Các dạng bài toán tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số

Các bài toán tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số

Một số mẫu toán tìm m để hàm số có tiệm cận

þ Mẫu 1: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $c\ne 0$ .

- Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi $ad-bc\ne 0$.

þ Mẫu 2: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{x-{{x}_{0}}}$ với $a\ne 0$.

- Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi $g\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0$ không có nghiệm $x={{x}_{0}}\Leftrightarrow g\left( {{x}_{0}} \right)\ne 0$.

- Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi $g\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có nghiệm $x={{x}_{0}}\Leftrightarrow g\left( {{x}_{0}} \right)=0$.

þ Mẫu 3: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x-{{x}_{0}}}{a{{x}^{2}}+bx+c}\,\,\left( C \right)$ với $a\ne 0$.

- Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi $g\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt khác ${{x}_{0}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \Delta >0 \\  {} g\left( {{x}_{0}} \right)\ne 0 \\ \end{array} \right.$.

- Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi $g\left( x \right)=0$ có nghiệm kép $\Leftrightarrow \Delta =0$.

- Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi $g\left( x \right)=0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta <0$.

þ Mẫu 4: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)}\,\,\,\,\left( C \right)$ với $a\ne 0,\,\,{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$.

- Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi phương trình $g\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0$ không nhận ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} g\left( {{x}_{1}} \right)\ne 0 \\  {} g\left( {{x}_{2}} \right)\ne 0 \\ \end{array} \right.$.

- Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi phương trình $g\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có nghiệm $x={{x}_{1}}$ hoặc $x={{x}_{2}}\Rightarrow \left[ \begin{array}  {} g\left( {{x}_{1}} \right)=0 \\  {} g\left( {{x}_{2}} \right)=0 \\ \end{array} \right.$ (Chú ý hai điều kiện này không đồng thời xảy ra).

- Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi $g\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0$ nhận $x={{x}_{1}}$ và $x={{x}_{2}}$ là nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} g\left( {{x}_{1}} \right)=0 \\  {} g\left( {{x}_{2}} \right)=0 \\ \end{array} \right..$

þ Mẫu 5: Biện luận số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}$.

- Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang bậc của mẫu số lớn hơn hoặc bậc của mẫu số và phải tồn tại các giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y$.