kế mắc vào 2 đầu R,L,C. Khi tăng dần tần số đến các giá trị ${{f}_{1,}}{{f}_{2}},{{f}_{3}}$ thì thấy trên mỗi vôn kế đều có 1 giá trị cực đại, thứ tự lần lượt các vôn kế chỉ giá trị cực đại của R, L,C. Thứ tự tăng dần tần số là: A. ${{f}_{1}},{{f}_{2}},{{f}_{3}}$. B. ${{f}_{3}},{{f}_{2}},{{f}_{1}}$. C. ${{f}_{3}},{{f}_{1}},{{f}_{2}}$. D. ${{f}_{1}},{{f}_{3}},{{f}_{2}}$.

HD giải

Ta có:$\left\{ \begin{array}{} {{\omega }_{C}}=\frac{1}{L}\sqrt{\frac{L}{C}-\frac{{{R}^{2}}}{2}},{{\omega }_{R}}=\frac{1}{\sqrt{LC}} \\ {} {{\omega }_{L}}=\frac{1}{C}.\frac{1}{\sqrt{\frac{L}{C}-\frac{{{R}^{2}}}{2}}} \\

\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{\omega }_{L}}.{{\omega }_{C}}=\omega _{R}^{2} \\ {} {{\omega }_{C}}<{{\omega }_{R}}<{{\omega }_{L}}\Rightarrow {{f}_{C}}<{{f}_{R}}<{{f}_{L}} \\ \end{array} \right.$

$\Rightarrow {{f}_{3}}<{{f}_{1}}<{{f}_{2}}$. Chọn C.

Ví dụ 7: [Trích đề thi Đại học năm 2013 ]. Đặt điện áp $u=120\sqrt{2}\cos 2\pi ft\left( V \right)$ (f thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch nối tiếp gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, điện trở R và tụ điện có điện dung C, với $C{{R}^{2}}<2L$. Khi $f={{f}_{1}}$ thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện đạt cực đại. Khi $f={{f}_{2}}={{f}_{1}}\sqrt{2}$ thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu điện trở đạt cực đại. Khi$f={{f}_{3}}$ thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt cực đại ${{U}_{L\max }}$. Giá trị của ${{U}_{L\max }}$ gần giá trị nào nhất sau đây? A. 173 V. B. 57 V. C. 145 V. D. 85 V.

HD giải

Ta có:$\left\{ \begin{array}{} {{\omega }_{C}}=\frac{1}{L}\sqrt{\frac{L}{C}-\frac{{{R}^{2}}}{2}},{{\omega }_{R}}=\frac{1}{\sqrt{LC}} \\ {} {{\omega }_{L}}=\frac{1}{C}.\frac{1}{\sqrt{\frac{L}{C}-\frac{{{R}^{2}}}{2}}} \\ \end{array} \right.;{{U}_{L\max }}={{U}_{C\max }}=\frac{U}{\sqrt{1-{{\left( \frac{{{f}_{C}}}{{{f}_{L}}} \right)}^{2}}}}$

Trong đó ta có:${{f}_{C}}.{{f}_{L}}=f_{R}^{2}\Rightarrow {{f}_{1}}.{{f}_{L}}=2f_{1}^{2}\Rightarrow {{f}_{L}}=2{{f}_{1}}\Rightarrow {{U}_{L\max }}=\frac{120}{\sqrt{1-0,{{5}^{2}}}}=138,56$V.

Chọn C

Ví dụ 8: Cho đoạn mạch không phân nhánh RLC, $R=80\Omega $cuộn dây có điện trở $r=20\Omega $ , độ tự cảm $L=0,318$(H) , tụ điện có điện dung $C=15,9\left( \mu F \right)$. Đặt vào hai đầu mạch điện một dòng điện xoay chiều có tần số f thay đổi được có điện áp hiệu dụng là 200 V. Khi công suất trên toàn mạch đạt giá trị cực đại thì giá trị của f và P lần lượt là: A. f = 70,78 Hz và P = 400 W B. f = 70,78 Hz và P = 500 W C. f = 444,7 Hz và P = 2000 W D. f = 31,48 Hz và P = 400 W

HD giải

Ta có: ${{P}_{\max }}\Leftrightarrow {{\left( \left( R+r \right){{I}^{2}} \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}\Leftrightarrow f=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}=70,78$ Hz.

Khi đó: ${{P}_{\max }}=\left( R+r \right){{I}^{2}}=\left( R+r \right).\frac{{{U}^{2}}}{{{\left( R+r \right)}^{2}}}=\frac{{{U}^{2}}}{R+r}=400$W. Chọn A.

Ví dụ 9: Cho đoạn mạch không phân nhánh RLC có $R=100\Omega $, cuộn dây có thuần cảm có độ tự cảm $L=1,59$(H), tụ điện có điện dung $C=31,8\left( \mu F \right)$. Đặt vào hai đầu mạch điện một dòng điện xoay chiều có tần số f thay đổi được có điện áp hiệu dụng là 200 V. Khi điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn dây đạt giá trị cực đại thì tần số f có giá trị là: A. f = 148,2 Hz. B. f = 21,34 Hz. C. f = 44,7 Hz. D. f = 23,6 Hz.

HD giải

Khi $\omega $thay đổi cho ${{U}_{L\max }}\Rightarrow {{Z}_{C}}=X=\sqrt{\frac{L}{C}-\frac{{{R}^{2}}}{2}}=212,132$

$\Rightarrow {{f}_{L}}=\frac{1}{2\pi C.X}=23,6$Hz. Chọn D.

Ví dụ 10: Cho đoạn mạch không phân nhánh RLC, $R=80\Omega $ cuộn dây có điện trở $r=20\Omega $, độ tự cảm $L=0,318$(H), tụ điện có điện dung $C=15,9\left( \mu F \right)$. Đặt vào hai đầu mạch điện một dòng điện xoay chiều có tần số f thay đổi được có điện áp hiệu dụng là 200 V. Khi điện áp hiệu dụng hai đầu tụ C đạt giá trị cực đại thì tần số f có giá trị là A. f = 70,45 Hz. B. f = 192,6 Hz. C. f = 61,3 Hz. D. f = 385,1 Hz.

