Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta chứng minh:
– a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).
– a song song với đường thẳng b mà b vuông góc với (P).
Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD có hai mặt và ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC.
Điểm I là trung điểm của cạnh BC. a) Chứng minh BC⊥(ADI)BC⊥(ADI) b) Gọi AH là đường cao trong tam giác ADI. Chứng minh rằng AH⊥(BCD)AH⊥(BCD) |
Lời giải chi tiết
a) Do các tam giác ABC và BCD là hai tam giác cân nên tại A và D ta có: {AI⊥BCDI⊥BC (trong tam giác cân đường trung tuyến đồng thời là đường cao)
Do đó BC⊥(ADI).
b) Do AH là đường cao trong tam giác ADI nên AH⊥DI
Mặt khác BC⊥(ADI)⇒BC⊥AH
Do đó AH⊥(BCD)
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA⊥(ABCD). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD.
a) Chứng minh rằng BC⊥(SAB),CD⊥(SAD). b) Chứng minh rằng AM⊥(SBC);AN⊥(SCD). c) Chứng minh rằng SC⊥(AMN) và MN//BD d) Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng (AMN). Chứng minh rằng tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc. |
Lời giải chi tiết
a) Do SA⊥(ABCD)⇒SA⊥BC
Mặt khác ABCD là hình vuông nên BC⊥AB
Khi đó {BC⊥ABBC⊥SA⇒BC⊥(SAB)
Tương tự chứng minh trên ta có: CD⊥(SAD)
b) Do BC⊥(SAB)⇒BC⊥AM
Mặt khác AM⊥SB⇒AM⊥(SBC)
Tương tự ta có: AN⊥(SCD)
c) Do {AM⊥(SBC)AN⊥(SCD)⇒{AM⊥SCAN⊥SC⇒SC⊥(AMN)
Hai tam giác vuông SAB và SAD bằng nhau có các đường cao tương ứng là AM và AN nên CM = DN. Mặt khác tam giác SBD cân tại đỉnh S nên MN//BD.
d) Do ABCD là hình vuông nên AC⊥BD, mặt khác SA⊥BD⇒BD⊥(SAC)
Do MN//BD⇒MN⊥(SAC)⇒MN⊥AK
Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc.
a) Chứng minh hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng (BCD) trùng với trực tâm của tam giác BCD. b) Chứng minh rằng 1AH2=1AB2+1AC2+1AD2 c) Chứng minh rằng tam giác BCD có 3 góc nhọn. |
Lời giải chi tiết
a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD) thì AH⊥(BCD)
Ta có {AD⊥ABAD⊥AC⇒AD⊥(ABC)⇒AD⊥BC
Mặt khác AH⊥BC⇒BC⊥(ADH)⇒BC⊥DH
Tương tự chứng minh trên ta có: BH⊥CD
Do đó H là trực tâm của tam giác BCD.
b) Gọi E=DH∩BC, do BC⊥(ADH)⇒BC⊥AE
Xét ∆ ABC vuông tại A có đường cao AE ta có: 1AE2=1AB2+1AC2
Lại có: 1AH2=1AD2+1AE2=1AB2+1AC2+1AD2(đpcm).
c) Đặt AB = x; AC = y; AD = z. Ta có: {BC=√x2+y2BD=√x2+z2CD=√y2+z2
Khi đó cosB=BC2+BD2−CD22.BC.BD=x2BC.BD>0⇒^CBD<90∘
Tương tự chứng minh trên ta cũng có {^BDC<90∘^BCD<90∘⇒ tam giác BCD có 3 góc nhọn.
Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC), các tam giác ABC và SBC là các tam giác nhọn. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a) AH, SK, BC đồng quy. b) SC⊥(BHK). c) HK⊥(SBC). |
Lời giải chi tiết
a) Giả sử AH⊥BC tại M.
Ta có: {BC⊥AMBC⊥SA⇒BC⊥(SAM)⇒BC⊥SM
Mặt khác SK⊥BC⇒ S, K, M thẳng hàng do đó AH, SK, BC đồng quy tại điểm M.
b) Do H là trực tâm của tam giác ABC nên BH⊥AC
Mặt khác BH⊥SA⇒BH⊥(SAC)⇒BH⊥SC
Lại có: BK⊥SC⇒SC⊥(BHK)
c) Do SC⊥(BHK)⇒SC⊥HK, mặt khác BC⊥(SAM)⇒BC⊥HK
Do đó HK⊥(SBC)
Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SA = SC, SB = SD.
a) Chứng minh rằng SO⊥(ABCD) b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK⊥(SBD) và IK⊥SD |
Lời giải chi tiết
a) Do SA = SC ⇒ ∆ SAC cân tại S có trung tuyến SO đồng thời là đường cao suy ra SO⊥AC
Tương tự ta có: SO⊥BD⇒SO⊥(ABCD)
b) Do ABCD là hình thoi nên AC⊥BD
Mặt khác SO⊥(ABCD)⇒AC⊥SO
Do vậy AC⊥(SBD)
IK là đường trung bình trong tam giác BAC nên IK//AC mà AC⊥(SBD)⇒IK⊥(SBD)
Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính các cạnh của tam giác SIJ, suy ra tam giác SIJ vuông. b) Chứng minh rằng SI⊥(SCD);SJ⊥(SAB). c) Gọi H là hình chiếu của S lên IJ, chứng minh rằng SH⊥(ABCD). |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: ∆SAB đều cạnh a nên SI=a√32
Tứ giác IBCJ là hình chữ nhật nên IJ = BC = a
∆SCD là tam giác vuông cân đỉnh S ⇒SJ=CD2=a2
Do đó SJ2+SI2=IJ2=a2⇒△SIJ vuông tại S.
b) Do ∆SCD cân tại S nên SJ⊥CD
Do AB//CD⇒SJ⊥AB
Mặt khác SJ⊥SI⇒SJ⊥(SAB)
Chứng minh tương tự ta có: SI⊥(SCD).
c) Do SI⊥(SCD)⇒SI⊥CD
Mặt khác CD⊥IJ⇒CD⊥(SIJ)⇒CD⊥SH
Do SH⊥IJ⇒SH⊥(ABCD)
Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, điểm I và H lần lượt là trung điểm của AB và BC. Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho MC = 2MI, NA = 2NS. Biết SH⊥(ABC), chứng minh MN⊥(ABC) |
Lời giải chi tiết
Do điểm M thuộc đường trung tuyến CI và MC = 2MI
⇒ M là trọng tâm tam giác ABC ⇒M=AH∩CI
Ta có : NANS=MAMH=2⇒MN//SH
Mặt khác SH⊥(ABC)⇒MN⊥(ABC)
TOÁN LỚP 12