Cách giải các dạng toán tính quãng đường trong dao động cơ phần 1

Dạng 1: Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian cho trước

1.     ĐẶT VẤN ĐỀ

Xét bài toán: Cho phương trình dao động của vật $x=A\cos \left( \omega t+\varphi  \right)$. Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ ${{t}_{1}}$ đến ${{t}_{2}}$ là

1.     PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sau 1 chu kỳ T, bất luận vật xuất phát ở đâu, vật sẽ trở về đúng vị trí cũ và đi được quãng đường bằng 4A, vật sẽ đi qua 1 vị trí bất kỳ 2 lần tính cho cả 2 chiều chuyển động.

Bước 1:

Tính khoảng thời gian $\vartriangle t={{t}_{2}}-{{t}_{1}}$.

Bước 2:

Tính $\frac{\vartriangle t}{T}$suy ra $\vartriangle t=nT+\vartriangle {t}'$( trong đó $\vartriangle {t}'<T$)

Bước 3: 

Tính theo các trường hợp ở dưới

+) Nếu phép chia hết tức là $\vartriangle {t}'=0$ thì quãng đường vật đi được là S = n.4A .

+) Nếu phép chia có dư:

    TH1: $\vartriangle {t}''=\frac{T}{2}+\vartriangle {t}''\Rightarrow {S}'=2A+{S}''$( trong đó${S}''$ là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $\vartriangle {t}''$) suy ra $S=n.4A+2A+{S}''$.

     TH2: $\vartriangle {t}''<\frac{T}{2}$ thì $S=n.4A+{S}'$( trong đó ${S}'$ là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $\vartriangle {t}'$).

+) Thay $t={{t}_{1}}$suy ra ${{\varphi }_{1}}$ để tìm trạng thái $\left( {{x}_{1}};{{v}_{1}} \right)$của vật trên đường tròn lượng giác hoặc trục thời gian.

+) Thay $t={{t}_{2}}$suy ra ${{\varphi }_{2}}$ để tìm trạng thái $\left( {{x}_{1}};{{v}_{1}} \right)$của vật trên đường tròn lượng giác hoặc trục thời gian.

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác hoặc trục thời gian để tìm ${S}'={{S}_{{{t}_{1}}\to {{t}_{2}}}}$.

Đặc biệt:

+) Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $n.\frac{T}{2}(n\in \mathbb{N}*)$ luôn là s = n.2A .

+) Khi vật đang ở vị trí cân bằng hoặc biên thì sau khoảng thời gian $n.\frac{T}{4}(n\in \mathbb{N}*)$vật đi được quãng đường là s = n.A .

2.     BÀI TẬP MINH HỌA DẠNG 1

Lời giải chi tiết

Ta có: S = 4A = 20 cm . Chọn D.

Lời giải chi tiết

Trong 4 s = 2T vật đi được quãng đường là s = 2.4A = 32 cm . Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: $T=\frac{2\pi }{\omega }=0,5s$. Mặt khác $\frac{\vartriangle t}{T}=7+\frac{1}{6}\Rightarrow \vartriangle t=7T+\frac{T}{6}.$

Do đó: $S=7.4A+{S}'.$

Tại thời điểm ban đầu $\varphi =\frac{\pi }{3}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} x=2cm \\ {} v<0 \\ \end{array} \right.$.

Trong thời gian $\frac{T}{6}$ vật đi từ vị trí có li độ $x=2\to x=-2\Rightarrow {S}'=4cm$.

Do đó: S = 28.4 + 4 = 116 cm . Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: $T=\frac{2\pi }{\omega }=0,1s;\frac{\vartriangle t}{T}=13+\frac{1}{4}\Rightarrow \vartriangle t=13T+\frac{T}{4}.$

Tại thời điểm ${{t}_{1}}=5s\Rightarrow {{\varphi }_{1}}=-\frac{5\pi }{6}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} x=-2\sqrt{3} \\ {} v>0 \\ \end{array} \right.$.