HD giải

Khi $\omega $thay đổi cho ${{U}_{C\max }}\Rightarrow {{Z}_{L}}=X=\sqrt{\frac{L}{C}-\frac{{{\left( R+r \right)}^{2}}}{2}}=50\sqrt{6}\Omega $

$\Rightarrow {{f}_{C}}=\frac{1}{2\pi L}=61,3$Hz. Chọn C.

Ví dụ 11: [Trích đề thi Đại học năm 2012] . Đặt điện áp $u={{U}_{0}}\cos 2\pi ft$vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần R, cuộn dây thuần có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp . Gọi ${{U}_{R}},{{U}_{L}},{{U}_{C}}$ lần lượt là điện áp giữa hai đầu điện trở, hai đầu cuộn cảm và hai đầu tụ điện. Trường hợp nào sau đây, điện áp tức thời giữa hai đầu đoạn mạch cùng pha với điện áp giữa hai đầu điện trở? A. Thay đổi C để ${{U}_{R\max }}$. B. Thay đổi R để ${{U}_{C\max }}$. C. Thay đổi f để ${{U}_{C\max }}$. D. Thay đổi L để ${{U}_{L\max }}$.

HD giải

Để U cùng pha với ${{U}_{R}}$ khi xảy ra cộng hưởng điện.

Mặt khác khi $\omega $ thay đổi cho ${{U}_{R\max }}$ thì ${{Z}_{L}}={{Z}_{C}},{{U}_{R\max }}=U$. Chọn A.

Ví dụ 12: [Trích đề chuyên KHTN lần 2017]. Đặt điện áp $u=U\sqrt{2}\cos 2\pi ft$(V) (f thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp theo đúng thứ tự gồm điện trở thuần R, cuộn dây thuần cảm L và tụ điện có điện dung C, với $2L>{{R}^{2}}C$ . Khi $f={{f}_{C}}$ thì ${{U}_{C\max }}$và mạch điện tiêu thụ một công suất bằng $\frac{2}{3}$công suất cực đại. Khi $f=2\sqrt{2}{{f}_{C}}$ thì hệ số công suất của mạch là: A. $\frac{2}{\sqrt{5}}$. B. $\frac{2}{\sqrt{13}}$. C. $\frac{1}{\sqrt{13}}$. D. $\frac{1}{\sqrt{5}}$.

HD giải

Khi $\omega ={{\omega }_{C}}$ ta có: $Z_{L}^{2}={{Z}_{L}}{{Z}_{C}}-\frac{{{R}^{2}}}{2}$.

Ta có: $P=\frac{2{{P}_{\max }}}{3}\Leftrightarrow \frac{{{U}^{2}}}{R}{{\cos }^{2}}\varphi =\frac{2}{3}\frac{{{U}^{2}}}{R}\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}\varphi =\frac{2}{3}$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{} {{\cos }^{2}}\varphi =\frac{2}{3} \\ {} Z_{L}^{2}={{Z}_{L}}{{Z}_{C}}-\frac{{{R}^{2}}}{2} \\

\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} \frac{{{R}^{2}}}{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=\frac{2}{3} \\ {} {{Z}_{L}}\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)=\frac{-{{R}^{2}}}{2} \\

\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} {{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}=\frac{1}{2}{{R}^{2}} \\ {} {{Z}_{L}}\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)=\frac{-{{R}^{2}}}{2} \\ \end{array} \right.$

Chuẩn hóa $R=1\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{Z}_{C}}-{{Z}_{L}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ {} {{Z}_{L}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{Z}_{L}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ {} {{Z}_{C}}=\sqrt{2} \\ \end{array} \right.$.

Khi $\omega =2\sqrt{2}{{\omega }_{C}}\Rightarrow {{Z}_{L}}=2;{{Z}_{C}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \cos \varphi =\frac{1}{\sqrt{1+{{\left( 2-\frac{1}{2} \right)}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{13}}$. Chọn B.

Ví dụ 13: [Trích đề thi sở GD ĐT Thanh Hóa 2017] Đặt điện áp $u=45\sqrt{26}\cos \omega t$(V) ($\omega $có thể thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần R, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L, tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp (với $2L>C{{R}^{2}}$). Điều chỉnh $\omega $đến giá trị sao cho $\frac{{{Z}_{L}}}{{{Z}_{C}}}=\frac{2}{11}$ thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện đạt cực đại. Giá trị cực đại đó bằng A. 180 V. B. 205 V. C. 165 V. D. 200 V.

HD giải

$\omega $ thay đổi để ${{U}_{C\max }}$ suy ra ${{\omega }_{C}}=\frac{1}{L}\sqrt{\frac{L}{C}-\frac{{{R}^{2}}}{2}}\Rightarrow Z_{L}^{2}={{Z}_{L}}{{Z}_{C}}-\frac{{{R}^{2}}}{2}$

Chuẩn hóa: ${{Z}_{L}}=2;{{Z}_{C}}=11\Rightarrow R=6$.

${{U}_{C\max }}=\frac{2UL}{R\sqrt{4LC-{{R}^{2}}{{C}^{2}}}}=\frac{2U}{R\sqrt{\frac{4C}{L}-\frac{{{R}^{2}}.{{C}^{2}}}{{{L}^{2}}}}}=\frac{2U}{R\sqrt{\frac{4}{{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}}-\frac{{{R}^{2}}}{{{\left( {{Z}_{L}}{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}}$

$=\frac{2.45\sqrt{13}}{6\sqrt{\frac{4}{12}-\frac{36}{{{\left( 2.11 \right)}^{2}}}}}=165$V. Chọn C.

