Cách dùng phương pháp trục giải bài toàn thời gian

PHƯƠNG PHÁP 2. SỬ DỤNG TRỤC THỜI GIAN

I.                    LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1.     Lý thuyết

Thời gian vật đi từ VTCB đến li độ x hoặc ngược lại là $t=\frac{1}{\omega }\arcsin \frac{\left| x \right|}{A}$

Thời gian vật đi từ biên đến li độ x hoặc ngược lại thì $t=\frac{1}{\omega }\arccos \frac{\left| x \right|}{A}$

Chứng minh: Khi vật đi từ vị trí x đến vị trí cân bằng, góc vật quét được là $\alpha $

Ta có: $\sin \alpha =\frac{OP}{A}=\left| \frac{x}{A} \right|\Rightarrow \alpha =\arcsin \left| \frac{x}{A} \right|$

Do đó ${{t}_{1}}=\frac{1}{\omega }\arcsin \frac{\left| x \right|}{A}$

Tương tự khi vật đi từ vị trí biên về vị trí có li độ x vật quét được 1 góc là $\beta $

Ta có: $\cos \beta =\left| \frac{x}{A} \right|\Rightarrow \beta =\arccos \left| \frac{x}{A} \right|\Rightarrow t=\frac{1}{\omega }\arccos \left| \frac{x}{A} \right|$

2.     Bài tập mẫu

Bài tập mẫu 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình $x=8\cos \left( \frac{4\pi t}{3}-\frac{\pi }{2} \right)\left( cm \right)$ . Thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm có li độ ${{x}_{1}}=-4\sqrt{3}cm$ đến điểm có li độ ${{x}_{2}}=4cm$ là

Lời giải chi tiết

Thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm có li độ ${{x}_{1}}=-4\sqrt{3}cm$ đến điểm có li độ ${{x}_{2}}=4cm$ bằng tổng thời gian ngắn nhất vật đi từ ${{x}_{1}}\Rightarrow $ VTCB và từ VTCB $\Rightarrow {{x}_{2}}$

Do đó ta có: $t={{t}_{1}}+{{t}_{2}}=\frac{1}{\omega }\arcsin \frac{\left| {{x}_{1}} \right|}{A}+\frac{1}{\omega }\arcsin \frac{\left| {{x}_{2}} \right|}{A}$

Hay $t=\frac{1}{\omega }\left( \arcsin \frac{\left| {{x}_{1}} \right|}{A}+\arcsin \frac{\left| {{x}_{2}} \right|}{A} \right)=\frac{3}{4\pi }\left( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}+\arcsin \frac{1}{2} \right)=0,375s$

Ghi nhớ các khoảng thời gian đặc biệt:

Vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kì T. Khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ:

Vị trí có li độ x = 0 đến x = A hoặc ngược lại là $\Delta t=\frac{T}{4}$

Vị trí có li độ x = 0 đến $x=\pm \frac{A}{2}$  hoặc ngược lại là $\Delta t=\frac{T}{12}$

Vị trí có li độ x = 0 đến $x=\pm \frac{A}{\sqrt{2}}$ hoặc ngược lại là $\Delta t=\frac{T}{8}$

Vị trí có li độ x = 0 đến $x=\pm \frac{A\sqrt{3}}{2}$ hoặc ngược lại là $\Delta t=\frac{T}{6}$

Vị trí có li độ $x=\frac{A}{2}$ đến x = A hoặc ngược lại là $\Delta t=\frac{T}{6}$

Vị trí có li độ $x=\frac{A\sqrt{3}}{2}$ đến x = A hoặc ngược lại là $\Delta t=\frac{T}{12}$

Ta có sơ đồ các khoảng thời gian đặc biệt trong dao động điều hòa:

Từ các phương pháp trên khi làm bài toán về thời gian trong dao động điều hòa ta nên vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp đã được học cho mỗi bài toán.

Bài tập mẫu 2: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình $x=10\cos \left( \frac{4\pi }{3}t-\frac{2\pi }{3} \right)cm$ . Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật di chuyển trong từng trường hợp sau:

a) Từ vị trí cân bằng đến điểm có li độ x = 5cm

b) Từ vị trí biên dương đến điểm có li độ $x=5\sqrt{3}cm$

c) Từ vị trí có li độ $x=-5\sqrt{2}cm$ đến điểm có li độ x = 5cm

d) Từ điểm có li độ $x=-5cm$ đến điểm có li độ $x=-5\sqrt{3}cm$

e) Từ điểm có li độ $x=5\sqrt{2}cm$ đến điểm có li độ $x=5\sqrt{3}cm$

f) Từ vị trí cân bằng đến vị trí có li độ x = 7cm

g) Từ vị trí biên âm đến vị trí có li độ x = 3cm

h) Từ vị trí có li độ x = 5 cm theo chiều âm đến vị trí có li độ x = -2cm theo chiều dương

