Cách dạng bài tập tính góc trong không gian oxyz: 2 mặt phẳng, 2 đường thẳng, dt và mp

Cách dạng bài tập tính góc trong không gian oxyz: 2 mặt phẳng, 2 đường thẳng, dt và mp

1) Góc giữa 2 mặt phẳng .

Gọi $\varphi $ là góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) ta có:

$\cos \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right) \right|=\frac{\left| A.A'+B.B'+C.C' \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}.\sqrt{A{{'}^{2}}+B{{'}^{2}}+C{{'}^{2}}}}({{0}^{o}}\le \varphi ,9{{0}^{o}})$

2) Góc giữa 2 đường thẳng

Cho 2 đường thẳng ${{d}_{1}}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=({{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{2}})$và đường thẳng ${{d}_{2}}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=({{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}})$. Góc $\varphi $ giữa hai đường thẳng đó được tính theo công thức

$\cos \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}+{{c}_{1}}{{c}_{2}} \right|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}.\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}({{0}^{o}}\le \varphi ,9{{0}^{o}})$

3) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}(A;B;C)$. Gọi $\varphi $ là góc giữa d và (P) thì $\varphi $ được tính theo công thức

$\sin \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{n} \right) \right|=\frac{\left| A.a+B.b+C.c \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}({{0}^{o}}\le \varphi ,9{{0}^{o}})$

Bài tập trắc nghiệm về góc trong không gian có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\overrightarrow{{{n}_{1}}}=(2;-1;-2);\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(1;-1;0)$

Khi đó: $\cos \left( (P);(Q) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| 2.1+2-2.0 \right|}{\sqrt{4+1+4}.\sqrt{2}}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{\left( (P);(Q) \right)}={{45}^{0}}$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Ta có $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\overrightarrow{{{n}_{1}}}=(2;-1;2);\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(1;2;-1)$

Khi đó: $\cos \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| 2-2-2 \right|}{\sqrt{4+1+4}.\sqrt{1+4+1}}=\frac{2}{3\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{9}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\overrightarrow{{{n}_{1}}}=(m;2;m);\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(1;m;1)$

Khi đó: $\cos {{45}^{o}}=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| m+2m+m \right|}{\sqrt{2{{m}^{2}}+4}.\sqrt{{{m}^{2}}+2}}=\frac{4\left| m \right|}{\sqrt{2}\left( {{m}^{2}}+2 \right)}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{4\left| m \right|}{\sqrt{2}({{m}^{2}}+2)}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2=4\left| m \right|\xrightarrow{t=\left| m \right|>0}{{t}^{2}}-4t+2=0\Rightarrow t=2\pm \sqrt{2}\Rightarrow m=\pm \sqrt{2\pm \sqrt{2}}$

Suy ra có 4 giá trị của m.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Ta có $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\overrightarrow{{{n}_{1}}}=(4;m;m);\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(1;-1;0)$

Khi đó: $\cos {{60}^{o}}=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| 4-m \right|}{\sqrt{2{{m}^{2}}+16}.\sqrt{2}}=\frac{\left| 4-m \right|}{2\sqrt{{{m}^{2}}+8}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{\left| 4-m \right|}{2\sqrt{{{m}^{2}}+8}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+8={{(4-m)}^{2}}\Leftrightarrow 8=16-8m\Leftrightarrow m=1$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

$\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(-1;4;3);\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(1;-4;-3)\Rightarrow \cos ({{d}_{1}};{{d}_{2}})=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| -26 \right|}{\sqrt{1+16+9}.\sqrt{1+16+9}}=1.$

Do đó $\widehat{\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)}={{0}^{o}}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

$\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1;-2;3);\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(-4;1;5)\Rightarrow \cos ({{d}_{1}};{{d}_{2}})=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| -4-2-15 \right|}{\sqrt{1+4+9}.\sqrt{16+1+25}}=\frac{21}{14\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Suy ra $\widehat{\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)}={{30}^{o}}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{AB}}}=\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(-1;1;0);\overrightarrow{{{u}_{CD}}}=\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(-2;1;-2)$