Ví dụ 14: [Trích đề thi Chuyên ĐH Sư Phạm HN 2017] Đặt điện áp xoay chiều ổn định vào mạch điện gồm cuộn dây có độ tự cảm L và điện trở R nối tiếp với tụ C ($C{{R}^{2}}<2L$). Thay đổi tần số góc đến giá trị ${{\omega }_{0}}$ thì điện áp giữa hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại, khi đó độ lệch pha giữa điện áp hai đầu cuộn dây và điện áp hai đầu mạch điện có giá trị nhỏ nhất là A. $90{}^\circ $. B. $86,67{}^\circ $. C. $60{}^\circ $. D. $70,52{}^\circ $.

HD giải

$\omega $thay đổi để ${{U}_{C\max }}$ suy ra: $\tan \varphi .\tan {{\varphi }_{RL}}=-\frac{1}{2}\Rightarrow {{\varphi }_{{u}/{i}\;}}<0$

Trong đó $\varphi <0;{{\varphi }_{RL}}>0$. Ta có: $\tan \left( {{\varphi }_{RL}}-\varphi \right)=\frac{\tan {{\varphi }_{RL}}-\tan \varphi }{1+\tan {{\varphi }_{RL}}\tan \varphi }=\frac{\tan {{\varphi }_{RL}}-\tan \varphi }{0,5}$

$=\frac{\tan {{\varphi }_{RL}}+\tan \left( -\varphi \right)}{0,5}\ge \frac{2\sqrt{\tan {{\varphi }_{RL}}.tan\left( -\varphi \right)}}{0,5}=2\sqrt{2}$.

Suy ra ${{\varphi }_{RL}}-\varphi \ge 70,52{}^\circ $. Chọn D.

Dạng 2: Bài toán hai giá trị

Phương pháp và hướng dẫn giải

Giả sử có mạch RLC với $\omega $(hay f ) thay đổi.

 Công thức 1: Khi $\omega ={{\omega }_{1}}$,$\omega ={{\omega }_{2}}$ để $I,P,{{U}_{R}}$ không đổi.

Gọi $\omega ={{\omega }_{0}}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ là giá trị để $I,P,{{U}_{R}}$ max (cộng hưởng).

Ta có: $$ ${{I}_{1}}={{I}_{2}}\Leftrightarrow \frac{U}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L1}}-{{Z}_{C1}} \right)}^{2}}}}=\frac{{{U}^{2}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L2}}-{{Z}_{C2}} \right)}^{2}}}}$$\Leftrightarrow {{\left( L{{\omega }_{1}}-\frac{1}{C{{\omega }_{1}}} \right)}^{2}}={{\left( L{{\omega }_{2}}-\frac{1}{C{{\omega }_{2}}} \right)}^{2}}\Rightarrow L{{\omega }_{1}}-\frac{1}{C{{\omega }_{1}}}=-L{{\omega }_{2}}+\frac{1}{C{{\omega }_{2}}}$. (Do ${{\omega }_{1}}\ne {{\omega }_{2}}$)

Khi đó $L\left( {{\omega }_{1}}+{{\omega }_{2}} \right)=\frac{1}{C}\left( \frac{1}{{{\omega }_{1}}}+\frac{1}{{{\omega }_{2}}} \right)\Leftrightarrow {{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}=\frac{1}{LC}=\omega _{0}^{2}$.

Như vậy: ${{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}=\omega _{0}^{2}$ hay ${{f}_{1}}{{f}_{2}}=f_{0}^{2}$ từ đó suy ra $\left\{ \begin{array}{} {{Z}_{L1}}={{Z}_{C2}} \\ {} {{Z}_{L2}}={{Z}_{C1}} \\ \end{array} \right.$.

 Công thức 2: Khi $\omega ={{\omega }_{R}}\Rightarrow {{U}_{R\max }}$, khi $\omega ={{\omega }_{L}}\Rightarrow {{U}_{L\max }}$ và $\omega ={{\omega }_{C}}\Rightarrow {{U}_{C\max }}$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{} \omega _{R}^{2}={{\omega }_{L}}.{{\omega }_{C}} \\ {} {{\omega }_{C}}<{{\omega }_{R}}<{{\omega }_{L}} \\ \end{array} \right.$.

 Công thức 3: Khi $\omega ={{\omega }_{1}}$và $\omega ={{\omega }_{2}}$thì ${{U}_{L}}$không đổi, gọi $\omega ={{\omega }_{L}}$ để ${{U}_{L\max }}$.

Ta có:$$ ${{U}_{L}}=\frac{{{Z}_{L}}.U}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}=\frac{U.L}{\sqrt{{{\left( \frac{R}{\omega } \right)}^{2}}+{{\left( L-\frac{1}{C{{\omega }^{2}}} \right)}^{2}}}}$.

Suy ra ${{\left( \frac{R}{\omega } \right)}^{2}}+{{\left( L-\frac{1}{C{{\omega }^{2}}} \right)}^{2}}={{\left( \frac{U.L}{{{U}_{L}}} \right)}^{2}}=k\Rightarrow \frac{1}{{{C}^{2}}{{\omega }^{4}}}+\frac{{{R}^{2}}-2{L}/{C}\;}{{{\omega }^{2}}}+{{L}^{2}}-k=0$(*)

Áp dụng Viet cho PT (*) ta có: $\frac{1}{\omega _{1}^{2}}+\frac{1}{\omega _{2}^{2}}=\frac{-b}{a}=2.\frac{-b}{2a}=2.\frac{1}{\omega _{L}^{2}}.$

Như vậy $\frac{1}{\omega _{1}^{2}}+\frac{1}{\omega _{2}^{2}}=\frac{2}{\omega _{L}^{2}}$.

 Công thức 4: Khi $\omega ={{\omega }_{1}}$ và $\omega ={{\omega }_{2}}$ thì ${{U}_{C}}$ không đổi, gọi $\omega ={{\omega }_{C}}$ để ${{U}_{C\max }}$.