Tại thời điểm ${{t}_{2}}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{x}_{2}}=4\cos \left( 20\pi .6,325-\frac{5\pi }{6} \right)=2 \\ {} v>0 \\ \end{array} \right.$.

Suy ra $S=13.4A+\left| 2+2\sqrt{3} \right|=213,46cm.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $T=\frac{2\pi }{\omega }=1,5s;\frac{\vartriangle t}{T}=25+\frac{2}{3}\Rightarrow \vartriangle t=25T+\frac{2T}{3}.$

Tại thời điểm ban đầu x = A = 10 cm.

Tại thời điểm ${{t}_{2}}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{x}_{2}}=4\cos \left( 20\pi .6,325-\frac{5\pi }{6} \right)=-5 \\ {} v>0 \\ \end{array} \right..$

Suy ra S = 25.4A + 2A + 5 = 1025 cm. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\omega =\sqrt{\frac{{{a}_{\max }}}{A}}\Rightarrow \omega =4\pi \Rightarrow T=0,5s\Rightarrow \frac{\vartriangle t}{T}=9+\frac{1}{5}\Rightarrow \vartriangle t=9T+\frac{T}{5}.$

Góc quét sau khoảng thời gian $\frac{T}{5}$ là $\frac{2\pi }{5}$

Tại thời điểm ban đầu ${{\varphi }_{1}}=\frac{-2\pi }{3}\Rightarrow {{\varphi }_{2}}=\frac{-2\pi }{3}+\frac{2\pi }{5}=\frac{-4\pi }{15}.$

Do đó $\left\{ \begin{array}{} {{x}_{2}}=4,015 \\ {} v>0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow S=9.4A+\left| 4,015+3 \right|=223cm.$ Chọn C.

Lời giải chi tiết

Thời gian vận tốc của vật từ $v=\frac{{{v}_{\max }}}{2}\Rightarrow x=\frac{A\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow t={{t}_{0\to \frac{A\sqrt{3}}{2}}}=\frac{T}{6}.$

Suy ra $\frac{T}{6}=0,2\Rightarrow T=1,2s$

Khi đó ${{t}_{2}}=\frac{7T}{12}=\frac{T}{2}+\frac{T}{12}\Rightarrow S=2A+\frac{A}{2}=20\Rightarrow A=8cm.$

Suy ra $A=8;\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{5\pi }{3}\Rightarrow {{v}_{0}}={{v}_{\max }}=\frac{40\pi }{3}=41,89\left( cm/s \right).$ Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $T=\frac{2\pi }{\omega }=0,4s$.

Lại có: $\frac{\vartriangle t}{T}=14,75$ suy ra $\vartriangle t=14T+\frac{3}{4}T=14T+\frac{T}{8}+\frac{T}{2}+\frac{T}{8}.$

Tại thời điểm ${{t}_{1}}$, vật có: ${{\varphi }_{1}}=\frac{-\pi }{4}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} x=4cm \\ {} v>0 \\ \end{array} \right..$

Tại thời điểm ${{t}_{2}}$, vật có: $\left\{ \begin{array}{} x=-4\sqrt{2} \\ {} v>0 \\ \end{array} \right..$

Dựa vào hình vẽ ta có: $S=14.4A+2A+2\left( A-\frac{A}{\sqrt{2}} \right)=331,4cm.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $S=10.4A+A+\frac{A}{2}.$

Dựa vào trục thời gian suy ra: $\vartriangle t=10T+\frac{T}{6}+\frac{T}{4}=\frac{125}{6}s.$ Chọn B.

