Bài toán Tìm điều kiện để 2 đồ thị tiếp xúc với nhau

Bài toán Tìm điều kiện để 2 đồ thị tiếp xúc với nhau

Phương pháp giải bài toán tiếp xúc

Cho 2 hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$. Đồ thị 2 hàm số trên tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array} {} f\left( x \right)=g\left( x \right) \\ {} {f}'\left( x \right)={g}'\left( x \right) \\ \end{array} \right.$ và nghiệm của hệ phương trình này chính là hoành độ của tiếp điểm.

Bài tập trắc nghiệm tìm điều

Lời giải chi tiết

Tọa độ tiếp điểm là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{3}}+\frac{5\text{x}}{4}-2={{x}^{2}}+x-2 \\ {} 3{{\text{x}}^{2}}+\frac{5}{4}=2\text{x}+1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

Khi đó $M\left( \frac{1}{2};-\frac{5}{4} \right)\Rightarrow OM=\frac{\sqrt{29}}{4}$.

Lời giải chi tiết

Đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành khi hệ phương trình $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{3}}-3m\text{x}+m+1=0 \\ {} 3{{\text{x}}^{2}}-3m=0 \\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array} {} {{x}^{3}}-3m\text{x}+m+1=0\left( 1 \right) \\ {} m={{x}^{2}} \\ \end{array} \right.$ có nghiệm.

Thế $m={{x}^{2}}$ vào phương trình (1) ta có: ${{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{3}}+{{x}^{2}}+1=0\Leftrightarrow x=1\Rightarrow m=1$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Hai đồ thị tiếp xúc với nhau khi hệ phương trình: $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{3}}-3\text{x}+1=m\left( x-1 \right)-1 \\ {} 3{{\text{x}}^{2}}-3=m \\ \end{array} \right.$ có nghiệm.

Suy ra ${{x}^{3}}-3\text{x}+1=\left( 3{{\text{x}}^{2}}-3 \right)\left( x-1 \right)-1\Leftrightarrow 2{{\text{x}}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-\frac{1}{2}\Rightarrow m=-\frac{9}{4} \\ {} x=1\Rightarrow m=0 \\ \end{array} \right.$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Hai đồ thị tiếp xúc với nhau khi hệ phương trình: $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{3}}+m{{\text{x}}^{2}}-8\text{x}=x+9m\left( 1 \right) \\ {} 3{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}-8-1\left( 2 \right) \\ \end{array} \right.$ có nghiệm.

Ta có: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{x}^{3}}+m{{\text{x}}^{2}}-9\text{x}-9m=0\Leftrightarrow {{\text{x}}^{2}}\left( x+m \right)-9\left( x+m \right)=0\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-9 \right)\left( x+m \right)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=\pm 3 \\ {} x=-m \\ \end{array} \right.$

Với $x=3\Rightarrow m=-3$

Với $x=-3\Rightarrow m=3$

Với $x=-m$ ta có: $3{{m}^{2}}-2{{m}^{2}}=9\Leftrightarrow m=\pm 3$.

Vậy $m=\pm 3$ là các giá trị cần tìm. Vậy tổng các phần tử của tập S là 0. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành khi hệ phương trình: $\left\{ \begin{array} {} 2{{\text{x}}^{3}}-3\left( m+3 \right){{x}^{2}}+18m\text{x}-8=0 \\ {} 6{{\text{x}}^{2}}-6\left( m+3 \right)x+18m=0 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 2{{\text{x}}^{3}}-3\left( m+3 \right){{x}^{2}}+18m\text{x}-8=0\left( 1 \right) \\ {} {{x}^{2}}-\left( m+3 \right)x+3m=0\left( 2 \right) \\ \end{array} \right.$ có nghiệm.

Ta có: $\left( 2 \right)\Leftrightarrow \text{x}\left( x-m \right)-3\left( x-m \right)=0\Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( x-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=3 \\ {} x=m \\ \end{array} \right.$

Với $x=3$ thế vào (1) ta có: $54-27\left( m+3 \right)+54m-8=0\Leftrightarrow m=\frac{35}{27}$.

Với $x=m$ thế vào (1) ta có:

$2{{m}^{3}}-3{{m}^{2}}\left( m+3 \right)+18{{m}^{2}}-8=0\Leftrightarrow -{{m}^{3}}+9{{m}^{2}}-8=0\Leftrightarrow \left( m-1 \right)\left( {{m}^{2}}-8m-8 \right)=0$

Ta được tổng các giá trị của tập hợp S là: $\frac{35}{27}+1+8=\frac{278}{27}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Đồ thị đã cho tiếp xúc với trục hoành khi hệ phương trình sau có nghiệm:

$\left\{ \begin{array} {} f\left( x \right)={{x}^{3}}-3m{{\text{x}}^{2}}+3m\text{x}+{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}=0 \\ {} {f}'\left( x \right)=3{{\text{x}}^{2}}-6m\text{x}+3m=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{x}^{3}}-3m{{\text{x}}^{2}}+3m\text{x}+{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}=0 \\ {} g\left( x \right)={{x}^{2}}-2m\text{x}+m=0\left( 1 \right) \\ \end{array} \right.$

Lấy $\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}$ ta được $f\left( x \right)=g\left( x \right).\left( x-m \right)+\left( 2m-2{{m}^{2}} \right)x+2{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}$

Suy ra $\left( 2m-2{{m}^{2}} \right)x+2{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}=0\Leftrightarrow \left( 2m-2{{m}^{2}} \right)\left( x+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=0 \\ {} m=1 \\ {} x=-m \\ \end{array} \right.$

Với $x=-m\Rightarrow \left( 1 \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2{{m}^{2}}+m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=0 \\ {} m=-\frac{1}{3} \\ \end{array} \right.$

Vậy $m=0,m=1,m=-\frac{1}{3}$. Chọn D.