Hoàn toàn tương tự ta có: $2\omega _{C}^{2}=\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}$.

VÍ DỤ MINH HỌA DẠNG 2:

Ví dụ 1: [Trích đề thi Đại học năm 2009] Đặt điện áp xoay chiều $u={{U}_{0}}\cos \omega t$có ${{U}_{0}}$không đổi và $\omega $thay đổi được vào hai đầu đoạn mạch có R,L,C mắc nối tiếp. Thay đổi $\omega $ thì cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch khi $\omega ={{\omega }_{1}}$ bằng cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch khi $\omega ={{\omega }_{2}}$. Hệ thức đúng là: A. ${{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$. B. ${{\omega }_{1}}+{{\omega }_{2}}=\frac{2}{LC}$. C. ${{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}=\frac{1}{LC}$. D. ${{\omega }_{1}}+{{\omega }_{2}}=\frac{2}{\sqrt{LC}}$.

HD giải

Ta có ${{I}_{1}}={{I}_{2}}\Leftrightarrow \frac{U}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L1}}-{{Z}_{C1}} \right)}^{2}}}}=\frac{{{U}^{2}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L2}}-{{Z}_{C2}} \right)}^{2}}}}$

$\Leftrightarrow {{\left( L{{\omega }_{1}}-\frac{1}{C{{\omega }_{1}}} \right)}^{2}}={{\left( L{{\omega }_{2}}-\frac{1}{C{{\omega }_{2}}} \right)}^{2}}\Rightarrow L{{\omega }_{1}}-\frac{1}{C{{\omega }_{1}}}=-L{{\omega }_{2}}+\frac{1}{C{{\omega }_{2}}}$ (Do ${{\omega }_{1}}\ne {{\omega }_{2}}$).

Khi đó $L\left( {{\omega }_{1}}+{{\omega }_{2}} \right)=\frac{1}{C}\left( \frac{1}{{{\omega }_{1}}}+\frac{1}{{{\omega }_{2}}} \right)\Leftrightarrow {{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}=\frac{1}{LC}$. Chọn C.

Ví dụ 2: [Trích đề thi Cao đẳng năm 2007] Một đoạn mạch điện xoay chiều gồm điện trở thuần R, cuộn dây thuần cảm (cảm thuần) có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp, trong đó R, L và C có giá trị không đổi. Đặt vào hai đầu đoạn mạch trên hiệu điện thế $u={{U}_{0}}\sin \omega t$, với $\omega $ có giá trị thay đổi còn ${{U}_{0}}$ không đổi. Khi $\omega ={{\omega }_{1}}=200\pi $ rad/s hoặc $\omega ={{\omega }_{1}}=50\pi $ rad/s thì dòng điện qua mạch có giá trị hiệu dụng bằng nhau. Để cường độ dòng điện hiệu dụng qua mạch đạt cực đại thì tần số $\omega $ bằng: A. $100\pi $ rad/s. B. $40\pi $ rad/s. C. $125\pi $ rad/s. D. $250\pi $ rad/s.

HD giải

Ta có ${{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}=\frac{1}{LC}\Rightarrow {{\omega }_{0}}=\sqrt{{{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}}=\sqrt{200\pi .50\pi }=100\pi $ (rad/s). Chọn A.

Ví dụ 3: [Trích đề thi Đại học năm 2011] Đặt điện áp xoay chiều $u={{U}_{0}}\cos \omega t$ (${{U}_{0}}$ không đổi và $\omega $ thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần R, cuộn dây thuần có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp, với $C{{R}^{2}}<2L$. Khi $\omega ={{\omega }_{1}}$ hoặc $\omega ={{\omega }_{2}}$ thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện có cùng một giá trị. Khi $\omega ={{\omega }_{0}}$ thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện đạt cực đại. Hệ thức liên hệ giữa ${{\omega }_{1}}$,${{\omega }_{2}}$ và ${{\omega }_{0}}$ là: A. $\frac{1}{\omega _{0}^{2}}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{\omega _{1}^{2}}+\frac{1}{\omega _{2}^{2}} \right)$. B. ${{\omega }_{0}}=\frac{1}{2}\left( {{\omega }_{1}}+{{\omega }_{2}} \right)$. C. ${{\omega }_{0}}=\sqrt{{{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}}$ D. $\omega _{0}^{2}=\frac{1}{2}\left( \omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2} \right)$.

HD giải

$\begin{array}{} {{U}_{C}}=\frac{U}{C\omega \sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( L\omega -\frac{1}{C\omega } \right)}^{2}}}}=\frac{U.L}{C\sqrt{{{R}^{2}}{{\omega }^{2}}+{{\left( L{{\omega }^{2}}-\frac{1}{C} \right)}^{2}}}} \\ {} \Leftrightarrow {{L}^{2}}{{\omega }^{4}}+\left( {{R}^{2}}-2{L}/{C}\; \right){{\omega }^{2}}+\frac{1}{{{C}^{2}}}-{{\left( \frac{U}{C.{{U}_{C}}} \right)}^{2}}=0. \\ \end{array}$

Theo định lý Viet ta có: $\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}=-\frac{b}{a}=2.\frac{-b}{2a}=2.\omega _{C}^{2}$. Chọn D.

Ví dụ 5: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, cuộn dây thuần cảm ($2L>C{{R}^{2}}$) . Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều ổn định $u=U\sqrt{2}\cos 2\pi f$(V). Khi tần số của dòng điện xoay chiều trong mạch có giá trị ${{f}_{1}}=30\sqrt{2}$Hz hoặc ${{f}_{1}}=40\sqrt{2}$Hz thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện có giá trị không đổi. Để điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại thì tần số dòng điện bằng A. 20,6 Hz. B. 50 Hz. C. $50\sqrt{2}$Hz. D. 48 Hz.

HD giải

Ta có: $2\omega _{0}^{2}=\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\Rightarrow 2{{f}^{2}}=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}\Rightarrow f=\sqrt{\frac{f_{1}^{2}+f_{2}^{2}}{2}}=50$Hz. Chọn B.