Lời giải chi tiết

Ta có: $T=\frac{2\pi }{\omega }=1,5s$

Dựa vào các khoảng thời gian đặt biệt ta có:

a) Thời gian vật đi từ vị trí cân bằng (x = 0) đến điểm có li độ $x=5cm=\frac{A}{2}$ là

$\Delta t=\frac{T}{12}=\frac{1,5}{12}=0,125\left( s \right)$

b) Thời gian vật đi từ vị trí biên dương (x = A) đến điểm có li độ $x=5\sqrt{3}=\frac{A\sqrt{3}}{2}$ là

$\Delta t=\frac{T}{12}=\frac{1,5}{12}=0,125\left( s \right)$

c) Thời gian vật đi từ vị trí  có li độ $x=-5\sqrt{2}cm=\frac{-A}{\sqrt{2}}$  đến điểm có li độ $x=5\,cm=\frac{A}{2}$ là

$\Delta t=\frac{T}{8}+\frac{T}{12}=0,3125\left( s \right)$

d) Thời gian vật đi từ điểm  có li độ $x=-5cm=\frac{-A}{2}$  đến điểm có li độ $x=-5\sqrt{3}=\frac{-A\sqrt{3}}{2}$ là

$\Delta t=\frac{T}{6}-\frac{T}{12}=\frac{T}{12}=0,125\left( s \right)$

e) Thời gian vật đi từ điểm  có li độ $x=5\sqrt{2}=\frac{A}{\sqrt{2}}$  đến điểm có li độ $x=5\sqrt{3}=\frac{A\sqrt{3}}{2}$ là

$\Delta t=\frac{T}{6}-\frac{T}{8}=\frac{T}{24}=0,0625\left( s \right)$

f) Thời gian vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí có li độ x = 7cm là

$\Delta t=\frac{1}{\omega }\arcsin \frac{\left| x \right|}{A}=\frac{3}{4\pi }\arcsin \frac{7}{10}=0,185\left( s \right)$

g) Thời gian vật đi từ vị trí biên âm đến vị trí có li độ x = 3cm là

$\Delta t=\frac{T}{4}+\frac{1}{\omega }\arcsin \frac{\left| x \right|}{A}=\frac{1,5}{4}+\frac{3}{4\pi }\arcsin \frac{3}{10}=0,448\left( s \right)$

h) Thời gian vật đi từ vị trí có li độ x = 5cm theo chiều âm đến vị trí có li độ x = -2cm theo chiều dương là

$\Delta t=\frac{T}{12}+\frac{T}{4}+\frac{1}{\omega }\arccos \left| \frac{x}{A} \right|=\frac{T}{3}+\frac{3}{4\pi }\arccos \left( 0,2 \right)=0,827\left( s \right)$

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TRỤC THỜI GIAN CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT:

Lời giải chi tiết

Khi vật có vận tốc $v=8\pi cm/s=\frac{{{v}_{\max }}}{2}.$ Lại có: ${{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow x=\frac{\pm A\sqrt{3}}{2}$

Do đó, khi vật có vận tốc là $8\pi cm/s$ thì $\left\{ \begin{array}{} v>0 \\ {} x=\frac{\pm A\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \right.$

Do đó $\Delta {{t}_{\min }}={{t}_{\left( \frac{A\sqrt{2}}{2}\to \frac{A\sqrt{3}}{2} \right)}}=\frac{T}{6}-\frac{T}{8}=\frac{T}{24}=\frac{1}{24}s$ . Chọn D

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{t}_{\left( -A\to \frac{A\sqrt{3}}{2} \right)}}={{t}_{\left( -A\to 0 \right)}}+{{t}_{\left( 0\to \frac{A\sqrt{3}}{2} \right)}}=\frac{T}{4}+\frac{T}{6}=0,5\Rightarrow T=1,2s$ . Chọn D

Lời giải chi tiết

Cách 1: Sử dụng phương pháp đường tròn

Ta có: tại $t=0\Rightarrow x=A,\left| a \right|=\frac{{{a}_{\max }}}{2}\Rightarrow \left| x \right|=\frac{A}{2}$

Tại thời điểm ban đầu $\varphi =0$

Như vậy thời gian ngắn nhất để gia tốc của vật bằng một nửa gia tốc cực đại bằng thời gian vật đi từ x = A đến $x=\frac{A}{2}$

Ta có: $\cos \alpha =\frac{1}{2}\Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{3}\Rightarrow {{t}_{\min }}=\frac{\alpha }{\omega }=\frac{1}{12}\left( s \right)$ . Chọn A

