Xét bài toán tổng quát: Cho mạch điện R-L-C mắc nối tiếp cuộn dây thuần cảm có R thay đổi (các đại lượng khác không đổi). Tìm R để: a) Imax,ULmax;UCmax b) URmax c) Pmax |
HD giải:
a) Ta có: I=UZ=U√R2+(ZL−ZC)2≤U|ZL−ZC| khi R=0
Do đó Imax=U|ZL−ZC| suy ra $\left\{ \begin{array}{} {{U}_{L\max }}={{Z}_{L}}.{{I}_{\max }}={{Z}_{L}}.\frac{U}{\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|} \\ {} {{U}_{C\max
}}={{Z}_{c}}.{{I}_{\max }}={{Z}_{c}}.\frac{U}{\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|} \\ \end{array} \right.$
b) UR=R.I=R.U√R2−(ZL−ZC)2=U√1+(ZL−ZCR)2→U
c) Ta có: P=R.I2=R.U2R2+(ZL−ZC)2=U2R+(ZL−ZC)2R
Theo bất đẳng thức AM−GM ta có R+(ZL−ZC)2R≥2√R.(ZL−ZC)2R=2|ZL−ZC|
Khi đó P≤U22|ZL−ZC| , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi R=|ZL−ZC|
Do đó Pmax=U22R=U22|ZL−ZC| khi R=|ZL−ZC|
Dạng đồ thị
Ta có:
+) R=0⇒P=0
+) R=|ZL−ZC|⇒P=Pmax=U22R
+) R→+∞⇒P→0
Xét bài toán tổng quát: Cho mạch điện R-L-C mắc nối tiếp cuộn dây thuần cảm có R thay đổi (các đại lượng khác không đổi). Tìm R để: a) Imax,ULmax;UCmax b)Pmax c)PRmax |
HD giải:
a) Ta có: I=UZ=U√(R+r)2+(ZL−ZC)2≤U√r2+(ZL−ZC)2 khi R=0
Do đó Imax=U√r+(ZL−ZC)2 suy ra $\left\{ \begin{array}{} {{U}_{L\max }}={{Z}_{L}}.{{I}_{\max }}={{Z}_{L}}.\frac{U}{\sqrt{r+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}} \\
{} {{U}_{C\max }}={{Z}_{C}}.{{I}_{\max }}={{Z}_{C}}.\frac{U}{\sqrt{r+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}} \\ \end{array} \right.$
b) Ta có :P=(R+r)I2=(R+r).U2(R+r)2+(ZL−ZC)2=U2R+r+(ZL−ZC)2R+r
⇒P≤U22|ZL−ZC| (dấu bằng xảy ra khi và chỉ khiR+r=|ZL−ZC|) (với r≤|ZL−ZC|)
Chú ý: Trong trường hợp r>|ZL−ZC|⇔Pmax khi R=0
c) Ta có: PR=RI2=R.U2(R+r)2+(ZL−ZC)2=RU2R2+2Rr+r2+(ZL−ZC)2
=U2R+r2+(ZL−ZC)2R+2r≤U22√r2+(ZL−ZC)2+2r
Vậy Pmax=U22√r2+(ZL−ZC)2+2r khi R=√r2+(ZL−ZC)2
Khi đó
+) Tổng trở: Z2=(R+r)2+(ZL−ZC)2=R2+2Rr+[r2+(ZL−ZC)2]
=R2+2Rr+R2=2R(R+r)⇔Z=√2R(R+r)
+) Hệ số công suất: cosφ=R+rZ=R+r√2R(R+r)=√R+r2R>1√2⇒φ<π4
Cho mạch điện xoay chiều gồm cuộn dây có r=50Ω,L=0.4/π và tụ điện có điện dung C=10−4/π(F)và điện trở thuần R thay đổi được. Điện áp hai đầu mạch là u=100√2cosπtV. Tìm R để a) hệ số công suất của mạch là cosφ=0.5 . b) công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó. c) công suất tỏa nhiệt trên điện trở R cực đại. Tính giá trị cực đại của công suất đó. |
HD giải: Ta có ZL=40Ω,ZC=100Ω,U=100V
a) Hệ số công suất của mạch là cosφ=R+rZ=12⇒R+r√(R+r)2+(ZL−ZC)2=12
Thay số ta được: R+50√(R+50)2+(60)2=12
Giải phương trình trên ta được các nghiệm R cần tìm
b) Công suất tiêu thụ trên đoạn mạch đạt giá trị cực đại khi R+r=|ZL−ZC|
⇔R+50=60⇒R=10Ω
Khi đó, công suất cực đại của mạch Pmax=U22|ZL−ZC|=2503W
c) Công suất tỏa nhiệt trên R cực đại khi {R=√r2+(ZL−ZC)2(PR)max=U22r+√r2+(ZL−ZC)2
Thay số ta được R=10√61Ω và (PR)max=1002100+20√61W
Xét bài toán: Cho mạch điện R-L-C mắc nối tiếp cuộn dây thuần cảm có R thay đổi (các đại lượng khác không đổi). Với R=R1 và R=R2 thì công suất của mạch không đổi P=P1=P2 |
HD giải: Ta có: P=RI2=RU2R2+(ZL−ZC)2⇔R2−U2PR+(ZL−ZC)2=0(∗)
Khi đó R1 và R2 là nghiệm của phương trình (*) (Do các đại lượng khác là hằng số).