Lời giải chi tiết

Sử dụng đường tròn lượng giác: Ban đầu vật ở tại ${{M}_{0}}$. $\Rightarrow $1s đầu ứng với $\alpha ={2\pi }/{3}\;\Rightarrow \omega ={2\pi }/{3}\;{rad}/{s}\;\Rightarrow T=3s$ Quãng đường vật đi được trong giây thứ 2013: $\vartriangle {{S}_{2013}}={{S}_{2013}}-{{S}_{2012}}$ Ta có: $2012s=671T-{T}/{3}\;\Leftrightarrow 671$ vòng - ${2\pi }/{3}\;\Rightarrow $tại ${{M}_{2012}}$ $2013s=671T\Rightarrow {{M}_{2013}}\equiv {{M}_{0}}$ $\Rightarrow \vartriangle {{S}_{2013}}={{S}_{2013}}-{{S}_{2012}}=2+2=4cm$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Sử dụng đường tròn lượng giác. Ban đầu vật ở tại ${{M}_{0}}$. $\Rightarrow $1s đầu ứng với $\alpha ={2\pi }/{3}\;\Rightarrow \omega ={2\pi }/{3}\;{rad}/{s}\;\Rightarrow T=3s$ Ta có: $2014s=671T+{T}/{3}\;\Leftrightarrow 671$ vòng + ${2\pi }/{3}\;\Rightarrow $tại ${{M}_{2014}}$ Cứ trong khoảng 1s vật quay được ${2\pi }/{3}\;$rad $\Rightarrow {{M}_{2015}},{{M}_{2016}},{{M}_{2017}}$ Qđ đi được trong giây thứ 2015: $x={{S}_{2015}}- {{S}_{2014}}=6cm$ Qđ đi được trong giây thứ 2017: $y={{S}_{2017}}-{{S}_{2016}}=6cm.$ $\Rightarrow 2x-y=6cm$thỏa mãn. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ban đầu vật ở ${{M}_{0}}$, 1s đầu có $s=18-6\sqrt{3}cm$ ứng với $\alpha =\frac{\pi }{2}$ $\Rightarrow {T}/{4=1\Rightarrow T=4s.}\;$ Tách $2014s=503T+{T}/{2\Rightarrow {{M}_{2014}}}\;$ Do cứ trong khoảng 1s vật quay được góc $\frac{\pi }{2}\Rightarrow {{M}_{2015}},{{M}_{2016}}.$ Qđ đi trong giây thứ 2015: $x={{S}_{2015}}-{{S}_{2014}}=18-6\sqrt{3}cm$ Qđ đi trong giây thứ 2016: $x={{S}_{2016}}-{{S}_{2015}}=6+6\sqrt{3}cm.$ $\Rightarrow x+y=24cm$ thỏa mãn. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{x}_{1}}=-\frac{{{a}_{1}}}{{{\omega }^{2}}}=-\frac{20\sqrt{3}}{2.{{\left( 2\pi .2 \right)}^{2}}}=-0,0625\sqrt{3}m=-6,25\sqrt{3}cm$$\Rightarrow {{x}_{1}}=-{{x}_{2}}=-{{x}_{3}}=-6,25\sqrt{3}cm.$ +) 3 thời điểm ${{t}_{1}},{{t}_{2}},{{t}_{3}}$ không cho liên tiếp nên xảy ra 2 trường hợp: ${{x}_{1}}$ theo chiều dương${{M}_{1}}$ hoặc ${{x}_{1}}$ theo chiều âm ${{M}_{1}}^{\prime }$. Để quãng đường ${{t}_{1}}$ đến ${{t}_{3}}$ là ngắn nhất $\Rightarrow $${{x}_{1}}$ ứng với trạng thái ${{M}_{1}}$. +) Do $\left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)=2\left( {{t}_{3}}-{{t}_{2}} \right)\Rightarrow $Cung ${{M}_{1}}{{M}_{2}}=2{{M}_{2}}{{M}_{3}}$ Mặt khác cung ${{M}_{1}}{{M}_{3}}={{M}_{1}}{{M}_{2}}+{{M}_{2}}{{M}_{3}}=\pi \Rightarrow $cung ${{M}_{2}}{{M}_{3}}={\pi }/{3}\;$ $\Rightarrow {{x}_{3}}=\frac{A\sqrt{3}}{2}=6,25\sqrt{3}\Rightarrow A=12,5cm$ $\Rightarrow $ Quãng đường ngắn nhất vật đi từ ${{t}_{1}}$ đến ${{t}_{3}}$ là: $S=2A=25cm.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