Ví dụ 5: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, cuộn dây thuần cảm $L=C{{R}^{2}}$. Biết . Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều ổn định, mạch có cùng hệ số công suất với hai giá trị của tần số góc ${{\omega }_{1}}=50\pi $ rad/s, ${{\omega }_{2}}=200\pi $ rad/s. Hệ số công suất của đoạn mạch bằng: A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{2}{\sqrt{13}}$ C. $\frac{3}{\sqrt{12}}$ D. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

HD giải

Ta có, khi $\omega $thay đổi: $\cos {{\varphi }_{1}}=\cos {{\varphi }_{2}}\Leftrightarrow \frac{R}{{{Z}_{1}}}=\frac{R}{{{Z}_{2}}}$ $$ $$ $$

$\Leftrightarrow {{\left( {{Z}_{L1}}-{{Z}_{C1}} \right)}^{2}}={{\left( {{Z}_{L2}}-{{Z}_{C2}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}=\frac{1}{LC}\Rightarrow LC=\frac{1}{1000{{\pi }^{2}}}$.

Cho $R=1\Rightarrow L=C=\frac{1}{100\pi }\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{Z}_{L1}}=0,5 \\ {} {{Z}_{C1}}=2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \cos {{\varphi }_{1}}=\frac{1}{\sqrt{1+{{\left( 2-0,5 \right)}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{13}}$. Chọn B.

Ví dụ 6: Cho đoạn mạch RLC với ${L}/{C={{R}^{2}}}\;$đặt vào hai đầu đoạn mạch trên điện áp xoay chiều $u=U\sqrt{2}\cos \omega t$ (với U không đổi, $\omega $thay đổi được). Khi $\omega ={{\omega }_{1}}$và $\omega ={{\omega }_{2}}=9{{\omega }_{1}}$ thì mạch có cùng hệ số công suất, giá trị hệ số công suất đó là: A. $\frac{3}{\sqrt{73}}$ B. $\frac{2}{\sqrt{13}}$ C. $\frac{2}{\sqrt{21}}$ D. $\frac{4}{\sqrt{67}}$

HD giải

Ta có, khi $\omega $ thay đổi: $\cos {{\varphi }_{1}}=\cos {{\varphi }_{2}}\Leftrightarrow \frac{R}{{{Z}_{1}}}=\frac{R}{{{Z}_{2}}}$

$\Leftrightarrow {{\left( {{Z}_{L1}}-{{Z}_{C1}} \right)}^{2}}={{\left( {{Z}_{L2}}-{{Z}_{C2}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}=\frac{1}{LC}\Rightarrow LC=\frac{1}{9\omega _{1}^{2}}$

Cho $R=1\Rightarrow L=C=\frac{1}{3{{\omega }_{1}}}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{Z}_{L1}}=\frac{1}{3} \\ {} {{Z}_{C1}}=3 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \cos {{\varphi }_{1}}=\frac{1}{\sqrt{1+{{\left( 3-\frac{1}{3} \right)}^{2}}}}=\frac{3}{\sqrt{73}}$.Chọn A.

Ví dụ 6: [Trích đề thi Đại học năm 2011] Lần lượt đặt các điện áp xoay chiều ${{u}_{1}}=U\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t+{{\varphi }_{1}} \right)$;${{u}_{2}}=U\sqrt{2}\cos \left( 120\pi t+{{\varphi }_{2}} \right)$ và ${{u}_{3}}=U\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t+{{\varphi }_{3}} \right)$ vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp thì cường độ dòng điện trong đoạn mạch có biểu thức tương ứng là: ${{i}_{1}}=I\sqrt{2}\cos 100\pi t$;${{i}_{2}}=I\sqrt{2}\cos \left( 120\pi t+\frac{2\pi }{3} \right)$và ${{i}_{3}}={I}'\sqrt{2}\cos \left( 110\pi t-\frac{2\pi }{3} \right)$. So sánh $I$và ${I}'$, ta có: A. $I>{I}'$. B. $I<{I}'$. C. $I={I}'$ D. $I={I}'\sqrt{2}$

HD giải

Khi $\omega $ thay đổi ta thấy $\omega =100\pi $rad/s hoặc $\omega =120\pi $ rad/s thì $I={{I}_{1}}={{I}_{2}}$.

Suy ra ${{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}=\frac{1}{LC}=\omega _{ch}^{2}\Rightarrow \omega _{ch}^{{}}=\sqrt{100.120{{\pi }^{2}}}=109,5\pi \left( rad/s \right)<110\left( rad/s \right)$.

Khi có cộng hưởng thì $I={{I}_{\max }}$dựa vào đồ thị I và $\omega $ ta thấy $I<{{I}_{\max }}>{I}'>I$. Chọn B.

Ví dụ 7: Đặt điện áp $u={{U}_{0}}\cos \omega t$ (V) (${{U}_{0}}$ không đổi, $\omega $ thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm ${0,8}/{\pi }\;$ (H) và tụ điện mắc nối tiếp. Khi $\omega ={{\omega }_{0}}$thì cường độ dòng điện hiệu dụng qua đoạn mạch đạt giá trị cực đại ${{I}_{m}}$. Khi $\omega ={{\omega }_{1}}$hoặc $\omega ={{\omega }_{2}}$ thì cường độ dòng điện cực đại qua đoạn mạch bằng nhau và bằng ${{I}_{m}}$. Biết ${{\omega }_{1}}-{{\omega }_{2}}=200\pi $ rad/s. Giá trị của R là: A. $140\Omega $. B. $160\Omega $. C. $120\Omega $. D. $180\Omega $.

HD giải

Ta có cường độ hiệu dụng khi $\omega ={{\omega }_{1}}$ hoặc $\omega ={{\omega }_{2}}$ là ${{I}_{1}}={{I}_{2}}=\frac{{{I}_{m}}}{\sqrt{2}}$.