Theo định lý Viet ta có: {R1+R2=U2P⇒P=U2R1+R2R1R2=(ZL−ZC)2
Với R=R1 ,ta có: tanφ1=ZL−ZCR1,cosφ1=R1Z1=R1√R12+(ZL−ZC)2
=R1√R12+R1R2=√R1R1+R2
Với R=R2 ,ta có: tanφ2=ZL−ZCR2,cosφ2=√R2R1+R2
Suy ra tanφ1.tanφ2=(ZL−ZC)2R1R2=1⇒[φ1+φ2=π2φ1+φ2=−π2 hay |φ1|+|φ2|=π2
(Chú ý φ1;φ2 cùng âm hoặc cùng dương)
Chú ý:
- Nếu mạch khuyết L hoặc C ta có: [R1R2=Z2LR1R2=Z2C
- Cuộn dây không thuần cảm ta có: [(R1+r)(R2+r)=(ZL−ZC)2P1=P2=U2R1+R2+2r
- Gọi {R=R1R=R2⇒P1=P2 và R=R0 khi đó P=Pmaxthì R1R2=R20=(ZL−ZC)2và khi đó
Pmax=U22R0=U22√R1R2
Đồ thị của cômg suất P theo R.
Ta có: R20=R1R′1=R2R′2=..=RnR′n
(Trong đó Ri và R′i là 2 giá trị của R cho cùng một giá trị Pi).
Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu đoạn mạch là u=30√2cos(100πt) V, R thay đổi được. Khi mạch có R=R1=9Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ1 .Khi mạch có R=R2=16Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ2 .Biết |φ1|+|φ2|=π2 a) Tính công suất ứng với giá trị R1 và R2 b) Viết biểu thức của cường độ dòng điện ứng với R1,R2 c) Tính L biết C=10−32π(F) d) Tính công suất cực đại của mạch |
HD giải:
a) Theo chứng minh công thức ở trên, khi {R=R1,R=R2|φ1|+|φ2|=π2
⇒P=P1=P2−U2R1+R2=36W
b) Ta có: {R=R1,R=R2|φ1|+|φ2|=π2⇒(ZL−ZC)2=R1R2=144⇒|ZL−ZC|=12
Khi R=R1=9Ω thì ta có tổng trở của mạch là Z=√R21+(ZL−ZC)2=15Ω
⇒I=UZ=2A
Độ lệch pha của u và i thỏa mãn tanφ=ZL−ZCR1=±43⇒φ=arctan(±43)=φu/i
⇒φi=arctan(±43)
Từ đó, biểu thức cường độ dòng điện là i=2√2cos(100πt±arctan(±43))A
Khi R=R2=16Ω thì ta có tổng trở của mạch là Z=√R22+(ZL−ZC)2=20Ω
⇒I=UZ=1,5A
Độ lệch pha của u và i thỏa mãn tanφ=ZL−ZCR1=±34⇒φ=arctan(±34)=φu/i
⇒φi=arctan(±34)
Từ đó, biểu thức cường độ dòng điện là i=1,5√2cos(100πt±arctan(±34))A
c) Khi C=10−32π(F)⇒ZC=20Ω.Mà |ZL−ZC|=12Ω⇔[ZL=32ΩZL=8Ω⇒[L=825πHL=225πH
d) Công suất cực đại của mạch khi R biến thiên được tính bởi Pmax=U2R1+R2=37,5W
VẬT LÝ LỚP 12