Bài toán tìm điểm M thuộc đường thẳng có yếu tố cực trị

Bài toán tìm điểm M thuộc đường thẳng có yếu tố cực trị

Phương pháp giải:

Tham số hóa điểm M theo phương trình đường thẳng.

Biến đổi giả thiết về dạng $y=f\left( t \right)$ và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số$y=f\left( t \right)$.

Chú ý:

Tam thức bậc hai: \[y=a{{x}^{2}}+bx+c\left( a\ne 0 \right)\]có đỉnh \[I\left( \frac{-b}{2a};\frac{-\Delta }{4a} \right).\]

Bất đẳng thức véc tơ: Cho 2 véc tơ \[\overrightarrow{u}=\left( a;b \right)\] và \[\overrightarrow{v}=\left( c;d \right)\] ta có: \[\left| \overrightarrow{u} \right|+\left| \overrightarrow{v} \right|\ge \left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right|\]

Khi đó \[\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( a+c \right)}^{2}}+{{\left( b+d \right)}^{2}}}\] dấu bằng xảy ra \[\Leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}.\]

Câu hỏi trắc nghiệm cực trị hình học oxyz có đáp án và lời giải chi tiết

Lời giải:

Đường thẳng d có phương trình tham số \[d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=3-t \\ & z=-1+2t \\ \end{align} \right.\]

Gọi M là điểm cần tìm. Do nếu M thuộc d thì M nên \[M\left( t;3-t;-1+2t \right)\].

Diện tích tam giác M được tính bởi \[\text{S=}\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM} \right] \right|\]trong đó \[\left\{ \begin{align} & \overrightarrow{AM}=\left( t-2;4-t;2t-2 \right) \\ & \overrightarrow{AB}=\left( -2;2;-3 \right) \\ \end{align} \right.\]

Do đó \[{{S}_{ABM}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB} \right] \right|=\frac{1}{2}\left| \left( -8-t;-t-2;4 \right) \right|=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( t+8 \right)}^{2}}+{{\left( t+2 \right)}^{2}}+16}\]

\[=\frac{1}{2}\sqrt{2\left( t+5 \right)+34}\ge \frac{1}{2}\sqrt{34}.\] Vậy \[minS=\frac{\sqrt{34}}{2}t=-5\Rightarrow M\left( -5;8;-11 \right).\]

Lời giải:

a) Gọi \[M\left( -1+t;1-2t;2t \right)\in d\] và I là điểm thỏa mãn \[\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow I\left( -5;0;-1 \right)\]

Biến đổi \[M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-4M{{C}^{2}}=-M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-4M{{C}^{2}}\]lớn nhất \[\Leftrightarrow M{{I}^{2}}\]nhỏ nhất

Lại có: \[M{{I}^{2}}={{\left( t+4 \right)}^{2}}+{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2t+1 \right)}^{2}}=9{{t}^{2}}+8t+18\] nhỏ nhất \[\Leftrightarrow t=-\frac{4}{9}\Rightarrow M\left( \frac{-13}{7};\frac{17}{9};\frac{-8}{9} \right).\]

b) Ta có: \[\overrightarrow{AM}\left( t-2;1-2t;2t+1 \right);\overrightarrow{BC}=\left( -1;-1;-2 \right)\]

Khi đó \[{{\left| \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BC} \right|}_{\min }}=\left| \left( t-3;-2t;2t-1 \right) \right|=\sqrt{{{\left( t-3 \right)}^{2}}+4{{t}^{2}}+{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{9{{t}^{2}}-10t+10}\]nhỏ nhất

\[\Leftrightarrow t=\frac{-b}{2a}=\frac{5}{9}\Rightarrow M\left( \frac{-13}{9};\frac{-1}{9};\frac{19}{9} \right).\]

Lời giải:

a) Gọi\[M\left( t;t;t \right)\] ta có: \[M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}=2t+{{(t-3)}^{2}}+2\left[ {{t}^{2}}+2{{\left( t-3 \right)}^{2}} \right]=9{{t}^{2}}-30t+45\] đạt giá trị nhỏ nhất

$t=\frac{-b}{2a}=\frac{5}{3}\Rightarrow M\left( \frac{5}{3};\frac{5}{3};\frac{5}{3} \right).$

b) Ta có: \[MA+MB==\sqrt{2{{t}^{2}}+{{\left( t-3 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{t}^{2}}+2{{\left( t-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{3}\left( \sqrt{{{\left( t-1 \right)}^{2}}+2}+\sqrt{{{\left( t-2 \right)}^{2}}+2} \right)\]

\[=\sqrt{3}\left( \sqrt{{{\left( t-1 \right)}^{2}}+2}+\sqrt{{{\left( 2-t \right)}^{2}}+2} \right)\ge \sqrt{3}.\sqrt{{{\left( t-1+2-t \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2}+\sqrt{2} \right)}^{2}}}=3\sqrt{3}.\]