Cách 2: Sử dụng trục thời gian

Ta có: tại $t=0\Rightarrow x=A,\left| a \right|=\frac{{{a}_{\max }}}{2}\Rightarrow \left| x \right|=\frac{A}{2};\Delta {{t}_{\min }}={{t}_{\left( A\to \frac{A}{2} \right)}}=\frac{T}{6}=\frac{1}{2}\left( s \right)$ . Chọn A

Lời giải chi tiết

Ta có: $\left| v \right|=\frac{{{v}_{\max }}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left| x \right|=\frac{A}{2}\Leftrightarrow x=\pm \frac{A}{2}$

Do đó thời điểm lần thứ 3, tính từ biên âm đến khi vật có tốc độ bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$ lần tốc độ cực đại là $\Delta t={{t}_{\left( -A\to A \right)}}+{{t}_{\left( A\to \frac{A}{2} \right)}}=\frac{T}{2}+\frac{T}{6}=\frac{2T}{3}=1,2\Rightarrow T=1,8s$

$\Rightarrow {{v}_{\max }}=\omega A=\frac{2\pi }{T}.A=17,45cm/s$ . Chọn A

Lời giải chi tiết

Tại thời điểm ban đầu ta có: $\varphi =-\frac{\pi }{3}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} x=2\left( cm \right) \\ {} v>0 \\ \end{array} \right.$

Lại có: $a=-50{{\pi }^{2}}\sqrt{3}=-{{\omega }^{2}}x\Rightarrow x=2\sqrt{3}\left( cm \right)$

Do đó: $\Delta t={{t}_{\left( \frac{A}{2}\to \frac{A\sqrt{3}}{2} \right)}}={{t}_{\left( 0\to \frac{A\sqrt{3}}{2} \right)}}-{{t}_{\left( 0\to \frac{A}{2} \right)}}=\frac{T}{6}-\frac{T}{12}=\frac{T}{12}=\frac{2\pi }{12\omega }=\frac{1}{30}=0,033\left( s \right)$ . Chọn C

Lời giải chi tiết

Ta có: $\left| v \right|={{v}_{\max }}\Rightarrow x=0$ . Khi đó $\Delta t={{t}_{\left( \frac{A}{2}\to A \right)}}+{{t}_{\left( A\to 0 \right)}}=\frac{T}{6}+\frac{T}{4}=\frac{5T}{12}$ . Chọn D

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}=1-{{\left( \frac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}},$ do $v\ge \frac{{{v}_{\max }}}{2}$ nên $\left| x \right|\le \frac{A\sqrt{3}}{2}$

Khi đó $\Delta t=2{{t}_{\left( \frac{-A\sqrt{3}}{2}\to \frac{A\sqrt{3}}{2} \right)}}=2.\frac{T}{6}=\frac{T}{3}$ . Chọn B

Bài tập 8: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Gọi vmax là tốc độ cực đại của vật trong quá trình dao động, v là tốc độ tức thời của chất điểm. Trong một chu kì, khoảng thời gian mà   là 0,333s. Biết rằng khi vận tốc của vật là   thì gia tốc của vật là   . Biên độ dao động của vật là A. 10cm B. 12,5cm C. 13cm D. 15cm

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}=1-{{\left( \frac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}$ , do $v\ge \frac{{{v}_{\max }}\sqrt{3}}{2}$nên $\left| x \right|\le \frac{A}{2}$

Khi đó $\Delta t=2{{t}_{\left( \frac{-A}{2}\to \frac{A}{2} \right)}}=2.\frac{T}{12}=\frac{T}{6}=0,33\left( s \right)\Rightarrow T=2s\Rightarrow \omega =\frac{2\pi }{T}=\pi \left( rad/s \right)$

Ta có: $x=\frac{a}{-{{\omega }^{2}}}=-10cm\Rightarrow A=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( \frac{v}{\omega } \right)}^{2}}}=12,5cm$ . Chọn B

Lời giải chi tiết

Do $\ell =2A\Rightarrow A=\frac{\ell }{2}=20\left( cm \right).$ Tại $t=0,x=-10$ và đang tăng nên v > 0

Khi đó $t={{t}_{\left( -10\to 20 \right)}}={{t}_{\left( -\,\frac{A}{2}\to A \right)}}={{t}_{\left( -\,\frac{A}{2}\to 0 \right)}}+\,{{t}_{\left( 0\to \frac{A}{2} \right)}}=\frac{T}{12}+\frac{T}{4}=\frac{T}{3}=\frac{1}{3}\Rightarrow T=1\left( s \right)$