Suy ra ${{\left( {{Z}_{L1}}-{{Z}_{C1}} \right)}^{2}}={{\left( {{Z}_{L2}}-{{Z}_{C2}} \right)}^{2}}={{R}^{2}}$, suy ra được ${{Z}_{L1}}={{Z}_{C2}};{{Z}_{C1}}={{Z}_{L2}}$.

Do đó ${{\left( {{Z}_{L1}}-{{Z}_{L2}} \right)}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow {{L}^{2}}{{\left( {{\omega }_{1}}-{{\omega }_{2}} \right)}^{2}}={{R}^{2}}\Rightarrow R=160\Omega $. Chọn B.

Tổng quát bài toán:$R=\frac{L\left( {{\omega }_{1}}-{{\omega }_{2}} \right)}{\sqrt{{{n}^{2}}-1}}$ (trong bài toán này $n=\sqrt{2}$)

Ví dụ 8: Cho mạch điện xoay chiều R, L,C mắc nối tiếp. Tần số của hiệu điện thế thay đổi được. Khi tần số là ${{f}_{1}}$ và $4{{f}_{1}}$ công suất trong mạch như nhau và bằng 80% công suất cực đại mà mạch có thể đạt được. Khi $f=3{{f}_{1}}$ thì hệ số công suất là: A. 0,8. B. 0,53. C. 0,96. D. 0,47.

HD giải

Do $P=R\frac{{{U}^{2}}}{{{Z}^{2}}}\Rightarrow P=0,8{{P}_{\max }}\Rightarrow R\frac{{{U}^{2}}}{{{Z}^{2}}}=0,8.\frac{{{U}^{2}}}{R}\Rightarrow {{Z}^{2}}=\frac{5}{4}{{R}^{2}}$

$\Rightarrow {{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}{{R}^{2}}$suy ra ${{\left( {{Z}_{L1}}-{{Z}_{C1}} \right)}^{2}}={{\left( {{Z}_{L2}}-{{Z}_{C2}} \right)}^{2}}={{R}^{2}}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{Z}_{L1}}={{Z}_{C2}} \\ {} {{Z}_{C1}}={{Z}_{L2}} \\ \end{array} \right.$.

$\Rightarrow {{Z}_{C1}}=4{{Z}_{L1}}\Rightarrow 3{{Z}_{L1}}=\frac{1}{2}R\Rightarrow {{Z}_{L1}}=\frac{R}{6},{{Z}_{C1}}=\frac{2R}{3}.$

Khi $f=3{{f}_{1}}\Rightarrow {{Z}_{L}}=\frac{R}{2},{{Z}_{C1}}=\frac{2R}{9}\Rightarrow \tan \varphi =\frac{5}{18}\Rightarrow \cos \varphi =0,96$. Chọn C.

Ví dụ 9: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có biểu thức $u=U\sqrt{2}\cos \omega t$(V) , tần số dòng điện thay đổi được. Khi tần số dòng điện là ${{f}_{0}}=50$Hz thì công suất tiêu thụ trên mạch là lớn nhất. Khi tần số dòng điện là ${{f}_{1}}$ hoặc ${{f}_{2}}$ thì mạch tiêu thụ cùng công suất là P. Biết rằng ${{f}_{1}}+{{f}_{2}}=145$Hz (với ${{f}_{1}}<{{f}_{2}}$), tần số ${{f}_{1}},{{f}_{2}}$có giá trị lần lượt là: A. ${{f}_{1}}=45$Hz, ${{f}_{2}}=100$ Hz B. ${{f}_{1}}=25$Hz, ${{f}_{2}}=120$ Hz C. ${{f}_{1}}=50$Hz, ${{f}_{2}}=95$ Hz D. ${{f}_{1}}=20$Hz, ${{f}_{2}}=125$ Hz

HD giải

P không đổi ta có: ${{f}_{1}}{{f}_{2}}=f_{0}^{2}={{50}^{2}}=2500.$

Kết hợp ${{f}_{1}}+{{f}_{2}}=145$Hz (với ${{f}_{1}}<{{f}_{2}}$) suy ra ${{f}_{1}}=20$ Hz, ${{f}_{2}}=125$ Hz. Chọn D.

Ví dụ 10: Đặt vào hai đầu đoạn mạch RLC mắc nối tiếp một điện áp xoay chiều có tần số thay đổi được. Khi tần số là f thì hệ số công suất của đoạn mạch bằng 1. Khi tần số là 2f thì hệ số công suất của đoạn mạch là ${1}/{\sqrt{2}}\;$. Mối quan hệ giữa cảm kháng, dung kháng và điện trở thuần của đoạn mạch khi tần số bằng 2f là: A. ${{Z}_{L}}=2{{Z}_{C}}=2R$. B. ${{Z}_{L}}=4{{Z}_{C}}={4R}/{3}\;$. C. $2{{Z}_{L}}={{Z}_{C}}=3R$. D. ${{Z}_{L}}=4{{Z}_{C}}=3R$.

HD giải

Ban đầu $\cos \varphi =1\Rightarrow {{Z}_{L}}={{Z}_{C}}$

Khi ${{f}_{2}}=2f$ ta có:${{Z}_{L2}}=2{{Z}_{L}},{{Z}_{C2}}=\frac{{{Z}_{C}}}{2}=\frac{{{Z}_{L}}}{2}$

Lại có: $\cos {{\varphi }_{2}}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( 2{{Z}_{L}}-\frac{{{Z}_{L}}}{2} \right)}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \frac{3}{2}{{Z}_{L}}=R\Rightarrow {{Z}_{L}}=\frac{2}{3}R$

Do đó ${{Z}_{L2}}=4{{Z}_{C2}}=\frac{4}{3}R$. Chọn B.

