Cách giải bài toán tính Thể tích một số khối chóp đặc biệt - Tự Học 365

Cách giải bài toán tính Thể tích một số khối chóp đặc biệt

Cách giải bài toán tính Thể tích một số khối chóp đặc biệt

Cách giải bài toán tính Thể tích một số khối chóp đặc biệt

Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau

Cho khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ có tất cả các cạnh bên bằng nhau: $S{{A}_{1}}=S{{A}_{2}}=...=S{{A}_{n}}$.

Dựng đường cao $SH\bot \left( {{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{n}} \right)$ của khối chóp.

41.jpg

Khi đó theo định lý Pytago  ta có:

$S{{H}^{2}}=S{{A}_{1}}^{2}-H{{A}_{1}}^{2}=S{{A}_{2}}^{2}-H{{A}_{2}}^{2}=....=S{{A}_{n}}^{2}-H{{A}_{n}}^{2}$.

Lại có $S{{A}_{1}}=S{{A}_{2}}=...=S{{A}_{n}}$ suy ra $H{{A}_{1}}=H{{A}_{2}}=...=H{{A}_{n}}$.

Như vậy: Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$.

Khi đó $SH=h={{R}_{}}\tan \alpha $.

Khối chóp có các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau

42.jpg

Cho khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ có tất cả các cạnh bên đều tạo với đáy một góc $\alpha $.

Dựng đường cao $SH\bot \left( {{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{n}} \right)$ của khối chóp.

Khi đó: $\widehat{S{{A}_{1}}H}=\widehat{S{{A}_{2}}H}=....=\widehat{S{{A}_{n}}H}=\alpha $suy ra

$SH=H{{A}_{1}}\tan \alpha =H{{A}_{2}}\tan \alpha =....=H{{A}_{n}}\tan \alpha $.

Do đó $H{{A}_{1}}=H{{A}_{2}}=...=H{{A}_{n}}$ suy ra hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$.

Khi đó $SH=h={{R}_{}}\tan \alpha $.

Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy các góc bằng nhau

43.jpg

Cho khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ có tất cả các mặt bên đều tạo với đáy một góc$\alpha $

Dựng đường cao $SH\bot \left( {{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{n}} \right)$ của khối chóp. Dựng

$H{{K}_{1}}\bot {{A}_{1}}{{A}_{2}}$,$H{{K}_{2}}\bot {{A}_{2}}{{A}_{3}}$,… ,$H{{K}_{n}}\bot {{A}_{n}}{{A}_{1}}$

Do $\left\{ \begin{array}  {} H{{K}_{1}}\bot {{A}_{1}}{{A}_{2}} \\  {} {{A}_{1}}{{A}_{2}}\bot SH \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{A}_{1}}{{A}_{2}}\bot \left( S{{K}_{1}}H \right)\Rightarrow \widehat{S{{K}_{1}}H}=\alpha $.

Tương tự như vậy ta có: $\overset\frown{S{{K}_{1}}H}=\overset\frown{S{{K}_{2}}H}=....=\overset\frown{S{{K}_{n}}H}=\alpha $.

Suy ra $SH=H{{K}_{1}}\tan \alpha =H{{K}_{2}}\tan \alpha ....=H{{K}_{n}}\tan \alpha $ do đó

$H{{K}_{1}}=H{{K}_{2}}=...=H{{K}_{n}}$.

Suy ra điểm H trùng với tâm đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh (hay đường tròn nội tiếp) của đa giác${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$.

Khi đó $SH=h={{r}_{}}\tan \alpha $.

Bài tập trắc nghiệm tính thể tích khối chóp đặc biệt có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC, các cạnh bên SA=SB=SC= $a$. Biết rằng $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=60{}^\circ $, $\widehat{ASC}=90{}^\circ $. Thể tích khối chóp đã cho là:

A.V=  $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.                    B. V=  $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.                         C. V= $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.                          D.V=$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.

Lời giải chi tiết:

4.1.jpg

Dễ thấy các tam giác ASB, BSC là tam giác đều do đó AB = BC =$a$.