Suy ra $v=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=\frac{2\pi }{T}\sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=20\sqrt{3}cm/s$ .Chọn B

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}=3{{t}_{1}}={{t}_{\left( 0\to A \right)}}=\frac{T}{4}\Rightarrow {{t}_{1}}=\frac{T}{12}={{t}_{\left( 0\to \frac{A}{2} \right)}}\Rightarrow {{x}_{0}}=\frac{A}{2}\Rightarrow A=2{{x}_{0}}$ . Chọn C

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}=4{{t}_{1}}={{t}_{\left( 0\to A \right)}}=\frac{T}{4}\Rightarrow {{t}_{1}}=\frac{T}{16}={{t}_{\left( 0\to {{x}_{0}} \right)}}=\frac{1}{\omega }\arcsin \frac{{{x}_{0}}}{A}$

Do đó $\frac{T}{16}=\frac{T}{2\pi }\arcsin \frac{{{x}_{0}}}{A}\Rightarrow \sin \frac{\pi }{8}=\frac{{{x}_{0}}}{A}\Rightarrow A=\frac{{{x}_{0}}}{\sin \frac{\pi }{8}}$ . Chọn D

Tổng quát bài toán: Khi ${{t}_{2}}=\,n.{{t}_{1}}$ ta suy ra $A=\frac{{{x}_{0}}}{\sin \frac{\pi }{2\left( n+1 \right)}}\,\,hay\,{{x}_{0}}=A\sin \frac{\pi }{2\left( n+1 \right)}.$

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{a}_{\max }}={{\omega }^{2}}A$

Mặt khác ${{t}_{\left( -\,\,\frac{A\sqrt{3}}{2}\to \frac{A\sqrt{2}}{2} \right)}}={{t}_{\left( -\,\,\frac{A\sqrt{3}}{2}\to 0 \right)}}+{{t}_{\left( 0\to \frac{A\sqrt{2}}{2} \right)}}=\frac{T}{6}+\frac{T}{8}=1,75\left( s \right)\Rightarrow T=6\left( s \right)$

Do đó $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{\pi }{3}\left( rad/s \right)$

Lại có: $A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( \frac{3}{\pi }.\pi  \right)}^{2}}}=3\sqrt{2}cm$

Do vậy ${{a}_{\max }}={{\omega }^{2}}A=\frac{{{\pi }^{2}}}{9}.3\sqrt{2}=4,65cm/{{s}^{2}}$ .Chọn A

Lời giải chi tiết

Ta có thời gian cần tìm là $\Delta t={{t}_{\left( 3\to 6 \right)}}+{{t}_{\left( 6\to 0 \right)}}+{{t}_{\left( 0\to -\,3\sqrt{3} \right)}}=\frac{T}{6}+\frac{T}{4}+\frac{T}{6}=\frac{7T}{12}$

Mặt khác $T=\frac{2\pi }{\omega }=0,5s\Rightarrow \Delta t=\frac{7}{24}s$ . Chọn A

Lời giải chi tiết

Khi $\left| v \right|=10\sqrt{2}cm/s\Rightarrow x=\pm \sqrt{{{A}^{2}}-\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=\pm \frac{A}{\sqrt{2}}$

Tại thời điểm t₁ gia tốc của chất điểm cực tiểu (vật ở biên dương)

Vì $\Delta t<2015T$ nên $\Delta {{t}_{\max }}=2015T-\frac{T}{8}=4025,75s$ . Chọn D

Lời giải chi tiết

Không mất tính tổng quát có thể xem ở thời điểm ${{t}_{1}}$ vật có vận tốc ${{v}_{0}}$ và đang tăng, đến thời điểm ${{t}_{2}}$ vật có vận tốc ${{v}_{0}}$ và đang giảm, đến thời điểm ${{t}_{3}}$ vật có vận tốc $-{{v}_{0}}$ và đang giảm.

Theo bài ra $\left\{ \begin{array}{} {{t}_{3}}-{{t}_{1}}=2\Delta t+2\left( \frac{T}{4}-\Delta t \right) \\ {} {{t}_{3}}-{{t}_{2}}=2\Delta t \\ \end{array} \right.$

Mà ${{t}_{3}}-{{t}_{1}}=2\left( {{t}_{3}}-{{t}_{2}} \right)$ , suy ra $2\Delta t+2\left( \frac{T}{4}-\Delta t \right)=2.2\Delta t\Rightarrow \Delta t=\frac{T}{8}$

Thay $\Delta t=\frac{T}{8}$ vào công thức ${{v}_{0}}={{v}_{\max }}\sin \frac{2\pi }{T}\Delta t$ ta tính được ${{v}_{\max }}=40cm/s$ . Chọn B.