Từ ${{x}_{1}}$ đến ${{x}_{2}}$, ta có: ${{x}_{2}}-{{x}_{1}}=5cm$và $\alpha =\vartriangle t.\omega $ Từ ${{x}_{2}}$ đến ${{x}_{3}}$, ta có: ${{\alpha }_{2}}=T.{\omega }/{4}\;={\pi }/{2}\;\Rightarrow {{x}_{2}}^{2}+{{5}^{2}}={{A}^{2}}$ Từ ${{x}_{3}}$ đến ${{x}_{1}}$ đi hết một chu kỳ $\Rightarrow \vartriangle t+{T}/{4}\;+5\vartriangle t=T$ $\Rightarrow \vartriangle t={T}/{8}\;\Rightarrow \alpha ={{45}^{\circ }}$ Ta có: $\begin{array}{} \cos \alpha =\cos \left( \beta -\varphi  \right)=\cos \beta .cos\varphi +sin\beta .sin\varphi  \\ {} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{{{x}_{1}}}{A}.\frac{{{x}_{2}}}{A}+\sqrt{\left( 1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{{A}^{2}}} \right)\left( 1-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{{A}^{2}}} \right)} \\ {} \Leftrightarrow {{\left( \frac{{{x}_{1.}}{{x}_{2}}}{{{A}^{2}}} \right)}^{2}}+\frac{1}{2}-\sqrt{2}.\frac{{{x}_{1.}}{{x}_{2}}}{{{A}^{2}}}={{\left( \frac{{{x}_{1.}}{{x}_{2}}}{{{A}^{2}}} \right)}^{2}}+1-\left( \frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{{A}^{2}}} \right) \\ {} \Rightarrow \left( \frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{{A}^{2}}} \right)-\sqrt{2}.\frac{{{x}_{1.}}{{x}_{2}}}{{{A}^{2}}}=0,5 \\ {} \Rightarrow {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}-\sqrt{2}.{{x}_{1.}}{{x}_{2}}=0,5\left( {{x}_{2}}^{2}+25 \right) \\ {} \Rightarrow {{\left( {{x}_{2}}-5 \right)}^{2}}+{{x}_{2}}^{2}-\sqrt{2}\left( {{x}_{2}}-5 \right){{x}_{2}}=0,5\left( {{x}_{2}}^{2}+25 \right) \\ {} \Rightarrow \left( \frac{3-2\sqrt{2}}{2} \right){{x}_{2}}^{2}+\left( 5\sqrt{2}-10 \right)x+12,5=0 \\ \end{array}$ $\Rightarrow {{x}_{2}}=5cm$và ${{x}_{2}}=29,14cm$

TH1:

$\begin{array}{} {{x}_{2}}=5cm\Rightarrow {{x}_{1}}=0\Rightarrow A=5\sqrt{2}cm \\ {} \vartriangle {t}'=2,4\vartriangle t\Rightarrow \vartriangle \alpha =\vartriangle {t}'.\omega =0,6\pi \Rightarrow S=A+\left( A-A\cos \left( 0,1\pi  \right) \right)=7,417cm \\ \end{array}$

TH2:

${{x}_{2}}=29,41cm\Rightarrow {{x}_{1}}=24,14cm\Rightarrow A=29,57cm$

$\vartriangle t=1,2s\Rightarrow \vartriangle \alpha =\vartriangle t.\omega =0,6\pi \Rightarrow S=\left( A-{{x}_{1}} \right)+\left( A-A\cos 1,27 \right)=26,21cm.$

Chọn B.