Bài toán Tìm điểm m sao cho ma^2+mb^2+mc^2 nhỏ nhất, lớn nhất

Bài toán Tìm điểm m sao cho ma^2+mb^2+mc^2 nhỏ nhất, lớn nhất

Đề bài tổng quát

Tìm điểm M thuộc (P) sao cho $T=aM{{A}^{2}}+bM{{B}^{2}}+cM{{C}^{2}}$ đạt max hoặc min.

Phương pháp giải:

+) Tìm điểm I thỏa mãn hệ thức $a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

+) Phân tích $T=a{{\overrightarrow{MA}}^{2}}+b{{\overrightarrow{MB}}^{2}}+c{{\overrightarrow{MC}}^{2}}$ =$a{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+b{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}+c{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}$

$\Rightarrow \left( a+b+c \right)M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC} \right)+aI{{A}^{2}}+bI{{B}^{2}}+cI{{C}^{2}}$

$=(a+b+c)M{{I}^{2}}+aI{{A}^{2}}+bI{{B}^{2}}+cI{{C}^{2}}$.

+) Nếu $a+b+c>0$ thì T đặt min; $a+b+c<0$ thì T đặt max.

Khi đó ${{T}_{max}};{{T}_{\min }}\Leftrightarrow M{{I}_{min}}\to$ M là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

Bài tập cực trị oxyz – hình không gian có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết:

a)      Gọi I là trung điểm của AB thì $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$.

Ta có: $T=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}$đạt giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ M là hình chiếu vuông góc của I lên (P). Khi đó phương trình IM là: $\left\{ \begin{array}  {} x=1+t \\  {} y=1+t \\  {} z=1+t \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( 1+t;1+t;1+t \right)$

Cho $M\in (P)\Rightarrow 3(1+t)=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow M\left( 0;0;0 \right)$.

b)     Gọi I là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}=\frac{{{x}_{A}}-2{{x}_{B}}}{1-2}=13 \\  {} {{y}_{1}}=\frac{{{y}_{A}}-2{{y}_{B}}}{1-2}=-11 \\  {} {{z}_{1}}=\frac{{{z}_{A}}-2{{z}_{B}}}{1-2}=19 \\ \end{array} \right.$

Ta có: $T=M{{A}^{2}}-2M{{B}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}-2{{\overrightarrow{MB}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}-2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$

= $-M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB})+I{{A}^{2}}-2I{{B}^{2}}$= $-M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}-2I{{B}^{2}}$.

Do$I{{A}^{2}}-2I{{B}^{2}}$ không đổi nên ${{T}_{\max }}\Leftrightarrow -M{{I}^{2}}$ lớn nhất khi đó $M{{I}_{\min }}\Leftrightarrow$ M là hình chiếu vuông góc của I lên (P). Khi đó phương trình IM là: $\left\{ \begin{array}  {} x=13+t \\  {} y=-11+t \\  {} z=19+t \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( 13+t;-11+t;19+t \right)$.

Cho $M\in (P)\Rightarrow 21+3t=0\Leftrightarrow t=-7\Rightarrow M\left( 6;-18;12 \right)$.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC $\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} G(1;2;2) \\  {} \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} \\ \end{array} \right.$

Ta có: $T={{\overrightarrow{MA}}^{2}}+{{\overrightarrow{MB}}^{2}}+{{\overrightarrow{MC}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC} \right)}^{2}}$

$=3M{{G}^{2}}+2\overrightarrow{MG}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}=3M{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}$

Do đó ${{T}_{\min }}\Leftrightarrow {{M}_{\min }}\Leftrightarrow$ M là hình chiếu vuông góc của G lên (P).

Khi đó phương trình MG là: $\left\{ \begin{array}  {} x=1+3t \\  {} y=2-3t \\  {} z=2-2t \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( 1+3t;2-3t;2-t \right)$.

Giải $M\in (P)\Rightarrow 9t+3+9t-6+4t-4-15=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow M\left( 4;-1;0 \right)$.

b) Gọi I là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-4\overrightarrow{IC}\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}=\frac{{{x}_{A}}+2{{x}_{B}}-4{{x}_{C}}}{1+2-4}=7 \\  {} {{y}_{1}}=\frac{{{y}_{A}}+2{{y}_{B}}-4{{y}_{C}}}{1+2-4}=-14 \\  {} {{z}_{1}}=\frac{{{z}_{A}}+2{{z}_{B}}-4{{z}_{C}}}{1+2-4}=-7 \\ \end{array} \right.$

Biến đổi  $T=-M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}-4I{{C}^{2}}$đạt giá trị lớn nhất $\Leftrightarrow M{{I}_{\min }}\Leftrightarrow$ M là hình chiếu vuông góc của I lên (P). Khi đó phương trình MI là: $\left\{ \begin{array}  {} x=7+3t \\  {} y=-14-3t \\  {} z=-7-2t \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( 7+3t;-14-3t;-7-2t \right)$.

