Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng – bài tập có đáp án chi tiết - Tự Học 365

Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng – bài tập có đáp án chi tiết

Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng – bài tập có đáp án chi tiết

Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng – bài tập có đáp án

Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta chứng minh:

– a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).

– a song song với đường thẳng b mà b vuông góc với (P).

Bài tập chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD có hai mặt và ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC.

Điểm  là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh BC(ADI)BC(ADI)

b) Gọi AH là đường cao trong tam giác ADI. Chứng minh rằng AH(BCD)AH(BCD)

Lời giải chi tiết

a) Do các tam giác ABC và BCD là hai tam giác cân nên tại A và D ta có: {AIBCDIBC (trong tam giác cân đường trung tuyến đồng thời là đường cao)

Do đó BC(ADI).

b) Do AH là đường cao trong tam giác ADI nên AHDI

Mặt khác BC(ADI)BCAH

Do đó AH(BCD)

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA(ABCD). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD.

a) Chứng minh rằng BC(SAB),CD(SAD).

b) Chứng minh rằng AM(SBC);AN(SCD).

c) Chứng minh rằng SC(AMN) và MN//BD

d) Gọi là giao điểm của SC với mặt phẳng (AMN). Chứng minh rằng tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc.

Lời giải chi tiết

a) Do SA(ABCD)SABC

Mặt khác ABCD là hình vuông nên BCAB

Khi đó {BCABBCSABC(SAB)

Tương tự chứng minh trên ta có: CD(SAD)

b) Do BC(SAB)BCAM

Mặt khác AMSBAM(SBC)

Tương tự ta có: AN(SCD)

c) Do {AM(SBC)AN(SCD){AMSCANSCSC(AMN)

Hai tam giác vuông SAB và SAD bằng nhau có các đường cao tương ứng là AM và AN nên CM = DN. Mặt khác tam giác SBD cân tại đỉnh S nên MN//BD.

d) Do ABCD là hình vuông nên ACBD, mặt khác SABDBD(SAC)

Do MN//BDMN(SAC)MNAK

Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc.

a) Chứng minh hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng (BCD) trùng với trực tâm của tam giác BCD.

b) Chứng minh rằng 1AH2=1AB2+1AC2+1AD2

c) Chứng minh rằng tam giác BCD có 3 góc nhọn.

Lời giải chi tiết

a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD) thì AH(BCD)

Ta có {ADABADACAD(ABC)ADBC

Mặt khác AHBCBC(ADH)BCDH

Tương tự chứng minh trên ta có: BHCD

Do đó H là trực tâm của tam giác BCD.

b) Gọi E=DHBC, do BC(ADH)BCAE

Xét ∆ ABC vuông tại A có đường cao AE ta có: 1AE2=1AB2+1AC2

Lại có: 1AH2=1AD2+1AE2=1AB2+1AC2+1AD2(đpcm).

c) Đặt AB = x; AC = y; AD = z. Ta có: {BC=x2+y2BD=x2+z2CD=y2+z2

Khi đó cosB=BC2+BD2CD22.BC.BD=x2BC.BD>0^CBD<90

Tương tự chứng minh trên ta cũng có {^BDC<90^BCD<90 tam giác BCD có 3 góc nhọn.

Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABC có SA(ABC), các tam giác ABC và SBC là các tam giác nhọn. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:

a) AH, SK, BC đồng quy.

b) SC(BHK).

c) HK(SBC).

Lời giải chi tiết

a) Giả sử AHBC tại M.

Ta có: {BCAMBCSABC(SAM)BCSM

Mặt khác SKBC S, K, M thẳng hàng do đó AH, SK, BC đồng quy tại điểm M.

b) Do H là trực tâm của tam giác ABC nên BHAC

Mặt khác BHSABH(SAC)BHSC

Lại có: BKSCSC(BHK)

c) Do SC(BHK)SCHK, mặt khác BC(SAM)BCHK

Do đó HK(SBC)

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SA = SC, SB = SD.

a) Chứng minh rằng SO(ABCD)

b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK(SBD)IKSD

Lời giải chi tiết

a) Do SA = SC ∆ SAC cân tại có trung tuyến SO đồng thời là đường cao suy ra SOAC

Tương tự ta có: SOBDSO(ABCD)

b) Do ABCD là hình thoi nên ACBD

Mặt khác SO(ABCD)ACSO

Do vậy AC(SBD)

IK là đường trung bình trong tam giác BAC nên IK//ACAC(SBD)IK(SBD)

Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Tính các cạnh của tam giác SIJ, suy ra tam giác SIJ vuông.

b) Chứng minh rằng SI(SCD);SJ(SAB).

c) Gọi H là hình chiếu của S lên IJ, chứng minh rằng SH(ABCD).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: ∆SAB đều cạnh a nên SI=a32

Tứ giác IBCJ là hình chữ nhật nên IJ = BC = a

∆SCD là tam giác vuông cân đỉnh S SJ=CD2=a2

Do đó SJ2+SI2=IJ2=a2SIJ vuông tại S.

b) Do ∆SCD cân tại S nên SJCD

Do AB//CDSJAB

Mặt khác SJSISJ(SAB)

Chứng minh tương tự ta có: SI(SCD).

c) Do SI(SCD)SICD

Mặt khác CDIJCD(SIJ)CDSH

Do SHIJSH(ABCD)

Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, điểm I và H lần lượt là trung điểm của AB và BC. Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho MC = 2MI, NA = 2NS. Biết SH(ABC), chứng minh MN(ABC)

Lời giải chi tiết

Do điểm M thuộc đường trung tuyến CI và MC = 2MI

M là trọng tâm tam giác ABC M=AHCI

Ta có : NANS=MAMH=2MN//SH

Mặt khác SH(ABC)MN(ABC)

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12