Khi đó: $\cos \left( \widehat{AB;CD} \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| 2+1 \right|}{\sqrt{2}.3}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left( \widehat{AB;CD} \right)={{45}^{o}}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(2;2;-1);\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(1;-2;1)\Rightarrow cos\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| 2-4-1 \right|}{3.\sqrt{6}}=\frac{3}{3\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}.$

Suy ra $\left( \widehat{{{d}_{1}};{{d}_{2}}} \right)={{30}^{o}}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1;-\sqrt{2};1);\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(1;\sqrt{2};m)\Rightarrow \cos \left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| 1-2+m \right|}{2.\sqrt{{{m}^{2}}+3}}=\frac{\left| m-1 \right|}{2.\sqrt{{{m}^{2}}+3}}$

Do $\left( \widehat{{{d}_{1}};{{d}_{2}}} \right)={{60}^{o}}\Rightarrow \cos {{60}^{o}}=\frac{\left| m-1 \right|}{2\sqrt{{{m}^{2}}+3}}\Leftrightarrow \frac{\left| m-1 \right|}{2.\sqrt{{{m}^{2}}+3}}=\frac{1}{2}.$

$\Leftrightarrow \left| m-1 \right|=\sqrt{{{m}^{2}}+3}\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m+1={{m}^{2}}+3\Leftrightarrow m=-1.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Ta có$\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=(1;-1;2);\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=(1;2;-1)\Rightarrow \sin \left( \widehat{(\alpha );\Delta } \right)=\left| \cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}};\overrightarrow{\Delta }} \right) \right|=\frac{\left| 1-2-2 \right|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \left( \widehat{\left( \alpha \right);\Delta } \right)={{30}^{o}}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Ta có $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;-2;0);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(5;1;0)\Rightarrow sin\left( \widehat{(P);\Delta } \right)=\left| \cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{\Delta }} \right) \right|=\frac{\left| 15-2 \right|}{\sqrt{13}.\sqrt{26}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left( \widehat{(P);\Delta } \right)={{45}^{o}}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Ta có $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;4;5);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2;1;1)\Rightarrow \sin \left( \widehat{(P);\Delta } \right)=\left| \cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{\Delta }} \right) \right|=\frac{\left| 6+4+5 \right|}{\sqrt{6}.\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left( \widehat{(P);\Delta } \right)={{60}^{o}}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Ta có $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;-2;5);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2;-1;1)\Rightarrow \sin \left( \widehat{(P);\Delta } \right)=\left| \cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{\Delta }} \right) \right|=\frac{\left| 6+2+5 \right|}{\sqrt{38}.\sqrt{6}}=\frac{13}{2\sqrt{57}}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Ta có $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(2;1;-1);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(1;-1;-2)\Rightarrow \sin \left( \widehat{(P);\Delta } \right)=\left| \cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{\Delta }} \right) \right|=\frac{\left| 2-1+2 \right|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}}=\frac{1}{2}.$

Suy ra $\left( \widehat{(P);\Delta } \right)={{30}^{o}}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Ta có $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(2;m;m);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(3;4;5)\Rightarrow \sin \left( \widehat{(P);\Delta } \right)=\left| \cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{\Delta }} \right) \right|=\frac{\left| 6+4m+5m \right|}{\sqrt{4+2{{m}^{2}}}.\sqrt{50}}$

$\Leftrightarrow \sin {{60}^{o}}=\frac{\left| 9m+6 \right|}{10\sqrt{{{m}^{2}}+2}}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\left| 9m+6 \right|}{10\sqrt{{{m}^{2}}+2}}\Leftrightarrow 3.25\left( {{m}^{2}}+2 \right)=9{{(3m+2)}^{2}}$

$\Leftrightarrow 3(9{{m}^{2}}+12m+4)=25{{m}^{2}}+50\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+36m-38=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=1 \\ & m=-19. \\ \end{align} \right.$