Giải $M\in (P)\Rightarrow 9t+21+9t+42+4t+14-15=0\Leftrightarrow t=\frac{-31}{11}\Rightarrow M\left( -\frac{16}{11};\frac{-61}{11};\frac{-15}{11} \right)$.

Lời giải chi tiết:

Gọi điểm I là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}=\frac{{{x}_{A}}+2{{x}_{B}}-{{x}_{C}}}{1+2-1}=1 \\  {} {{y}_{1}}=\frac{{{y}_{A}}+2{{y}_{B}}-{{y}_{C}}}{1+2-1}=1 \\  {} {{z}_{1}}=\frac{{{z}_{A}}+2{{z}_{B}}-{{z}_{C}}}{1+2-1}=1 \\ \end{array} \right.$

Biến đổi  $T=2M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}-2I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}$đạt gía trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow M{{I}_{\min }}\Leftrightarrow$M là hình chiếu vuông góc của I lên (P). Khi đó phương trình MI là: $\left\{ \begin{array}  {} x=2+t \\  {} y=1+t \\  {} z=1+t \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( 2+t;1+t;1+t \right)$.

Giải $M\in (P)\Rightarrow 3t+4+2=0\Leftrightarrow t=-2\Rightarrow M\left( 0;-1;-1 \right)\Rightarrow OM=\sqrt{2}$. Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Gọi I là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow I\left( 2;0;0 \right)$.

Biến đổi $M{{A}^{2}}-2M{{B}^{2}}=-M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}-2I{{B}^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I lên (P). Khi đó phương trình MI là: $\left\{ \begin{array}  {} x=2+t \\  {} y=-t \\  {} z=t \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( 2+t;-t;t \right)$.

Cho$M\in (P)\Rightarrow 2+t+t+t+1=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow M\left( 1;1;-1 \right)\Rightarrow OM=\sqrt{3}$ . Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Gọi M  là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}\Leftrightarrow I\left( 3;-4;5 \right)$.

Khi đó $M{{A}^{2}}-2M{{B}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}-2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}=-M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB})+I{{A}^{2}}-2IB$

$=-M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}-2I{{B}^{2}}$lớn nhất$\Leftrightarrow MI$ nhỏ nhất$\Leftrightarrow$ M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (${{O}_{xy}}$)

Suy ra $M\left( 3;-4;0 \right)\Rightarrow T=-1$ . Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Gọi $D\left( \frac{7}{2};\frac{1}{2};3 \right);E\left( 1;1;\frac{1}{2} \right);F\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{5}{2} \right)$ lần lượt là trung điểm của AB, BC và AC.

Ta có: $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\left( \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DA} \right)\left( \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DB} \right)=\left( \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DA} \right)\left( \overrightarrow{MD}-\overrightarrow{DA} \right)=M{{D}^{2}}-A{{D}^{2}}=M{{D}^{2}}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}$

Suy ra $S=M{{D}^{2}}+M{{E}^{2}}+M{{F}^{2}}-\frac{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}}{4}$nhỏ nhất $\Leftrightarrow M{{D}^{2}}+M{{E}^{2}}+M{{F}^{2}}$nhỏ nhất.

Gọi $G\left( 2;1;2 \right)$ là trọng tâm tam giác DEF $\Rightarrow M{{D}^{2}}+M{{E}^{2}}+M{{F}^{2}}=3M{{G}^{2}}+G{{D}^{2}}+G{{E}^{2}}+G{{F}^{2}}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M{{G}_{\min }}\Leftrightarrow$ M là hình chiếu của G trên (P) $\Rightarrow MG:\left\{ \begin{array}  {} x=2+3t \\  {} y=1-3t \\  {} z=2+2t \\ \end{array} \right.$

Suy ra $M=MG\cap (P)\Rightarrow M(-4;7;-2)\Rightarrow a+b+c=1$. Chọn D.