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \frac{t-1}{2-t}=1\Leftrightarrow t=\frac{3}{2}\Rightarrow M\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2} \right).$

Lời giải:

Gọi $M\left( 2-t;-1-t;2t \right)$ khi đó $3{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}-{{c}^{2}}=3{{\left( t-2 \right)}^{2}}+2{{\left( t+1 \right)}^{2}}-4{{t}^{2}}$

$={{t}^{2}}-8t+14={{\left( t-4 \right)}^{2}}-2\ge -2$. Do đó ${{A}_{\min }}=-2$ khi $t=4\Rightarrow M\left( -2;-5;8 \right)$

Khi đó $OM=\sqrt{93}$. Chọn B.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{CD}\left( 1;-4;1 \right)$. Phương trình đường thẳng CD là: $CD:\left\{ \begin{align} & x=2+t \\ & y=-2-4t. \\ & z=t \\ \end{align} \right.$

Vì $M\in CD$ nên $M\left( 2+t;-2-4t;t \right)$.

Chu vi tam giác MAB là: $P=AB+MA+MB$ Vì A,B cố định nên AB không đổi.

Ta có: $P=AB+\sqrt{{{\left( t+3 \right)}^{2}}+{{\left( 4t+3 \right)}^{2}}+{{\left( t-6 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( t+5 \right)}^{2}}+{{\left( 4t \right)}^{2}}+{{\left( t+4 \right)}^{2}}}$

=$\sqrt{18{{t}^{2}}+18t+18}+\sqrt{18{{t}^{2}}+18t+41}=\sqrt{18{{\left( t+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{27}{2}}+\sqrt{18{{\left( t+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{73}{2}}\ge \sqrt{\frac{27}{2}}+\sqrt{\frac{73}{2}}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow t=-\frac{1}{2}\Rightarrow M\left( \frac{3}{2};0;-\frac{1}{2} \right)\Rightarrow S=\frac{3}{2}+0-\frac{1}{2}=1$. Chọn B.

Lời giải:

Gọi $M\left( -1+2t;-2-t;2t \right)$ ta có: ${{C}_{ABC}}$nhỏ nhất $\Leftrightarrow P=MA+MB$nhỏ nhất.

Khi đó $P=\sqrt{4{{t}^{2}}+{{\left( t+5 \right)}^{2}}+{{\left( 2t+2 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 2t-2 \right)}^{2}}+{{\left( t+3 \right)}^{2}}+{{\left( 2t-4 \right)}^{2}}}$

$=\sqrt{9{{t}^{2}}+18t+29}+\sqrt{9{{t}^{2}}-18t+29}=\sqrt{{{\left( 3t+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 1-3t \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}}$

Trong mặt phẳng tọa độ gọi \[\overrightarrow{u}=\left( 3t+1;2\sqrt{5} \right);\overrightarrow{v}=\left( 1-3t;2\sqrt{5} \right);\]

Ta có: \[\left| \overrightarrow{u} \right|+\left| \overrightarrow{v} \right|\ge \left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right|\Rightarrow P\ge \sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( 4\sqrt{5} \right)}^{2}}}\]

Dấu bằng xảy ra \[\Leftrightarrow \frac{3t+1}{1-3t}=1\Leftrightarrow t=0\Rightarrow M\left( -1;-2;0 \right)\]do đó \[OM=\sqrt{5}\] . Chọn D.

Lời giải:

Gọi \[A\left( 0;0;a \right)\]và \[B\left( b+1;2b;b-2 \right)\]suy ra \[\overrightarrow{AB}=\left( b+1;2b;b-a-2 \right)\].

Vì \[AB\subset \left( P \right)\]và vuông góc với\[\left( {{\Delta }_{1}} \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{\left( {{\Delta }_{1}} \right)}}}=0\Leftrightarrow 2\left( b+1 \right)-2b+b-a-2=0\Leftrightarrow a=b.\]

Khi đó \[\overrightarrow{AB}=\left( a+1;2a;-2 \right)\Rightarrow AB=\left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{{{\left( a+1 \right)}^{2}}+4{{a}^{2}}+4}=\sqrt{5{{a}^{2}}+2a+5}\]

\[=\sqrt{5{{\left( a+\frac{1}{5} \right)}^{2}}+\frac{24}{5}}\ge \sqrt{\frac{24}{5}}=\frac{2\sqrt{30}}{5}\Rightarrow A{{B}_{\min }}=\frac{2\sqrt{30}}{5}\]

Vậy độ dài nhỏ nhất của đoạn AB là \[\frac{2\sqrt{30}}{5}\]. Chọn A.