Xét khối chóp $S.ABC$ có $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)$. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC$.
Dựng tâm. Gọi ${{O}_{1}},{{O}_{2}}$ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và SAB, E là trung điểm của AB, ta có
${{O}_{1}}E\bot AB\Rightarrow {{O}_{1}}E\bot \left( SAB \right)\left( do\text{ }\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right) \right).$
${{O}_{2}}E\bot AB\Rightarrow {{O}_{1}}E\bot \left( ABC \right).$
Qua ${{O}_{1}}$ dựng đường thẳng ${{d}_{1}}$ vuông góc với $\left( ABC \right)$ thì ${{d}_{1}}$ là trục của tam giác ABC và ${{d}_{1}}//{{O}_{2}}E.$
Qua ${{O}_{2}}$ dựng đường thẳng ${{d}_{2}}$ vuông góc với $\left( SAB \right)$ thì ${{d}_{2}}$ là trục của tam giác SAB và ${{d}_{2}}//{{O}_{1}}E.$
Tâm I của mặt cầu là giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$.
Tính bán kính $R$ của mặt cầu.
Tứ giác $E{{O}_{1}}I{{O}_{2}}$ là hình chữ nhật, suy ra $I{{E}^{2}}={{O}_{1}}{{E}^{2}}+{{O}_{2}}{{E}^{2}}.$
Gọi ${{R}_{1}},{{R}_{2}}$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, SAB.
Ta có${{O}_{1}}{{E}^{2}}={{O}_{1}}{{A}^{2}}-E{{A}^{2}}=R_{1}^{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4};{{O}_{2}}{{E}^{2}}={{O}_{2}}{{A}^{2}}-E{{A}^{2}}=R_{2}^{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}.$
Suy ra $I{{E}^{2}}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{2}\Rightarrow {{R}^{2}}=I{{E}^{2}}+E{{A}^{2}}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}.$
Tổng quát: Cho khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ có $\left( S{{A}_{1}}{{A}_{2}} \right)\bot \left( {{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}} \right).$ Đặt ${{R}_{1}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}$, ${{R}_{2}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ và ${{A}_{1}}{{A}_{2}}=GT$ (gọi là giao tuyến) thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp $R$ của khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ được tính theo công thức:
$R=\sqrt{R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\frac{G{{T}^{2}}}{4}}$
Bài tập 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=a$, tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng
A. $\frac{a\sqrt{3}}{3}.$ B. $\frac{a\sqrt{6}}{3}.$ C. $\frac{a\sqrt{3}}{2}.$ D. $\frac{a\sqrt{6}}{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm $AB\Rightarrow SH\bot AB\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$
Tam giác SAB vuông cân tại $S\xrightarrow{{}}{{R}_{b}}=\frac{AB}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Tam giác ABC đều cạnh $a\sqrt{2}\xrightarrow{{}}{{R}_{d}}=a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$
Vậy ${{R}_{b}}=\frac{a\sqrt{2}}{2};{{R}_{d}}=\frac{a\sqrt{6}}{3};GT=AB=a\sqrt{2}$ nên $R=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$
Chọn B.
Bài tập 2: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh $a,\widehat{ASB}={{30}^{0}},$ tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ bằng
A. $5\pi {{a}^{2}}.$ B. $7\pi {{a}^{2}}.$ C. $9\pi {{a}^{2}}.$ D. $3\pi {{a}^{2}}.$ |
Lời giải chi tiết
Tam giác SAB có $\widehat{ASB}={{30}^{0}},AB=a\xrightarrow{{}}{{R}_{b}}=\frac{AB}{2\sin \widehat{ASB}}=a$
ABCD là hình vuông cạnh $a\xrightarrow{{}}{{R}_{d}}=\frac{BD}{2}=\frac{AB\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Vậy ${{R}_{b}}=a;{{R}_{d}}=\frac{a\sqrt{2}}{2};GT=AB=a$ nên $R=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$
Diện tích mặt cầu cần tính là $S=4\pi {{R}^{2}}=5\pi {{a}^{2}}.$
Chọn A.
Bài tập 3: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy ABC là tam giác cân tại C, tam giác SAB đều cạnh a. Hình chiếu của S trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là trung điểm cạnh AB. Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng đáy một góc ${{45}^{0}}.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là
A. $\frac{a}{2}.$ B. $\frac{a\sqrt{3}}{2}.$ C. $\frac{a\sqrt{5}}{2}.$ D. $\frac{a\sqrt{3}}{3}.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm $AB\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$
$\Rightarrow \widehat{\left( SC;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC;HC \right)}=\widehat{SCH}={{30}^{0}}$
Tam giác SHM vuông cân tại$H,$ có $HM=\frac{SH}{\tan \widehat{SCH}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow CH=\frac{\sqrt{3}}{2}AB\Rightarrow $ Tam giác ABC đều cạnh a
Vậy ${{R}_{b}}={{R}_{d}}=\frac{a\sqrt{3}}{2};GT=AB=a$ nên $R=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$ Chọn C.
