Cách Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
Cách Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
Phương pháp giải:
– Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b, ta đi tìm mặt phẳng (β) chứa đường thẳng b sao cho việc chứng minh a ⊥ (β) dễ thực hiện.
– Sử dụng định lý ba đường vuông góc.
Bài tập về chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một. |
Lời giải chi tiết
Gọi M là trung điểm của AB
Tứ diện ABCD đều nên ∆ABD và ∆ABC là các tam giác đều suy ra {DM⊥ABCM⊥AB⇒AB⊥(MCD)
Do đó AB⊥CD
Chứng minh tương tự ta cũng có BC⊥AD,AC⊥BD
| Bài tập 2: Hình chóp S.ABCD có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD=CD=AB2
a) Gọi I là trung điểm của đoạn AB, chứng minh CI⊥AB và DI⊥SC b) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông. |
Lời giải chi tiết
a) Đặt AB = 2a ⇒ AD = CD = a
Do AB = 2CD ⇒ AI = AD = CD = CI = a
Khi đó AICD là hình vuông cạnh a.
Do đó CI⊥AB
Mặt khác {AC⊥DIDI⊥SA⇒DI⊥(SAC)⇒DI⊥SC
b) Do SA⊥(ABCD)⇒ΔSAD,ΔSAB vuông tại S.
Mặt khác {CD⊥ADCD⊥SA⇒CD⊥(SAD)⇒CD⊥SD
nên ∆SDC vuông tại D.
Xét ∆ACD có trung tuyến CI=AB2⇒ΔACDvuông tại C⇒BC⊥AC
Mặt khác BC⊥SA⇒BC⊥(SAC)⇒BC⊥SC⇒ΔSCBvuông tại C.
| Bài tập 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên CC’ vuông góc với đáy và CC’ = a.
a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI⊥BC′ b) Gọi M là trung điểm của BB’. Chứng minh BC′⊥AM c) Gọi K là điểm trên đoạn A’B’ sao cho B′K=a4 và J là trung điểm của B’C’. Chứng minh rằng: AM⊥MK và AM⊥KJ |
Lời giải chi tiết
a) Do ∆ABC là tam giác đều và I là trung điểm của BC nên AI⊥BC
Mặt khác AI⊥CC′⇒AI⊥(BCC′B′)⇒AI⊥BC′
b) Dễ thấy BCC’B’ là hình vuông nên B′C⊥BC′
Mặt khác MI là đường trung bình trong tam giác B’BC nên MI//B’C suy ra MI⊥BC′
Lại có: AI⊥BC′⇒BC′⊥(AIM)⇒BC′⊥AM
c) Ta có: tan^KMB′=KB′MB′=12;tan^AMB=ABBM=2
Suy ra tan^KMB′=cot^AMB⇒^KMB′+^AMB=90∘
Do đó ^AMK=90∘⇒AM⊥MK
Mặt khác {AM⊥BC′MJ//BC′⇒AM⊥MJ
Suy ra AM⊥(MKJ)⇒AM⊥KJ
| Bài tập 4: Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Chứng minh rằng MN⊥BD |
Lời giải chi tiết
Gọi I, P lần lượt là trung điểm của AB và SA, O là giao điểm của AC và BD.
Ta có: {IN//ACAC⊥BD⇒BD⊥IN (1)
Mặt khác {IM//BEBE⊥PO⇒IM⊥PO (*)
Mà PO⊥BD (**) (Do ∆BPD là tam giác cân tại P có đường trung tuyến PO).
Từ (*) và (**) ta có: BD⊥IM (2)
Từ (1) và (2) ta có: BD⊥(IMN)⇒BD⊥MN
TOÁN LỚP 12