Mặt khác:$AC=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}$

Do đó tam giác ABC vuông tại B.

Mặt khác SA = SB = SC =$a$ nên hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và là trung điểm của cạnh huyền AC.

Ta có: $SH=\frac{a\sqrt{2}}{2}$; ${{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}$$\Rightarrow $${{V}_{S.ABC}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.

Chọn C.

 

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC, các cạnh bên SA=SB=SC= $a$. Biết rằng $\widehat{ASB}=60{}^\circ $,$\widehat{BSC}=90{}^\circ $, $\widehat{ASC}=120{}^\circ $. Thể tích khối chóp đã cho là:

A.V=  $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.                       B. V=  $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.                          C. V= $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.                         D.V=$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.

Lời giải chi tiết:

4.2.jpg

Tam giác SAB đều nên AB=$a$ , $\Delta $SBC vuông tại S nên $BC=\sqrt{S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}$.

Mặt khác $AC=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}-2SA.SC\cos \widehat{ASC}}=a\sqrt{3}$

Do $A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}$nên tam giác ABC vuông tại B.

Mặt khác SA=SB=SC= $a$ nên hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và là trung điểm của cạnh huyền AC.

Ta có: ${{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}$, $SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-H{{A}^{2}}}=\frac{a}{2}$.

$\Rightarrow $${{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$. Chọn C.

 

Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC, có AB=AC= $a$, $\widehat{BAC}=120{}^\circ $. Các cạnh bên đều tạo với đáy một góc $60{}^\circ $.Thể tích khối chóp S.ABC là:

A.V= $\frac{{{a}^{3}}}{4}$ .                      B. V=$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$ .              C. V=$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.                      D.V=$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.

Lời giải chi tiết: 

Diện tích tam giác ABC là: ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.

Do các cạnh bên đều tạo với đáy một góc bằng $60{}^\circ $$\Rightarrow $  hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lại có:$BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC\cos \widehat{BAC}}=a\sqrt{3}\Rightarrow {{R}_{ABC}}=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sin 120{}^\circ }=a$.

Suy ra $SH={{R}_{ABC}}.\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}$$\Rightarrow $${{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{3}}}{4}$. Chọn A.

Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B có AB = 3, BC = 4. Biết rằng các mặt bên của khối chóp đều tạo với đáy một góc bằng nhau và bằng $60{}^\circ $. Thể tích khối chóp đã cho là

A.V= $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ .                 B. V=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$ .                       C. V=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$.                               D.V=$\frac{5\sqrt{3}}{12}$.

Lời giải chi tiết:

4.4.jpg

Ta có: H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Lại có $p.r={{S}_{ABC}}$.

Trong đó ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.BC=6$;$AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=5$

Suy ra $p=\frac{AB+BC+CA}{2}=6\Rightarrow r=\frac{5}{6}=HK$.

Khi đó $SH=r\tan 60{}^\circ =\frac{5\sqrt{3}}{6}$

Do đó $V=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$. Chọn A.

 

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A có AB = AC= 10, BC= 12. Các mặt bên của khối chóp đều tạo với đáy một góc bằng nhau và bằng ${{30}^{o}}$. Thể tích khối chóp đã cho là

  1. $18\sqrt{3}$.                         B. $48\sqrt{3}$.                             C. $16\sqrt{3}$.                                D.$9\sqrt{3}$.

Lời giải chi tiết:

4.5.jpg

Do các mặt bên của khối chóp đều tạo với đáy một góc bằng nhau nên hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Gọi M là trung điểm của BC$\Rightarrow $AM $\bot $BC

Ta có:$AM=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}=\sqrt{{{10}^{2}}-{{6}^{2}}}=8$.

Khi đó: ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AM.BC=48\Rightarrow {{r}_{ABC}}=\frac{S}{p}=\frac{48}{\frac{10+10+12}{2}}=3$$\Rightarrow SH=r\tan 30{}^\circ =\sqrt{3}$$\Rightarrow $$V=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=16\sqrt{3}$.Chọn C.

 

..

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12