Ví dụ 11: Cho mạch điện gồm R, L, C mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu mạch điện một điện áp xoay chiều $u=220\cos \left( 2\pi ft \right)$(V), trong đó tần số f thay đổi được. Khi $f={{f}_{1}}$ thì ${{Z}_{L}}=80\Omega $ và ${{Z}_{C}}=125\Omega $. Khi $f={{f}_{2}}=50$Hz thì cường độ dòng điện i trong mạch cùng pha với điện áp u. Giá trị của L và C là: A. $L={100}/{\pi }\;$ (H) và $C={{{10}^{-6}}}/{\pi }\;$(F). B. $L={100}/{\pi }\;$ (H) và $C={{{10}^{-5}}}/{\pi }\;$(F). C. $L={1}/{\pi }\;$ (H) và $C={{{10}^{-3}}}/{\pi }\;$(F). D. $L={1}/{\pi }\;$ (H) và $C={100}/{\pi }\;\left( \mu F \right)$(F).

HD giải

Ta có: ${{Z}_{L}}{{Z}_{C}}=\frac{L}{C}=80.125=10000$(1)

Khi $f={{f}_{2}}=50$Hz xảy ra cộng hưởng nên $\frac{1}{\sqrt{LC}}=100\pi \Rightarrow LC=\frac{1}{100{{\pi }^{2}}}$(2).

Từ (1) và (2) suy ra $L={1}/{\pi (H),C={100}/{\pi \left( \mu F \right)}\;}\;$ . Chọn D.

Ví dụ 12: [Trích đề thi Đại học khối A năm 2011] Đặt điện $u=U\sqrt{2}\cos 2\pi ft$ (U không đổi, tần số f thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C. Khi tần số là ${{f}_{1}}$ thì cảm kháng và dung kháng của đoạn mạch có giá trị lần lượt là $6\Omega $ và $8\Omega $. Khi tần số là${{f}_{2}}$ thì hệ số công suất của đoạn mạch bằng 1. Hệ thức liên hệ giữa ${{f}_{1}}$ và ${{f}_{2}}$ là: A. ${{f}_{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}{{f}_{1}}$ B. ${{f}_{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}{{f}_{1}}$ C. ${{f}_{2}}=\frac{3}{4}{{f}_{1}}$ D. ${{f}_{2}}=\frac{4}{3}{{f}_{1}}$

HD giải

Ta có ${{Z}_{L1}}=L{{\omega }_{1}};{{Z}_{C1}}=\frac{1}{C{{\omega }_{1}}}\Rightarrow \frac{{{Z}_{C1}}}{{{Z}_{L1}}}=\frac{8}{6}=\frac{1}{LC.\omega _{1}^{2}}$(1).

Khi $f={{f}_{2}}\Rightarrow \cos \varphi =1\Rightarrow {{\omega }_{2}}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$.

Khi đó: (1) $\Leftrightarrow \frac{4}{3}=\frac{\omega _{2}^{2}}{\omega _{1}^{2}}\Rightarrow {{\omega }_{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}{{\omega }_{1}}$ hay ${{f}_{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}{{f}_{1}}$. Chọn A.

Ví dụ 13: [Trích đề thi Đại học khối A năm 2014] Đặt điện áp $u=U\sqrt{2}\cos 2\pi ft$ (f thay đổi được, U tỉ lệ thuận với f ) vào hai đầu đoạn mạch AB gồm đoạn mạch AM mắc nối tiếp với đoạn mạch MB. Đoạn mạch AM gồm điện trở thuần R mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung C, đoan mạch MB chỉ có cuộn cảm thuần có độ tự cảm L. Biết $2L>{{R}^{2}}C$. Khi $f=60$ Hz hoặc $f=90$ Hz thì cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch có cùng giá trị. Khi $f=30$Hz hoặc $f=120$ Hz thì điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện có cùng giá trị. Khi $f={{f}_{1}}$ thì điện áp ở hai đầu đoạn mạch MB lệch pha một góc $135{}^\circ $ so với điện áp ở hai đầu đoạn mạch AM. Giá trị của ${{f}_{1}}$ bằng: A. 80 Hz. B. 120 Hz. C. 60 Hz. D. 50 Hz.

HD giải

Chú ý bài toán này U tỉ lệ thuận với f nên ta không được áp dụng những công thức đã được học. Giả sử U = k.f.

Ta có ${{I}_{1}}={{I}_{2}}\Rightarrow \frac{k{{f}_{1}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L1}}-{{Z}_{C1}} \right)}^{2}}}}=\frac{k{{f}_{2}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L2}}-{{Z}_{C2}} \right)}^{2}}}}$ (giống kết quả của bài $\omega $thay đổi để ${{U}_{L\max }}$).

Từ đây ta suy ra $2{{C}^{2}}\left( \frac{L}{C}-\frac{{{R}^{2}}}{2} \right)=\frac{1}{\omega _{1}^{2}}+\frac{1}{\omega _{2}^{2}}=2LC-{{\left( RC \right)}^{2}}=\frac{13}{129600{{\pi }^{2}}}\Rightarrow RC=1,{{977.10}^{-3}}$.

Do ${{U}_{C3}}={{U}_{C4}}\Leftrightarrow \frac{k{{f}_{3}}.{{Z}_{C3}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L3}}-{{Z}_{C3}} \right)}^{2}}}}=\frac{k{{f}_{4}}.{{Z}_{C4}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L4}}-{{Z}_{C4}} \right)}^{2}}}}$ (giống kết quả bài $\omega $thay đổi để ${{I}_{\max }}$)

$\Rightarrow {{\omega }_{3}}{{\omega }_{4}}=\omega _{0}^{2}=\frac{1}{LC}=14400{{\pi }^{3}}$.

Do đó $\tan \left( -45{}^\circ \right)=\frac{-{{Z}_{C}}}{R}=\frac{-1}{RC.2\pi {{f}_{5}}}\Rightarrow {{f}_{5}}=80$Hz. Chọn A.