Bài tập 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng ${{30}^{0}}.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ bằng
A. $\frac{a\sqrt{6}}{2}.$ B. $\frac{a\sqrt{10}}{2}.$ C. $\frac{a\sqrt{15}}{2}.$ D. $\frac{a\sqrt{21}}{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm $AD\Rightarrow SH\bot AD\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$
Gọi M là trung điểm $BC\Rightarrow HM\bot BC\Rightarrow BC\bot \left( SHM \right)$
$\Rightarrow \widehat{\left( \left( SHM \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SM;HM \right)}=\widehat{SMH}={{30}^{0}}$
$\Rightarrow BD=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{H{{M}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\sqrt{13}$
Vậy ${{R}_{b}}=a\sqrt{3};{{R}_{d}}=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{13}}{2};GT=AD=2a$
nên $R=\frac{a\sqrt{21}}{2}.$
Chọn D.
Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có $AB=BC=BD=AC=a,AD=a\sqrt{2},$ hai mặt phẳng $\left( ACD \right)$ và $\left( BCD \right)$vuông góc với nhau. Diện tích mặt cầu đi qua bốn điểm $A,B,C,D$ bằng
A. $8\pi {{a}^{2}}.$ B. $4\pi {{a}^{2}}.$ C. $12\pi {{a}^{2}}.$ D. $6\pi {{a}^{2}}.$. |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm $CD\Rightarrow BH\bot CD\Rightarrow BH\bot \left( ACD \right)$
Mà $BA=BC=BD\Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ACD$
$\Rightarrow \Delta ACD$ vuông tại $A\Rightarrow CD=\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\sqrt{3}$
Tam giác BHC vuông tại $H\Rightarrow \cos C=\frac{HC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{B}={{120}^{0}}$
Vậy ${{R}_{b}}=\frac{CD}{2\sin B}=a\sqrt{3};{{R}_{d}}=\frac{CD}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2};GT=CD=a\sqrt{3}$
$\xrightarrow{{}}R=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}-{{\frac{\left( a\sqrt{3} \right)}{4}}^{2}}}=a\sqrt{3}\Rightarrow {{S}_{mc}}=12\pi {{a}^{2}}.$
Chọn C.
Bài tập 6: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( SCD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng ${{45}^{0}}.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ là
A. $R=\frac{a\sqrt{43}}{6}.$ B. $R=\frac{a\sqrt{41}}{6}.$ C. $R=\frac{a\sqrt{41}}{8}.$ D. $R=\frac{a\sqrt{43}}{8}.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $H,M$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD.$
$SH\bot AB$ mà $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot CD.$
Do $HM\bot CD$ suy ra $CD\bot \left( SHM \right)$
$\Rightarrow \widehat{\left( SCD \right);\left( ABCD \right)}=\widehat{SMH}={{45}^{0}}.$
Lại có ${{S}_{\Delta SAB}}=\frac{SA.SB.AB}{4.{{R}_{\Delta SAB}}}\Rightarrow {{R}_{\Delta SAB}}=\frac{5a}{8}$ và ${{R}_{ABCD}}=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$
Vậy ${{R}_{S.ABCD}}=\sqrt{R_{\Delta SAB}^{2}+R_{ABCD}^{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{41}}{8}.$
Chọn C.
Bài tập 7: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tam giác đều. Tam giác SAB đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng $SC=2a\sqrt{3},$ diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ là
A. $S=\frac{40\pi }{3}.$ B. $S=\frac{20\pi }{3}.$ C. $S=\frac{80\pi }{3}.$ D. $S=40\pi .$ |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó $SH\bot AB.$
Mặt khác $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right).$ Do vậy $SH\bot \left( ABC \right)$.
Đặt $AB=x.$ Ta có: $SH=HC=\frac{x\sqrt{3}}{2}$
Suy ra $SC=\frac{x\sqrt{6}}{2}=2a\sqrt{3}\Rightarrow x=2a\sqrt{2}$
Ta có: ${{R}_{1}}={{R}_{2}}=\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
Suy ra
$R=\sqrt{R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{30}}{3}\Rightarrow S=4\pi {{R}^{2}}=\frac{40\pi }{3}.$
Chọn A.
TOÁN LỚP 12