Ví dụ 14: [Trích đề thi THPT QG năm 2015] Đặt điện áp $u={{U}_{0}}\cos 2\pi ft$ ( ${{U}_{0}}$ không đổi, f thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, điện trở thuần R và tụ điện có điện dung C. Khi $f={{f}_{1}}=25\sqrt{2}$Hz hoặc $f={{f}_{2}}=100$Hz thì điện áp hiệu dụng ở hai đầu tụ điện có cùng giá trị ${{U}_{0}}$. Khi $f={{f}_{0}}$ thì điện áp hiệu dụng ở hai đầu điện trở đạt cực đại. Giá trị của ${{f}_{0}}$ gần giá trị nào nhất sau đây? A. 70 Hz. B. 80 Hz. C. 67 Hz. D. 90 Hz.

HD giải

Ta có ${{U}_{C}}=\frac{U.{{Z}_{C}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}=\frac{U}{C\omega \sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( L\omega -\frac{1}{C\omega } \right)}^{2}}}}$

$\Leftrightarrow {{R}^{2}}{{\omega }^{2}}+{{L}^{2}}{{\omega }^{4}}-\frac{2L{{\omega }^{2}}}{C}+\frac{1}{{{C}^{2}}}={{\left( \frac{U}{{{U}_{C}}.C} \right)}^{2}}=\frac{1}{2{{C}^{2}}}$. (Do ${{U}_{C}}={{U}_{0}}=U\sqrt{2}$)

$\Leftrightarrow {{L}^{2}}{{C}^{2}}.{{\omega }^{4}}-\left( \frac{2L}{C}-{{R}^{2}} \right){{C}^{2}}{{\omega }^{2}}+\frac{1}{2}=0$.

Theo định lý Viet ta có $\left\{ \begin{array}{} \omega _{1}^{2}.\omega _{2}^{2}=\frac{1}{2{{L}^{2}}{{C}^{2}}} \\ {} \omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}=\frac{2}{LC}-\frac{{{R}^{2}}}{{{L}^{2}}}(2) \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}LC}=\frac{\omega _{0}^{2}}{\sqrt{2}}$.

Do đó ${{f}_{1}}{{f}_{2}}=\frac{f_{0}^{2}}{\sqrt{2}}\Rightarrow {{f}_{0}}=\sqrt{\sqrt{2}{{f}_{1}}{{f}_{2}}}=70,7$Hz.

Nếu sử dụng (2) ta có $\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}<\frac{2}{LC}=2\omega _{0}^{2}\Rightarrow {{f}_{0}}>\sqrt{\frac{f_{1}^{2}+f_{2}^{2}}{2}}=75$.

Bộ Giáo dục đã phản hồi về bài toán này:” Các dữ kiện của câu hỏi thi này đúng về mặt Toán học mà chưa đủ ý nghĩa Vật lí.’’

Như vậy bài toán không có đáp án đúng.

Qua bài toán này chúng ta có thêm tư duy để biết đổi các bài toán hai giá trị.

Ví dụ 15: [Trích đề thi THPT QG năm 2015] Lần lượt đặt các điện áp xoay chiều ${{u}_{1}}$, ${{u}_{2}}$, ${{u}_{3}}$có cùng giá trị hiệu dụng nhưng tần số khác nhau vào hai đầu một đoạn mạch có R, L, C nối tiếp thì cường độ dòng điện trong mạch tương ứng là: ${{i}_{1}}=I\sqrt{2}\cos \left( 150\pi t+\frac{\pi }{3} \right)$, ${{i}_{2}}=I\sqrt{2}\cos \left( 200\pi t+\frac{\pi }{3} \right)$và ${{i}_{3}}=I\sqrt{2}\cos \left( 200\pi t-\frac{\pi }{3} \right)$. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. ${{i}_{2}}$ sớm pha so với ${{u}_{2}}$. B. ${{i}_{3}}$ sớm pha so với ${{u}_{3}}$. C. ${{i}_{1}}$ trễ pha so với ${{u}_{1}}$. D. ${{i}_{1}}$ cùng pha với ${{i}_{2}}$.

HD giải

Đáp án D sai vì không thể so sánh pha của hai dòng điện không cùng tần số.

Ta có:${{I}_{1}}={{I}_{2}}=I\Rightarrow {{\left( {{Z}_{{{L}_{1}}}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}} \right)}^{2}}={{\left( {{Z}_{{{L}_{2}}}}-{{Z}_{{{C}_{2}}}} \right)}^{2}}$

$\Rightarrow {{Z}_{{{L}_{1}}}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}}={{Z}_{{{C}_{2}}}}-{{Z}_{{{L}_{1}}}}\Rightarrow L\left( {{\omega }_{1}}+{{\omega }_{2}} \right)=\left( \frac{1}{{{\omega }_{1}}}+\frac{1}{{{\omega }_{2}}} \right).\frac{1}{C}\Rightarrow L=\frac{1}{C{{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{Z}_{{{L}_{1}}}}={{Z}_{{{C}_{2}}}} \\ {} {{Z}_{{{C}_{1}}}}={{Z}_{{{L}_{2}}}} \\ \end{array} \right..$

+) $\tan {{\varphi }_{1}}=\frac{{{Z}_{{{L}_{1}}}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}}}{R}=\frac{{{Z}_{{{L}_{1}}}}-{{Z}_{{{L}_{2}}}}}{R}=\frac{-50\pi L}{R}$$\Rightarrow $${{i}_{1}}$sớm pha hơn ${{u}_{1}}$ .

(Như vậy ta suy ra ${{i}_{3}}$ sớm pha hơn so với ${{u}_{3}}$).

+) $\tan {{\varphi }_{2}}=\frac{{{Z}_{{{L}_{2}}}}-{{Z}_{{{C}_{2}}}}}{R}=\frac{{{Z}_{{{L}_{2}}}}-{{Z}_{{{L}_{1}}}}}{R}=\frac{50\pi L}{R}$$\Rightarrow $${{i}_{2}}$nhanh pha hơn ${{u}_{2}}$ .Chọn B.